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Revisão de Cálculo I
1 Limites III
De forma intuitiva, sabemos que os limites laterais são casos particulares de limite, no qual ocorre a aproximação em apenas um dos lados em torno de um ponto p. Vejamos agora a definição dos limites laterais.
1.1 Definição
Seja f uma função, p um número real e suponhamos que existe b tal que ]p, b[⊂ Df. Definimos:
lim x→p+^
f (x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que p < x < p + δ ⇒ |f (x) − L| < ε (1)
O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à direita de f , em p.
Figure 1: Limite lateral à direita de p.
1.2 Definição
Seja f uma função, p um número real e suponhamos que existe a tal que ]a, p[⊂ Df. Definimos:
lim x→p−
f (x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 , ∃δ > 0 tal que p − δ < x < p ⇒ |f (x) − L| < ε (2)
O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à esquerda de f , em p.
1.3 Teorema 1 LIMITES III
Figure 2: Limite lateral à esquerda de p.
1.3 Teorema
Seja f uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b tais que ]a, p[ e ]p, b[estejam contidos em Df. Então:
lim x→p f (x) = L ⇐⇒ f admite limites laterais à direita e à esquerda e lim x→p+^
f (x) = lim x→p−^
f (x) = L (3)
Conforme dito inicialmente, as definições de limites laterais e o teorema que garante a existência do limite se os limites laterais existirem e forem iguais já fora discutida de forma intuitiva. Neste momento estamos apenas formalizando àquelas informações.
Mas como calculamos os limites laterais de uma função sem o gráfico para nos auxiliar? Para responder a essa pergunta é preciso que lembremos que o cálculo do limite é um processo dinâmico, ou seja, os valores do domínio se “se aproximam” de um determinado valor. Assim, se x tende à esquerda de p significa que x < p e que x está se aproximando de p, mas nunca alcança ele.
Figure 3: x tendendo à esquerda de p.
Quando x tende à direita de p significa que x > p e que x está se aproximando de p, mas nunca alcança ele.
Figure 4: x tendendo à direita de p.
2 INFINITO
- x → 1 +
Figure 6: x tendendo à direita de 1.
Observe que agora fica mais claro que a aproximação acontece na região em que envolve valores maiores que 1, ou seja, valores como 1,1; 1,01; 1,001 assim por diante.
- x → 0 −
Figure 7: x tendendo à esquerda de 0.
Observe que agora fica mais claro que a aproximação acontece na região em que envolve valores menores que 0, ou seja, valores como -0,9; -0,99; -0,999 assim por diante.
- x → 0 +
Figure 8: x tendendo à direita de 0.
Observe que agora fica mais claro que a aproximação acontece na região em que envolve valores maiores que 0, ou seja, valores como 0,1; 0,01; 0,001 assim por diante.
2 Infinito
O termo infinito é comumente interpretado de forma equivocada na linguagem coloquial. Provavel- mente se você for questionado “o que é infinito?”, possivelmente você responderia é algo muito grande. Caso essa fosse a sua resposta, tenha certeza que você tem a noção equivocada de infinito.
O termo infinito vem do latim infinitus(in = não, finis = fim). Ou seja, infinito é algo que não tem fim.
Em matemática, os termos “mais infinito” (+∞) e “menos infinito” tem os seguintes significados:
- +∞ =⇒ “mais infinito” =⇒ Não para de crescer, de aumentar;
- −∞ =⇒ “menos infinito” =⇒ Não para de decrescer, de diminuir.
Utilizar o termo “muito grande” como sinônimo para mais infinito e “muito pequeno” para menos infinito pode gerar muitas confusões no decorrer do curso de engenharia.
Agora que temos uma noção adequada sobre o infinito, podemos dar continuidade no estudo sobre limites.
2 INFINITO
2.0.1 Limites Infinitos
Chamamos de limites infinitos quando à medida em que nos aproximamos de um valor p a função apresenta um crescimento - se for mais infinito - ou um decrescimento - se for menos infinito - indefinido, ou seja, a medida em que nos aproximamos de p a imagem cresce de forma “brusca” (+∞) ou decresce de forma “brusca” (−∞).
Quando o resultado de um limite é ±∞, iremos considerar que o limite não existe, pois, conforme já discutido, o limite é a tendência que a imagem de uma função assume à medida em que os elementos do domínio se aproximam de um determinado valor p. Ora, como +∞ é um crescimento “contínuo” e −∞ é um decrescimento “contínuo”, significa que a imagem não apresenta tendência alguma. Logo, não existe limite nessas situações.
Apesar de estarmos afirmando que limites infinitos não existam, alguns altores consideram que eles existem; ainda não há um conseso sobre essa questão na comunidade matemática.
Exemplos
- lim x→ 0 +
x
Para resolver esse exemplo, usaremos uma tabela para nos auxiliar:
x f (x) 0,1 10 0,01 100 0,001 1 000 0,0001 10 000 0,00001 100 000
Perceba que à medida em que nos aproximamos de zero pela direita, a imagem da função vai crescendo de forma ininterrupta. Portanto, esse limite resultará em +∞:
lim x→ 0 +
x
- lim x→ 0 −
x
Para resolver esse exemplo, usaremos uma tabela para nos auxiliar:
x f (x) -0,1 - -0,01 - -0,001 -1 000 -0,0001 -10 000 -0,00001 -100 000
Perceba que à medida em que nos aproximamos de zero pela esquerda, a imagem da função vai decrescendo de forma ininterrupta. Portanto, esse limite resultará em −∞:
lim x→ 0 −
x
3 LIMITES CUJOS RESULTADOS SÃO DO TIPO
K
, COM K 6 = 0
x x − 1 0,9 -0, 0,99 -0, 0,999 -0, 0,9999 -0, 0,9999 -0,
Como o resultado dessas diferenças são negativas e o 5 é positivo, sabemos que o resultado desse limite será negativo. E, como o denominador está se aproximando de zero, o resultado irá tender ao infinito. Caso tenha dificuldades de perceber isso:
x − 1 5 x − 1 -0,1 - -0,01 - -0,001 -5 000 -0,0001 -50 000 -0,00001 -500 000
Portanto: lim x→ 1 −
x − 1
1 −^ − 1
(b) lim x→ 1 +
x − 1
Mas, lembre-se que x → 1 +^ é
Portanto, estamos nos aproximando de 1 pela região cujos valores de x são maiores que 1. Ora, se fizermos 1 +^ − 1 os resultados serão muito próximos de zero, mas positivos. Caso você tenha dificuldades de perceber isso:
x x − 1 1,1 0, 1,01 0, 1,001 0, 1,0001 0, 1,00001 0,
Como o resultado dessas diferenças são positivas e o 5 é positivo, sabemos que o resultado desse limite será positivo. E, como o denominador está se aproximando de zero, o resultado irá tender ao infinito. Caso tenha dificuldades de perceber isso:
x − 1 5 x − 1 0,1 50 0,01 500 0,001 5 000 0,0001 50 000 0,00001 500 000
Portanto: lim x→ 1 +
x − 1
1 +^ − 1
3 LIMITES CUJOS RESULTADOS SÃO DO TIPO
K
, COM K 6 = 0
Assim:
lim x→ 1
x − 1
lim x→ 1 −
x − 1
1 −^ − 1
lim x→ 1 +
x − 1
1 +^ − 1
Concluimos, portanto, que esse limite não existe.
- lim x→ 3
x^2 − 9
lim x→− 3
x^2 − 9
(−3)^2 − 9
⇒ Operação inexistente.
Calculando os limites laterais:
(a) lim x→− 3 −^
x^2 − 9
lim x→− 3 −^
x^2 − 9
(− 3 −)^2 − 9
(b) lim x→− 3 +
x^2 − 9
lim x→− 3 +
x^2 − 9
(− 3 +)^2 − 9
4 EXERCÍCIOS
4 Exercícios
- Dado o gráfico a seguir, faça o que se pede:
(a) lim x→ 2 +^
f (x)
(b) lim x→− 2 +^
f (x)
(c) f (−2)
(d) lim x→− 2 −^
f (x)
(e) f (2)
(f) lim x→ 2 −
f (x)
- Dado o gráfico a seguir, faça o que se pede:
(a) lim x→ 3 +^
g(x)
(b) lim x→− 3 +^
g(x)
(c) f (−3)
(d) lim x→− 3 −^
g(x)
(e) f (3)
(f) lim x→ 3 −
g(x)
- Calcule os seguintes limites:
5 GABARITOS
(a) lim x→ 0 −
x
(b) lim x→ 0 +
x
(c) lim x→ 0
x
(d) lim x→ 1
x − 1
(e) lim x→ 1
1 − x x
(f) lim t→ 0
t^2
(g) lim x→ 2
x^2 − 4
(h) lim x→− 2
x^2 − 4
(i) lim x→ 2
(x − 2)^2
(j) lim x→ 2
(2 − x)^2
(k) lim x→− 3
x − 5 x^2 − 9
(l) lim x→ 3
9 − x x^2 − 5 x + 6
(m) lim x→ 2
9 − x x^2 − 5 x + 6
(n) lim x→ 14
x − 1 −
(o) lim x→ 14
√ (^3) x − 1 − √ (^313)
5 Gabaritos
- (a) +∞ (b) −∞
(c) 4 (d) −∞
(e) 6 (f) +∞
- (a) −∞ (b) −∞
(c) 0 (d) +∞
(e) @ (f) +∞
- Calcule os seguintes limites:
(a) −∞ (b) +∞ (c) @
(d)
x → 1 −^ = −∞ x → 1 +^ = +∞ (e) 0
(f)
t → 0 −^ = +∞ t → 0 +^ = +∞
(g)
x → 2 −^ = −∞ x → 2 +^ = +∞
(h)
x → − 2 −^ = +∞ x → − 2 +^ = −∞
(i)
x → 2 −^ = +∞ x → 2 +^ = +∞
(j)
x → 2 −^ = +∞ x → 2 +^ = +∞
(k)
x → − 3 −^ = −∞ x → − 3 +^ = +∞
(l)
x → 3 −^ = −∞ x → 3 +^ = +∞
(m)
x → 2 −^ = +∞ x → 2 +^ = −∞
(n)
x → 14 −^ = −∞ x → 14 +^ = +∞
(o)
x → 14 −^ = −∞ x → 14 +^ = +∞
