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RESUMO – MECFLU – P
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Equação da continuidade Equação da energia
1. TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS
Equação do Teorema do Transporte de Reynolds:
| : variação temporal da propriedade extensiva N no sistema, no instante. (^) ∫ : variação temporal da propriedade extensiva N dentro do volume de controle, no instante. ∫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : fluxo da propriedade extensiva N através da superfície de controle. ⃗⃗⃗ : versor normal à superfície de controle sempre aponta para fora do. Nas seções de entrada: ⃗⃗⃗ (sentidos opostos) Nas seções de entrada: ⃗⃗⃗ (mesmo sentido)
2. EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Da segunda Lei de Newton:
Logo, a forma geral da equação da quantidade de movimento é:
⃗⃗⃗⃗⃗: forças à distância ou de campo (por exemplo, o peso) ⃗⃗⃗⃗⃗: forças de contato (atrito, pressão, etc.) ⃗⃗⃗ | ∑^ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ variação temporal da quantidade de movimento dentro do sistema, em um determinado instante. (^) ∫⃗⃗⃗ : variação temporal da quantidade de movimento dentro do volume de controle, em um determinado instante. (^) ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : fluxo da quantidade de movimento através da superfície de controle, em um determinado instante.
Observações importantes: A força externa (tanto a sua componente à distância quanto de contato) age no fluido que está no volume de controle, e não no reservatório ou tubo que contém esse fluido. Porém, o que interessa na prática é a força que o fluido exerce no reservatório ou tubo utilizar o princípio da ação e reação. Todos os termos da equação são vetores é importante definir os vetores normais nas seções de controle, para referenciar tanto as velocidades quanto as forças presentes na equação. O volume de controle deve ser fixo, ou seja , as velocidades devem ser relativas ao volume de controle.
Hipóteses simplificadoras
A única força à distância é o peso do fluido⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Em alguns casos, o peso do fluido é desprezível:⃗⃗⃗ Fluido incompressível: As forças de contato são apenas as forças viscosas (de cisalhamento) e as forças de pressão: ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ∫⃗⃗⃗
Função impulso
: pressão na seção S: área da seção ̇: módulo da vazão mássica na seção : módulo da velocidade na seção
Observações sobre a função impulso: Possui unidade de força É um número escalar É calculada em cada seção de controle
3. PERDA DE CARGA EM ESCOAMENTOS INTERNOS
A perda de carga ̇ é um termo da equação da energia: ̇ ̇
: cargas totais nas seções de entrada e de saída ̇ : trabalho realizado por máquinas externas ̇ : perda de energia no trecho, por atrito : peso específico do fluido Q: vazão
A perda de carga pode ocorrer de formas: ao longo do comprimento do tubo ( perda de carga distribuída ) ou em singularidades da tubulação ( perda de carga localizada )
Perda de carga distribuída
: coeficiente de perda de carga distribuída : comprimento do trecho do tubo : velocidade no trecho do tubo. : diâmetro hidráulico
Perda de carga localizada
Ocorre em singularidades da tubulação: mudança de seção, entrada e saída do tubo, válvulas, etc. : coeficiente de perda de carga localizada: depende do tipo de singularidade (valores tabelados)
Exemplo:
Seção retangular parcialmente cheia, até uma altura
Coeficiente de perda de carga distribuída ( ) Regime laminar: depende apenas das características do escoamento ( :
Regime turbulento: depende das características do escoamento ( e da tubulação (rugosidade relativa ). Nesse caso, existem duas maneiras de determinar : analítica ou graficamente.
Método analítico: Equação de Colebrook:
Dependendo das informações conhecidas no problema, a equação deve ser resolvida iterativamente. Em outros casos, é possível resolvê-la de forma direta.
Exemplos: 1 - Se o único parâmetro desconhecido for : fazer (^) √ e iterar, a partir de um chute inicial, até x atingir um valor constante ( )
2 - Se, a partir da equação da energia, for possível conhecer o valor de : encontrar o
valor de √ e substituir na equação de Colebrooks, obtendo diretamente o valor de .
3 - Se não forem conhecidos , nem : Utilizando a equação da energia, encontrar uma relação entre e e uma relação entre e Chutar um valor inicial de e encontrar e Substituir e na equação de Colebrook e encontrar um novo valor de (utilizando o método do primeiro exemplo) Repetir o processo até convergir para um valor constante.
Método gráfico: Diagrama de Moody
O diagrama de Moody possui três eixos: Número de Reynolds ( linhas verticais Rugosidade relativa ( ) linhas horizontais em negrito, saindo da direita Coeficiente de perda de carga distribuída ( ) linhas horizontais finas, saindo da esquerda
Para utilizar o diagrama, devem ser conhecidas duas das três grandezas listadas acima: cruzando-as, é possível encontrar a terceira.
O diagrama possui três regiões: Região mais à esquerda: corresponde ao regime laminar: as linhas em negrito não atingem essa região, pois no regime laminar não depende da rugosidade relativa; depende apenas de. Região central: tanto quanto exercem forte influência na determinação de. Região mais à direita: a influência da rugosidade relativa é muito maior que a influência de as linhas horizontais claras e em negrito são praticamente paralelas.
4. ANÁLISE DIFERENCIAL DE ESCOAMENTOS
As equações formuladas a partir do Teorema do Transporte de Reynolds estão na forma integral, mas é possível reescrevê-las na forma diferencial. Essa transformação é possibilitada pelo teorema da divergência : a integral do divergente de uma grandeza dentro de um volume é igual ao fluxo dessa grandeza através da superfície de contorno desse volume:
∫⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Lembrando que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Vantagens de cada tipo de análise: Análise integral: útil para avaliar o comportamento do escoamento no volume de controle como um todo. Análise diferencial: útil para avaliar o comportamento do escoamento em cada ponto do volume de controle é utilizado em métodos computacionais.
Equação da continuidade na forma diferencial
Na forma integral:
∫ ∫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ ∫⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Utilizando o teorema da divergência:
∫ ∫⃗⃗⃗ ∫ [⃗⃗⃗ ]
Como vale para qualquer volume de controle:
Casos particulares Regime permanente:
Fluido compressível em regime permanente: ⃗⃗⃗ Fluido incompressível em regime permanente: ⃗⃗⃗
Equação da quantidade de movimento na forma diferencial (equações de Navier- Stokes)
Aplicando o teorema da divergência à equação da quantidade de movimento na forma integral, são obtidas as equações de Navier-Stokes:
⃗⃗ (⃗⃗⃗ ) Ou
Quando o termo viscoso é nulo, obtêm-se as equações de Euler (equações de movimento) ⃗ (⃗⃗⃗ ) Ou
Determinação do número de Reynolds e associação com a vazão de mudança entre os regimes de escoamento.
Linha piezométrica, linha de energia e perda de carga
Carga: a carga em uma seção do escoamento é a energia dada em unidade de comprimento, em relação a algum plano horizontal de referência:
Carga piezométrica: é a carga devido à altura e à pressão na seção, isto é, é igual à carga, mas desconsiderando o termo cinético. A carga piezométrica pode ser medida diretamente em laboratório, por meio da leitura de piezômetros.
Linha de energia (LE): é a linha obtida unindo-se todos os valores de H ao longo do tubo. Linha piezométrica (LP): é a linha obtida unindo-se todos os valores de CP ao longo do tubo. A LP está sempre abaixo da LE.
A LE e a LP são decrescentes em virtude da perda de carga no escoamento. Perda de carga distribuída : causa uma queda contínua das linhas, se as características do tubo se mantiverem constante:
Perdas de cargas localizadas: causam descontinuidades na LE e na LP.
6. ESTUDO DE BOMBAS (3ª EXPERIÊNCIA)
Rendimento da bomba: As bombas promovem um aumento na carga do escoamento, o que pode ser calculado pela equação da energia: ̇
onde ̇ é a potência real transferida ao fluido.
A potência recebida ̇ pela bomba (potência elétrica) realiza um torque que promove uma rotação do eixo da bomba: ̇
Nem toda a potência elétrica é fornecida ao fluido, o que determina o rendimento da bomba: ̇ ̇
Curvas características de uma bomba As propriedades de uma bomba são especificadas por suas curvas características, que indicam a carga fornecida ao fluido, o rendimento e a potência de acionamento ̇ em função da vazão :
Adimensionais e curvas representativas:
Para facilitar e reduzir o custo do estudo de várias bombas, são utilizados parâmetros adimensionais, associados à análise de condições de semelhança. São utilizados três adimensionais utilizados no estudo das bombas:
