Baixe Exercícios de Cálculo: Polinômios de Taylor e Aplicações e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
5.16 – EXERCÍCIO – pg. 239
- Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções:
a) ( ) ; 0 e 1 ; 5
/ 2 f x = e c = n =
x
No ponto c = 0 :
2 3 4 5
2 3 4 5 5
x x x x x
P x x x x x x
No ponto c = 1 :
2 3 4 5
2 3 4 5 5
2
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
e x x x x x
P x e e x e x e x e x e x
b) ( )= ; =− 1 e 2 ; = 4
− f x e c n
x
x
x
x
x
x
f x e
f x e
f x e
f x e
f x e
V
IV
−
−
−
−
−
2
2
2
2 2
2
x V
x IV
x
x x
x
e f x
e f x
e f x
e e f x
e f x
Para c =− 1 :
2 3 4
2 3 4
4
1 3
1 2
1 1 4
x x x e x
x
e x
e x
e e e x
x
e x
e x
e P x e e x
Para c = 2 :
−
− − − − −
2 3 4 2
4
2 3
2 2
2 2 2 4
x x x e x
x
e x
e x
e P x e e x
c) f ( x )= ln( 1 − x ); c = 0 e 1 / 2 ; n = 4
8 5
3
6 4
2
4 3
2 2
x x
x f x
x x
x f x
x x
x f x
x x
x f x
x
f x
V
IV
Para c = 0 :
2 3 4 4 4!
P ( x ) 0 x − x − x − x
Para c = 1 / 2 :
2 3 4
4 2
( ) ln (^22)
P x = − − x − x x x
d) f ( x )= senx ; c = π/ 2 ; n = 8
5
4
3
2
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
IV
III
II
I
Para c = 0 :
2 3 4
2 3 4 4
x x x x
P x x x x x
Para c = 1 :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 4
2 3 4 4
x x x x
P x x x x x
- Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o
resto na forma de Lagrange, das seguintes funções:
a) y = cosh x , n = 4 , c = 0
cosh
cosh
cosh
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
−
−
−
−
−
e e y x
e e y senhx
e e y x
e e y senhx
e e y x
IV
III
II
I
2 4
4
2 4 4
x x P x
P x x x
onde éumn entre 0 e. 5!
5 4
5 4
x z x
senhz R x
x
f z R x
v
b) y = tgx , n = 3 , c = π
y x xtgx x x tgx tg x x tgx
y x x tgx xtgx y
y xtgx y
y x y
y tgx y
IV
III
II
I
8 sec .sec. 4 sec .sec .( 2 ). 8 sec.
2 sec .sec. 4 sec. '''( ) 2
2 sec. ''( ) 0
sec '( ) 1
3 2 2 2 2
2 2 2
2
2
π
π
π
π
4
4 2 3
3
3
3
3
16 sec. 8 sec. ( )
x
ztgz ztg z R x
x x
x P x x
c) y = x ; n = 3 ; c = 1
7 / 2
5 / 2
3 / 2
1 / 2
1 / 2
−
−
−
−
y x
y x y
y x y
y x y
y x y
IV
III III
II II
I I
5
5
5 (^45)
2 3 4 4
4 4
ln 0 , 5 ( 0 , 5 ) ( 0 , 5 )
z
x
x z
R x
P x x x x x
P R
onde éumnúmeroentre 0 e 0,5. 5 ( 1 )
ln 0 , 5 0 , 5 5
5 2 3 4 z − z
ln 0 , 5 0 , 5 0 , 125 0 , 041666 0 , 015625
5 5
z
z
z
z
z
(^4 )
z
R
- Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) = 1 + cos x no ponto
c = π. Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para cos 5 π / 6.
Fazer uma estimativa para o erro.
f x senx
f x x f
f x senx f
f x x f
f x senx f
f x x f
f x senx f
f x x f
VII
VI VI
V
IV
III
II
I
v
v
( ) cos ( ) 1
( ) cos ( ) 1
( ) cos ( ) 1
( ) 1 cos ( ) 0
π
π
π
π
π
π
π
2 4 6
2 4 6 6
x x x
P x x x x
cos
cos 1
cos ( ) 1
2 4 6
2 4 6
π
π π
π π
π π
x x π x π x π
x f x
7
6
7 6
7 6
R
senz
senz R
x
senz R x
Demonstrar que a diferença entre sen( a + h ) e sen a + h cos a é menor ou igual a
2
h.
y senx
y x
y senx
cos
x
x
x
f x x
épontode mínimo 12
12
f x
f x
c)
10 f ( x )= ( x − 4 )
9
9
x x
f x x
0 4 épontode mínimo.
10
9
6
7
8
f K x
f f f f f
f x x
f x x
f x x
V VI VII VIII
IV
III
II
d)
7 f ( x )= 4 ( x + 2 )
2 épontode inflexão.
5
4
2 3
3 2
4 1
5
6
x
f x k
f x k x
f x k x
f x k x
f x k x
f x k x
f x x
VII
VI
V
IV
III
II
I
e)
6 4 f(x) = x - 2 x
1 2 3
3 2
5 3
5 3
6 4
x x x
x x
x x
f x x x
f x x x
0 0 épontode máximo
0 1
2
3
4 2
f x
f x x
f x x x
f x x x
IV
IV
III
II
0 épontode mínimo.
0 épontodemínimo.
3
2
3
2
3
2
3
2
f − x
f x
II
II
f)
5 3
3
f ( x )= x − x
1 2 3
2
2
2
2
2 2
4 2
4 2
x x x
x
x
x
x
x x
x x
f x x x
0 0 épontode inflexão.
2500 1250 0 5 épontodemáximo.
0 5 épontodemínimo.
0
2
5
5
3
−
f x
f x
f x
f x
f x x
