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Uma história sobre o paradoxo dos gêmeos e a resolução desse paradoxo através do efeito doppler relativístico. O texto começa com uma breve introdução sobre o efeito doppler e o paradoxo dos gêmeos, seguido por uma explicação detalhada sobre a formalização do paradoxo e sua resolução. O documento também inclui uma demonstração matemática do efeito doppler e suas consequências para a percepção de frequências e períodos por observadores em movimento relativos um ao outro.
O que você vai aprender
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Física IV
Júlia Gouvêa Mamprim 11212463 Kauê Hunnicutt Bazilli 11212226 Matheus Duarte 10739865 Pedro Potenza 11212334 Rodolpho Marques Neto 11212567
Dezembro, 2020
cante para demonstrar a situação - e a configuração atual da história do Para- doxo dos Gêmeos é uma adaptação da versão de Langevin.
Figura 2: Paul Langevin. [5]
O exemplo consistia na história de alguém que, saindo da Terra, viaja com um fator de Lorentz de γ = 100 (99.995% da velocidade da luz). O viajante segue em linha reta durante um ano e, então, reverte a direção de seu movimento. Ao retornar para seu ponto de partida, ele descobre que envelheceu, como era de se esperar, dois anos - mas 200 anos se passaram na Terra. Durante a viagem, tanto a Terra quanto o Viajante enviam sinais luminosos um para o outro numa frequência constante, e, por isso, a versão de Langevin dessa história pode ser encarada no contexto do efeito Doppler relativístico, sendo possível partir da alteração nas frequências observadas no envio dos sinais para cada observador a fim de chegar ao resultado que nos mostra a dilatação temporal verificada. Para este trabalho, foi escolhida a abordagem proposta por Langevin, atre- lada ao efeito Doppler relativístico e apresentando a demonstração do Paradoxo dos Gêmeos como um efeito puramente cinético. Esperamos que se divirtam e, por fim, possam todos de fato compreender que, na verdade, não há nada de paradoxal nisso tudo.
Como partiremos das consequências do efeito Doppler relativístico para de- monstrar a resolução do Paradoxo dos Gêmeos, convém, antes, derivar as equa- ções do efeito Doppler, fazendo uso das Transformações de Lorentz, com as quais já estamos familiarizados.
Sabemos que o efeito Doppler origina-se do fato de que há uma mudança na frequência de um sinal recebido por um objeto em relação à frequência de um sinal emitido por outro objeto, quando os mesmos possuem velocidade relativa entre si. Primeiro, vamos considerar o caso em que uma fonte S se afasta com veloci- dade v de um sistema de coordenadas fixo que chamaremos de nosso, onde há um observador estacionário. Depois, consideraremos a possibilidade da fonte se aproximar do observador, e obteremos os resultados para as respectivas frequên- cias. A fonte emite sinais luminosos em intervalos fixos de tempo (seu período). Contudo, já que ela possui, em relação ao nosso referencial, uma velocidade v comparável à velocidade da luz, efeitos relativísticos serão notados. Considere- mos, então, que o período de emissão da fonte, em seu próprio referencial, seja ∆tS. Como vimos em aula, as transformações de Lorentz nos dizem que, no nosso referencial (fixo), esse mesmo período sofrerá uma dilatação temporal, de modo que, para o observador, teremos γ∆tS. Não custa nada lembrar que:
γ ≡
1 − v 2 c^2 Agora, perceba que, após esse período γ∆tS , medido em nosso referencial, a fonte terá emitido um novo sinal luminoso. Entretanto, como possui velocidade v, ela percorrerá um espaço ∆l. É simples, então, notar que o espaço percorrido pela fonte no período medido pelo observador será ∆l = γv∆tS. Então, levando em conta a distância extra ∆l = γv∆tS percorrida pelo segundo sinal luminoso, e sabendo que a velocidade da luz no vácuo é c, veremos que o tempo entre a recepção de dois sinais será, para o observador:
∆tO = γ∆tS +
∆l c
= γ∆tS +
γv∆tS c
= γ
v c
∆tS Definindo β ≡ vc :
∆tO =
1 + β 1 − β
∆tS (1)
Como sabemos, a frequência f de um sinal qualquer é dada pelo inverso de seu período ∆t. Logo, para encontrar a frequência fO percebida pelo observador em nosso referencial fixo, basta tomarmos o inverso da expressão 2:
fO =
1 − β 1 + β
fS (2)
Figura 3: Dê tchauzinho pro seu irmão, e boa viagem. Daqui a algum tempo vocês se reencontram. Quanto tempo? Bom, isso depende.[9]
3.1 Formalização do Paradoxo dos Gêmeos
O paradoxo dos gêmeos surge, como dito anteriormente, de um simples expe- rimento mental, porém aqui vamos tratá-lo de maneira um pouco mais formal. Consideramos a situação em que teremos dois irmãos gêmeos, um deles (cha- maremos de O) ficará na terra o tempo inteiro, porém o segundo irmão (cha- maremos de Õ) irá viajar até uma estrela próxima e retornará, de forma que a viagem é feita com uma velocidade próxima à da luz, denotada por ν. O paradoxo aparece no momento em que comparamos os tempos passados na visão de cada irmão. Para o irmão O, digamos que o tempo de ida e chegada do segundo irmão é τ 0 , sendo assim, pelas transformações de Lorentz, o tempo que o segundo irmão irá medir, segundo O, é dado por
τ = γτ 0
Assim, o primeiro irmão chega à conclusão de que mais tempo se passou para o irmão que viajou, então O é mais novo que Õ. Agora vamos considerar a perspectiva de Õ. Pelo postulado de que todo ob- servador está em repouso relativo a si mesmo, o segundo irmão se considera parado, enquanto a terra possui uma velocidade −ν (positiva na volta). Diga- mos, então, que Õ meça um tempo de ida e volta igual à τ 1 , sendo assim, ele irá, utilizando as transformações de Lorentz, concluir que o seu irmão que ficou na terra sentirá uma passagem de tempo igual à
τ ′^ = γτ 1
Isso leva Õ a crer que mais tempo se passou para O, logo, O está mais velho que Õ. Vemos, claramente, que os resultados são contraditórios. Então, qual dos dois irmãos está certo?.
3.2 Método de resolução
Há várias maneiras de tentar explicar o motivo desse paradoxo. Uma delas é lembrar de considerar que, em alguns momentos, a nave precisará acelerar e desacelerar e, sendo assim, a relatividade restrita seria limitada para o caso, sendo necessária a relatividade geral. Porém é possível resolver este paradoxo mesmo sem a teoria geral. Vamos, agora, adicionar um aspecto na situação. Cada um dos gêmeos possui um transmissor que emite sinais de frequência (no seu próprio referencial) f 0. Para poder resolver o paradoxo, vamos considerar que a distância entre a estrela e a terra não muda, e que as viagens de ida e volta são simétricas, levando o mesmo tempo, tendo mesma velocidade e mesma distância.
3.3 A viagem de Õ vista por O
O gêmeo Õ partirá em viagem e constantemente enviará sinais para O, sendo assim, usaremos o que foi desenvolvido na seção do efeito Doppler relativístico. O irmão da terra observará os sinais com frequência dada por
f (^) ti = f 0
1 − νc 1 + νc onde o super-índice indica a viagem de ida e o subíndice indica que é o irmão da terra quem recebe o sinal. O irmão da terra descobrirá que o segundo irmão inverteu sua direção no tempo de metade da viagem mais o tempo do sinal chegar da estrela até a terra, ou seja
t 1 =
c
Como sabemos que T 2 = Dν , o número de pulsos que o irmão da terra receberá nesse intervalo de tempo t 1 será
N (^) ti = f (^) ti t 1
N (^) ti = f 0
ν
ν^2 c^2 Já na viagem de volta, a frequência agora recebida pelo irmão O será de
f (^) tv = f 0
1 + νc 1 − νc
Sabendo que o intervalo de volta será dado por T − t 1 , então o número de pulsos recebidos por O neste tempo será
3.5 Resolução do Paradoxo dos Gêmeos
Ao analisar a situação em que ambos os gêmeos trocam informações entre si, ou seja, mandam sinais luminosos um para o outro, o efeito Doppler pode ser utilizado para mostrar que, para ambos referenciais, o tempo entre a ida e a volta do irmão Õ para o referencial da terra (T) é maior que o tempo medido por Õ (T’). Dessa forma o paradoxo é resolvido sem precisarmos introduzir conceitos mais abrangentes, como a relatividade geral.
Antes de concluirmos o trabalho, buscaremos apresentar uma ideia mais vi- sual e intuitiva dos resultados que obtivemos. Para isso, convém introduzir o conceito de Diagrama de Minkowski e as linhas de mundo. Um diagrama de Minkowski é uma forma de visualizar trajetórias pelo espaço- tempo. No eixo horizontal, é mostrada a posição; no eixo vertical, o tempo, em unidades tais que c = 1 - ou seja, a luz viaja em retas com ângulo de 45 o. A trajetória de uma partícula num diagrama de Minkowski é chamada de linha- de-mundo, e essa linha nunca se inclina mais que 45 o^ da vertical, pois isso significaria que ela estaria andando mais rápido que a luz. Os diagramas de Minkowski são uma ferramenta importante na relatividade, pois permitem, de forma simples, visualizar o tempo como uma dimensão, e observar como o con- teúdo do universo sempre se move, mesmo que seja somente através do tempo. Assim, precisamos construir o diagrama para a viagem dos gêmeos. Na figura 4 a reta de espaço constante é o gêmeo da terra, enquanto a outra curva mostra a linha-de-mundo do segundo gêmeo.
Figura 4: Diagrama de Minkowski ilustrando o problema do paradoxo dos gêmeos, no refe- rencial do gêmeo na terra. [10]
4.1 Mas então, de onde vem o Paradoxo?
Vendo o resultado obtido por adicionar o efeito Doppler, vemos que não há realmente um paradoxo na situação. Então por quê, pela lógica do dilatamento temporal, surge o problema? Olhando o diagrama de Minkowski, é fácil entender a causa do erro quando simplesmente aplicamos as transformações de Lorentz sem pensar a fundo. Vamos, agora, adicionar um elemento na linha-de-mundo do segundo gêmeo. Isto é, vamos construir suas linhas de simultaneidade (Linhas que representam como o gêmeo na nave vê o tempo passar).
Figura 5: As linhas de simultaneidade de Ô. [11]
As linhas azuis representam o a perspectiva de tempo do segundo gêmeo na ida, e as vermelhas na volta. Ao observar bem o gráfico, é possível ver que no momento de inversão do movimento, existe um tempo ∆t no qual nenhuma das linhas de simultaneidade de Ô está presente, ou seja, o segundo gêmeo não conta esse tempo simplesmente usando a dilatação temporal. Fica claro, dessa forma, que o paradoxo surge pois, aplicando de forma errada as transformações de Lorentz, o gêmeo Ô deixa de contar uma passagem de tempo durante a mudança do movimento. Para ter uma ideia ainda mais clara da abordagem do Paradoxo do Gêmeos a partir do Diagrama de Minkowski, sugerimos que assista ao vídeo do canal minutephysics [6].
Com este trabalho, conseguimos mostrar que, apesar de as transformações de Lorentz serem uma ferramenta extremamente importante para a relativi- dade, seu uso requer certos cuidados, uma vez que elas podem acabar gerando
[1] The Science Asylum. Paradoxo dos Gêmeos: A Explicação Completa. Youtube. 2016. url: https://www.youtube.com/watch?v=UInlBJ4UnoQ. [2] Albert Einstein. url: https://en.wikipedia.org/wiki/Annus_Mirabilis_papers# /media/File:Einstein_patentoffice.jpg. [3] Alan Guth. The Doppler Effect and Special Relativity (PDF). Massachussets Institute of Technology, 2018. url: https://web.mit.edu/8.286/www/lecn18/ln01-euf18.pdf. [4] Imagem de Capa. url: https://www.assignmentpoint.com/wp-content/uploads/ 2016/07/Twin-Paradox.jpg. [5] Paul Langevin. url: https://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Langevin#/media/ Ficheiro:Paul_Langevin_Wellcome2.jpg. [6] minutephysics. Complete Solution To The Twins Paradox. Youtube. 2016. url: https: //www.youtube.com/watch?v=0iJZ_QGMLD0. [7] Herch Moysés Nussenzveig. Curso de física básica: Ótica, relatividade, física quântica (vol. 4). Editora Blucher, 2014. [8] Guilherme Müller Peccini. “Uma dedução alternativa às transformações de Lorentz e o relativismo do tempo na relatividade restrita”. Em: (2015). [9] rapsodyinbooks. 2017. url: https://rhapsodyinbooks.files.wordpress.com/2017/ 05/large.png. [10] The Twin Paradox. 2014. url: https://properphysics.wordpress.com/category/ twin-paradox/.
[11] Wikipedia. Zwillingsparadoxon — Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. [Online; Acesso 12 Dezembro 2020]. 2020. url: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title= Zwillingsparadoxon&oldid=202173025. [12] Sérgio Carlos Zílio. Óptica moderna: fundamentos e aplicações. Instituto de Física de São Carlos, 2009.
