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Prova de Matemática do ENADE 2005 comentada pelo Professor Alzir Fourny Marinhos.
Tipologia: Provas
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Não perca as partes importantes!
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-
Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 2005 para os cursos de Licenciatura em Matemática.
Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2011.
Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela nota 3,0 do ENADE 2008. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a necessidade de expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo.
Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis erros que por ventura tenhamos cometido.
Agradecemos ao Professor Rodrigo pelas resoluções das questões 23, 24, 27 e 28.
Dedicamos este trabalho aos alunos concluintes 2011 do Curso de Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas Campo-Grandenses.
Alzir Fourny Marinhos
E-mail: fourny@uol.com.br
Rodrigo Neves
E-mail : nevesmat@yahoo.com.br
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Retirada de x 3 /s de água.
Custo total de y estimado da obra em bilhões de reais.
Número de habitantes z beneficiados pelo projeto.
x + 2y – 2z = 11
4y – z = 4
x - 2z = 2
Multiplicando a primeira equação por (-1) e somando-se à terceira, teremos o sistema equivalente:
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x + 2y – 2z = 11
4y – z = 4
Daí:
y = 4,5 bilhões de reais;
z = 4y - 4 = 4. 4,5 - 4 = 14 milhões de habitantes;
x = 11 – 2y + 2z = 11 – 9 + 28 = 30 m^3 / s (menos de 2% da vazão do rio( 2% de 1850 = 37 m^3 /s).
RESPOSTA: O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
4
2 5
1
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1 4
4
4
4 4
3
1 2
1
:
3
1 1 2
1
1 2
) 21 2
(^1 2
1
3
1 1
2 1
3
2 1 1
;^1 3
2 1
−
− + = =
−
− +
− > −
− > −
n −
n
n
n n
Chegamos em
Seq x temos
x
x x
x
S x
Então 2 n - 1^ < 81 e o maior inteiro que satisfaz a inequação é n = 7.
RESPOSTA : 7
P(x) = (m - 4) (m^2 + 4) x^5 + x^2 + kx + 1.
P(x) não admite raiz real.
Veja que um polinômio do quinto grau admite cinco raízes. Podemos ter dois pares de raízes complexas imaginárias conjugadas e uma raiz complexa real. Se o polinômio for de grau impar sempre admite raiz real.
Logo (m - 4). (m^2 + 4) = 0, para não admitir raiz real.
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Daí m - 4 = 0 e m = 4.
Para m^2 + 4 = 0, não teremos raízes reais como solução desta equação.
Logo para (m - 4). (m^2 + 4) = 0 temos m = 4.
Agora devemos analisar x^2 + kx + 1 = 0.
Qual a condição para que tenha raízes complexas?
Que b^2 – 4ac seja negativo.
Logo k^2 – 4 < 0.
A parábola abaixo representa a lei y = k^2 – 4 e tem valores de y negativos no intervalo -2 < k < 2.
Logo a solução de k^2 – 4 < 0 é -2 < k < 2, k Real.
RESPOSTA: m = 4 e -2 < k < 2.
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Veja que Q 0 ,^ Q 2 , Q 4 , Q 6... são paralelogramos retângulo. Veja que Q 1 ,^ Q 3 , Q 5... são paralelogramos não retângulo.
Construindo um modelo para os dois primeiros paralelogramos Q 0 e Q 1 :
Veja que a área de (Q 1 ) é igual a área de (Q 0 ) subtraída de quatro triângulos retângulos congruentes formados entre as duas figuras Q 0 e Q 1. Assim:
Supondo o retângulo Q 0 com lados 2 e 4. A área a(Q 0 ) = 8.
A área de cada triângulo retângulo será S =
teremos a( Q 1 ) = 8 – 4.1= 4.
Assim temos
0
i − 1
i
Então temos todos os itens do exercício corretos.
RESPOSTA: Todos os itens estão corretos.
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V 1 - Volume da Pirâmide.
1
Veja que AO é a altura da pirâmide.
V 2 – Volume do Prisma.
1
2
2
Veja que CD.CB e AO surgem nos dois volumes. Esses dados determinam que a base da pirâmide seja retângulo ou um paralelogramo qualquer e a altura da pirâmide dada por AO, seja definida quando o ângulo OAB for retângulo ou não.
RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é justificativa da primeira.
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(1) x^2 + y 2 + 4x – 4y + 4 = 0 (2) x^2 + y^2 – 2x + 2y + 1 = 0
x^2 + y^2 – 2xcx – 2ycy + xc^2 + yc^2 – r^2 = 0
(1) - 2 xc = 4; x (^) c = - 2
(-2)^2 + 2^2 – r^2 = 4
(2) – 2xc = -2; xc = 1
12 + (-1)^2 – r^2 = 1
r^2 = 1; r = 1
Abaixo temos as representações das duas equações de circunferência:
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Veja novembro de 2005:
seg ter quar qui sex sáb dom
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 .....................................................
................................................................................
..................................................... 1097
15 é côngruo a 1 módulo 7, isto é, 15 dividido por 7 deixa resto 1, que está na terça feira.
Devemos verificar quantos dias temos de 15 de Nov de 2005 a 15 de Nov de 2008.
Veja que temos em 2005 de 15 de Nov (inclusive) a 31 de dez, 16 dias em novembro e 31 dias em dezembro.
Em 2006 temos 365 dias; em 2007 temos 365 dias; em 2008 (ano bissexto com fevereiro tendo 29 dias) até 15 de novembro temos 366 dias menos 46 dias (excluir 15 dias de novembro mais 31 dias de dezembro). Logo temos no total 1097 dias, que dividido por 7 deixa resto 5, que equivale ao sábado.
RESPOSTA: sábado
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Módulo 1
Argumento 0^0
K = 0: 1(cos 0^0 + i sen 0^0 ) = 1
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Área de T:
Área a =
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Área de S:
Veja que a’= 4 a.
RESPOSTA: a’^ = 4ª
