Baixe Resolução Comentada - ITA 2013 e outras Notas de estudo em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!
MM ATAT EE MM ÁÁ TT II CC AA
NOTAÇÕES
: conjunto dos números naturais
: conjunto dos números inteiros
: conjunto dos números reais
mxn(): conjunto das matrizes reais m x n
det(M): determinante da matriz M
M
t : transposta da matriz M
A \ B: {x: x ∈ A e x ∉ B}
: conjunto dos números complexos
i: unidade imaginária, i^2 = – 1
z: módulo do número z ∈
Re z: parte real do número z ∈
[a, b]: {x ∈ ; a ≤ x ≤ b}
[a, b[: {x ∈ ; a ≤ x < b}
]a, b[: {x ∈ ; a < x < b}
k
∑: a n
xn: a 0
x + a 2
x^2 + ... + a k
xk, k ∈
n=
k
∑: an: a 0 + a 1 + a 2 + ... + ak, k ∈
n=
Arg z: argumento principal de z ∈ \ {0}, Arg z ∈ [0, 2π[
A
C : conjunto (evento) complementar do conjunto
(evento) A
–––
AB:segmento de reta unindo os pontos A e B
A
^ BC: ângulo formado pelos segmentos
––– AB e
––– BC, com
vértice no ponto B.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados
são cartesianos retangulares.
1 CC
Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo
U. Das afirmações:
I. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);
II. (A C) \ B = A BC^ C;
III. (A \ B) (B \ C) = (A \ B) \ C,
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas II.
c) apenas I e II. d) apenas I e III.
e) todas.
Resolução
I) Verdadeira , pois para x ∈ U, temos:
x ∈ A \ (B C) ⇔ x ∈ A e (x ∉ B ou x ∉ C) ⇔
⇔ (x ∈ A e x ∉ B) ou (x ∈ A e x ∉ C) ⇔
⇔ x ∈ (A \ B) ou x ∈ (A \ C) ⇔
⇔ x ∈ (A \ B) (A \ C)
Portanto, A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)
II) Verdadeira , pois para x ∈ U, temos:
x ∈ (A C) \ B ⇔ x ∈ (A C) e x ∉ B ⇔
⇔ x ∈ (A C) e x ∈ BC^ ⇔ x ∈ (A C) BC^ ⇔
⇔ x ∈ (A BC^ C).
Portanto, (A C) \ B = A BC^ C
III) Falsa , pois para A = {a; b; c; d}, B = {b; d; e; f} e
C = {c; d; f; g}, temos:
(A \ B) (B \ C) = {a; c} {b; e} = Ø
(A \ B) \ C = {a; c} \ {c; d; f; g} = {a} ≠ Ø
Portanto, para os exemplos dados,
(A \ B) (B \ C) ≠ (A \ B) \ C
2 CC
A soma das raízes da equação em , z
8
4
tais que z – z = 0, é
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
Resolução
I) z 8 – 17z^4 + 16 = 0 ⇔ (z^4 ) 2 – 17z^4 + 16 = 0 ⇔
⇔ z^4 = 1 ou z^4 = 16
II) z 4 = 1 ⇔ z = 1 ou z = – 1 ou z = i ou z = – i
III) z 4 = 16 ⇒ z = 2 ou z = – 2 ou z = 2i ou z = – 2i
IV) O conjunto verdade de equação
z^8 – 17z^4 + 16 = 0 é {1; – 1; i; – i; 2; – 2; 2i; – 2i}
V) As únicas raízes dessa equação que satisfazem a
condição z – z = 0 são 1 e 2 e a soma dessas raízes
é 3.
4 DD
A soma de todos os números reais x que satisfazem a
equação
x + 1
x + 1 + 64 = 19 4
x + 1
é igual a
a) 8. b) 12. c) 16. d) 18. e) 20.
Resolução
x + 1
x + 1 + 64 = 19. 4
x + 1 ⇔
⇔ 2
x + 1
3
x + 1 + 64 = 19. 2
x + 1
2
Fazendo 2
x + 1 = y > 0, tem-se:
y^3 – 19y 2 + 44. y + 64 = 0, em que 4 é raiz da equação,
pois 4^3 – 19. 4^2 + 44. 4 + 64 = 0. As outras duas raízes,
α e β, são tais que:
α + β + 4 = 19 e α. β. 4 = – 64 ⇔
⇔ α + β = 15 e α. β = – 16 ⇔
⇔ (α = 16 e β = – 1) ou (α = – 1 e β = 16).
Os possíveis valores de y serão, portanto, 4, 16 e – 1.
Assim:
I) y = 4 ⇒ 2
x + 1
= 2^2 ⇒ x + 1 = 2 ⇒
⇒ x + 1 = 4 ⇒ x = 3
II) y = 16 ⇒ 2
x + 1
= 2^4 ⇒ x + 1 = 4 ⇒
⇒ x + 1 = 16 ⇒ x = 15
III) y = – 1 ⇒ 2
x + 1
= – 1 ⇒ ∃ x ∈
As raízes reais da equação dada são 3 e 15, cuja soma
é 18.
5 AA
Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as
equações
ab = e ln(a^2 + b) + ln8 = ln5,
um possível valor de é
a). b) 1. c) 2. d) 2. e) 32.
Resolução
I) ab = ⇔ a^2 b = ⇔ b =
II) n (a^2 + b) + n 8 = n 5 ⇔ n [(a^2 + b). 8] = n 5 ⇔
⇔ (a 2 + b) 8 = 5 ⇔ 8a^2 + 8b = 5
III) Substituindo (I) em (II), temos:
8a^2 + 8. = 5 ⇔ 16a^4 – 10a^2 + 1 = 0 ⇔
⇔ a
2 = ⇔ a
2 = ou a
2
IV) (^) ⇔ ⇒ = ± 4 2
V) ⇔ ⇒ = ±
VI) Um possível valor de é
16a 2
a ––– b
2 a = ± –––– 2
1 b = ––– 8
a^2 = ––– 2
a 2. b = ––– 16
2 ––––– 2
a ––– b
2 a = ± –––– 4
1 b = ––– 2
a^2 = ––– 8
a 2. b = ––– 16
2 ––––– 2
a ––– b
a ––– b
16a
2
7 AA
Considere funções f, g, f + g : → . Das afirmações:
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;
lI. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
IlI. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,
é (são) verdadeira(s)
a) nenhuma. b) apenas I e II c) apenas I e III
d) apenas III e IV. e) todas.
Resolução
I) Falsa.
Considere as funções f: → f(x) = x e
g: → g(x) = – x. Ambas são injetoras e
f + g: → é tal que (f + g)(x) = 0 e não é injetora,
pois é constante.
II) Falsa.
No exemplo anterior, as duas funções f e g são
sobrejetoras, todavia f + g: → (f + g)(x) = 0
não é sobrejetora.
III) Falsa.
Considere as funções f, g, f + g: → tais que
f(x) = x
2
2
f e g não são injetoras, porém a função f + g é
injetora, pois (f + g)(x) = f(x) + g(x) =
= (x
2
2
- x + 1) = 2x + 2 e f + g é do
primeiro grau e estritamente crescente em .
IV) Falsa.
No exemplo do item (III), as funções f e g apre-
sentadas não são sobrejetoras, porém f + g é so-
brejetora (na verdade, bijetora).
8 CC
Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na
divisão de n
2 por 6, o quociente é um número ímpar, então
o resto da divisão de n por 6 é
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
Resolução
I) Se n > 6 é inteiro positivo e não divisível por 6,
então n = 6k + p, com k ∈ * e p ∈ {1; 2; 3; 4; 5}
II) Como n
2 = (6k + p)
2 = 6(6k
2
2 , o
quociente da divisão de n
2 por 6 será (6k
2
acrescido do quociente da divisão de p
2 por 6 e o
resto será o mesmo resto da divisão de p
2 por 6.
III) Como o quociente da divisão de n
2 por 6 é ímpar ,
o quociente da divisão de p
2 por 6 deverá ser
ímpar, pois (6k
2
IV) Assim, para:
2 = 1 e 1 6 , cujo quociente é par.
1 0
2 = 4 e 4 6 , cujo quociente é par.
4 0
2 = 9 e 9^6 , cujo quociente é ímpar.
3 1
e o resto é 3.
2 = 16 e 16 6 , cujo quociente é par.
4 2
2 = 25 e 25 6 , cujo quociente é par.
1 4
10 BB
Seja λ solução real da equação λ + 9 + 2 λ + 17 = 12.
Então a soma das soluções z, com Re z > 0, da equação
z^4 = λ – 32, é
a ) 2. b) 22. c) 42. d) 4. e) 16.
Resolução
I) λ + 9 + 2 λ + 17 = 12 ⇔
⇔ 24 λ + 9 = 136 – λ, com λ ≤ 136 ⇔
⇔ 576 λ + 5 184 = 18 496 – 272λ + λ^2 ⇔
⇔ λ^2 – 848λ + 13 312 = 0 ⇔
⇔ λ = ⇔ λ = 832 ou λ = 16
II) Para λ = 16, temos:
z^4 = 16 – 32 ⇔ z^4 = – 16 ⇔
⇔ z^4 = 16. (cos 180° + i. sen 180°)
III) As raízes quartas de – 16 são, portanto:
z 1
= 2(cos 45° + i. sen 45°) = 2 + 2 i
z 2
= 2(cos 135° + i. sen 135°) = – 2 + 2 i
z 3
= 2(cos 225° + i. sen 225°) = – 2 – 2 i
z 4
= 2(cos 315° + i. sen 315°) = 2 – 2 i
IV) Os valores de z tais que Re(z) > 0 são 2 + 2 i e
2 – 2 i. A soma desses dois números é 22.
11 EE
Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito
Ω. Se A e B são eventos de Ω tais que p(A) = ,
p(B) = e p(A B) = , as probabilidades dos
eventos A\ B, A B e A
C B
C são, respectivamente,
a) , e. b) , e.
c) , e. d) , e.
e) , e.
Resolução
I) Observe, pelo diagrama a seguir, que
n (A \ B) = n (A) – n (A ∩ B) e
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
Observe ainda que
A
C ∪ B
C = (A ∩ B)
C = Ω – (A ∩ B)
II) P (A \ B) = = – =
= P (A) – P (A ∩ B) = – =
III) P (A ∪ B) = =
= P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = + – =
IV) P (A
C ∩ B
C ) = P (Ω) – P (A ∩ B) =
n (A \ B) –––––––– n (Ω)
n (A) ––––– n (Ω)
n(A ∩ B) –––––––– n (Ω)
n (A ∪ B) –––––––– n (Ω)
n (A) ––––– n (Ω)
n (B) ––––– n (Ω)
n(A ∩ B) –––––––– n (Ω)
13 CC
Considere A ∈ M 5x
() com det(A) = 6 e α ∈ \ {0}.
Se det(αA
t AA
t ) = 6 α
2 , o valor de α é
a). b)^. c)^. d) 1.^ e) 216.
Resolução
Sendo A ∈ M5x5 () e det (A) = 6 , temos:
det (α. A
t
. A. A
t ) = 6 . α
2 ⇔
⇔ α
5
. det (A
t ). detA. det (A
t ) = 6 . α
2 ⇔
⇔ α
5
. (6 )
3 = 6 . α
2 ⇔
⇔ α
3 = , pois α 0
Logo, α = =
3 6
3 36 ––––– 6
3 36 ––––– 6
14 EE
Sejam a um número real e n o número de todas as
soluções reais e distintas x ∈ [0,2π] da equação
cos
8 x – sen
8 x + 4 sen
6 x = a. Das afirmações:
I. Se a = 0, então n = 0;
II. Se a = , então n = 8;
III. Se a = 1, então n = 7;
IV. Se a = 3, então n = 2,
é (são) verdadeira( s)
a) apenas I. b) apenas III. c) apenas I e III.
d) apenas II e IV. e) todas.
Resolução
I) Observe que
cos^8 x = (cos^2 x)^4 = (1 – sen^2 x)^4 = (1 – 2 sen^2 x + sen^4 x)^2 =
= 1 + 4 sen^4 x + sen 8 x – 4sen 2 x + 2sen 4 x – 4sen 6 x ⇔
⇔ cos^8 x – sen 8 x + 4sen 6 x = 1 – 4sen 2 x + 6sen 4 x =
a
Assim, 6sen 4 x – 4sen 2 x + 1 – a = 0
II) Para a = 0, temos:
6sen
4 x – 4sen
2 x + 1 = 0 ⇔ sen
2 x = ∉
Logo:
III) Para a = , temos:
6sen
4 x – 4sen
2 x + = 0 ⇔ sen
2 x = ⇔
⇔ sen 2 x = ou sen 2 x = ⇔ sen x = ± ou
sen x = ±. Desta forma, a equação possui
soluções no intervalo [0; 2π], como se vê no
ciclo trigonométrico a seguir:
n = 8
n = 0
15 AA
Se cos 2x = , então um possível valor de
é
a)^. b) 1.^ c)^ 2.^ d)^ 3.^ e) 2.
Resolução
I) cos 2x = ⇔ 2 cos
2 x – 1 = ⇔
⇔ cos
2 x = ⇔ cos x = ou cos x = – ⇔
II) Sendo y = , temos:
y = =
= – cos x
Portanto, y = ou y = –
cos x ––––– – 1 sen x –––––––––––––––––––––– 1 1 ––––––––– – ––––––––– sen (x – π) cos (π – x)
cos x – sen x ––––––––––––– sen x –––––––––––––––– –(cos x – sen x) –––––––––––––– sen x. cos x
cos x – sen x ––––––––––––– sen x –––––––––––––––– 1 1
- ––––– + ––––– sen x cos x
cotg x – 1 ––––––––––––––––––––––– cossec (x – π) – sec (π – x)
cotg x – 1 –––––––––––––––––––––– cossec(x – π) – sec (π – x)
16 BB
Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e
intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferên-
cia. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a
intercepta num ponto C, tal que o ângulo A
^ BC seja
obtuso. Então o ângulo C
^ AB é igual a
a) A
^ BC. b) π – 2 A
^ BC.
c) A
^ BC. d) 2 A
^ BC – π.
e) A
^ BC –.
Resolução
I) O
^ CB = O
^ BC = x, pois o triângulo COB é isósceles
e portanto A
^ BC = + x ⇔ x = A
^ BC –
II) C
^ AB é ângulo excêntrico exterior e portanto
C
^ AB = ⇔ C
^ AB = – 2x
Assim:
C
^ AB = – 2.
A
^ BC –
= – 2 A
^ BC + π ⇔
⇔ C
^ AB = – 2 A
^ BC
3 π –– 2
π –– 2
π –– 2
π –– 2
π – 2x – 2x ––––––––– 2
π –– 2
π –– 2
π –– 2
π ––– 2
⇔ y’ = (x’)^2 – x’ – ⇔
que, no sistema x’Oy’, é a equação de uma
parábola de vértice:
x’ v
= = – = – e
y’ v
2
-. – =
III) No sistema x’Oy’, o vértice é V’.
Esse vértice no sistema xOy é
V , pois:
x = –. cos 45° – sen 45° =
= –. +. = – e
y = – sen 45° + cos 45° =
IV) Toda reta paralela ao eixo Ox é do tipo y = k
(constante) e o sistema:
⇒ x
2
2
só admite solução única se Δ = – 24k = 0 ⇔ k = 0.
Para k = 0, a equação será x
2
A única reta paralela ao eixo x e tangente à
parábola é o próprio eixo x e o ponto de tangência
é (1; 0).
3
4
4
4 8
8 8
8
8
y = k
x
2
2
y’ = – –––– (x’)^2 – ––– x’ – –––– 3 3 6
V)
