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EQUAÇÕES NODAIS
Os Sistemas Elétricos de Potência (SEP) são compostos por geradores síncronos
que alimentam cargas através de linhas de transmissão e transformadores. Estes circuitos
elétricos possuem tensões nos terminais dos equipamentos (nós) e correntes nos
elementos que os interligam (ramos). Em configurações simples, os circuitos são radiais,
enquanto sistemas mais complexos apresentam malhas com múltiplos nós e ramos.
A resolução destes circuitos consiste em determinar as tensões em todos os nós e
as correntes nos ramos, garantindo que os valores obtidos estejam dentro dos limites
operacionais normais. Para sistemas de grande porte, com elevada quantidade de nós e
ramos interligados, utilizam-se equações fundamentadas nas leis de Kirchhoff das tensões
e das correntes, juntamente com métodos matriciais, como as matrizes de admitâncias
nodais e impedâncias nodais, processadas através de programas computacionais.
Matriz de Admitâncias Nodais
A Matriz de Admitâncias Nodais fundamenta-se na Lei das Correntes de
Kirchhoff, que estabelece que a soma das correntes em um nó é sempre igual a zero,
considerando positivas as correntes que entram e negativas as que saem. As correntes nos
nós dependem das diferenças de tensão nos terminais dos ramos e da admitância dos
mesmos. No modelo elétrico do sistema, consideram-se fontes e cargas ligadas ao nó em
relação à referência (terra), além das admitâncias conectadas à referência e das
impedâncias entre nós distintos.
A formulação das equações para cada nó gera um sistema onde as tensões dos nós
e as admitâncias dos ramos são conhecidas. A resolução dessas equações permite
determinar as correntes que circulam pelos ramos, garantindo que os valores obtidos
estejam dentro dos limites operacionais adequados. Este método é essencial para a análise
de sistemas elétricos de potência de grande porte, onde a complexidade das interligações
exige abordagens matemáticas eficientes para assegurar o funcionamento seguro e estável
da rede.
Figura 5.14 – Sistema elétrico
Nota: (a) sistema elétrico; (b) circuitos (malhas) do circuito elétrico e admitâncias.
A Figura 5.14 mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico radial com
gerador, transformador elevador, linha de transmissão, transformador abaixador e carga,
com a fonte e a carga ligadas à terra (referência) e os elementos do sistema ligados entre
dois nós.
Considerando a fonte sem impedância (fonte ideal), a carga e os componentes do
sistema, transformadores e de linha de transmissão como admitância e com os modelos
considerados para os componentes do sistema, obtém-se o circuito elétrico no qual se tem
cinco nós, quatro do sistema mais um que é a referência, as tensões e as correntes dos nós.
Escrevendo as equações para os nós, tem-se:
I
1
E
1
E
2
y 12
E
1
y 12
E
2
y 12
I
2
E
2
E
1
y ˙ 12
E
2
E
3
y ˙ 23
E
2
˙ y 20
− y ˙ 12
E
1
y ˙ 12
E
2
+(− y ˙ 23
E
3
I
3
E
3
E
2
y 23
E
3
E
4
y 34
E
3
y 30
y 23
E
2
y 23
y 30
y 34
E
3
y 34
E
4
I
4
E
4
E
3
y ˙ 34
E
4
˙ y 40
− ˙ y 34
E
3
+( ˙ y 34
E
4
que colocadas na forma matricial, resultam:
modelos dos equipamentos ligadas para a referência, e impedâncias ligadas de um nó para
outro. Assim, a tensão de nó é a tensão do nó para a referência, e a corrente de nó é a
corrente da fonte ligada ao nó (da referência para o nó) ou a corrente da carga ligada ao nó
(do nó para a referência).
A Figura 5.15 mostra o circuito do sistema elétrico da Figura 5.14, o qual apresenta
quatro nós independentes conectados pelas impedâncias dos componentes do sistema.
Figura 5.15 – Sistema elétrico
Nota: circuitos (malhas) do circuito elétrico e impedâncias.
E, utilizando-se a notação matricial, tem-se a equação:
[
E
1
E
2
E
3
E
4
]
[
Z
11
Z
12
Z
13
Z
14
Z
21
Z
22
Z
23
Z
24
Z
31
Z
32
Z
33
Z
34
Z
41
Z
42
Z
43
Z
44
][
I
1
I
2
I
3
I
4
]
Ou matriz de impedâncias nodais, usualmente denominada de matriz
Z
barra
. Para
obter a matriz de impedâncias nodais
Z
barra
, utiliza-se um algoritmo próprio (BROWN,
1975). A matriz Zbarra também pode ser obtida pela inversão da matriz Ybarra.
A matriz de impedâncias nodais de um sistema elétrico é quadrada, de dimensão n,
onde n é o número de nós do sistema sem contar o nó de referência, simétrica (exceto
quando há transformadores defasadores no sistema) e cheia (todos os elementos são
diferentes de zero).
O produto da matriz
Z
barra pelo vetor de correntes de nó resulta no vetor de tensões
de nó do circuito.
Formação da matriz
Y
barra
A formação da matriz Ybarra é preferida, pois o algoritmo existente apresenta
maior facilidade em comparação ao utilizado para a matriz
Z
barra
. Além disso, a matriz
Y
barra
é esparsa, o que reduz a necessidade de memória de armazenamento e melhora a
velocidade das operações computacionais nos cálculos.
A partir das equações desenvolvidas para o circuito do sistema da Figura 5.14,
obtém-se o algoritmo para a formação da matriz
Y
barra
, com a definição dos elementos
Y
ij
a. Elementos da diagonal principal
( Y
ii
: representam a soma das admitâncias
conectadas ao nó i, para i = 1, 2, ..., n;
b. Elementos fora da diagonal principal (
Y
ij
: correspondem à admitância conectada
entre os nós i e j , com j ≠ i, sendo o sinal trocado. Em circuitos paralelos, esses
elementos são calculados pela soma das admitâncias conectadas entre os nós i e j.
Formação da matriz
Z
barra
A formação da matriz
Z
barra utiliza um algoritmo mais complexo e demorado,
resultando numa matriz cheia. Isso implica numa maior necessidade de memória para
armazenamento e num tempo de execução mais elevado nos cálculos (BROWN, 1975).
A matriz
Z
barra
pode ser obtida pela inversão total da matriz
Y
barra
ou pela inversão
parcial, quando é necessária apenas para determinados nós do sistema. Este método,
embora mais exigente computacionalmente, é essencial para determinadas análises de
sistemas elétricos de potência.
Exemplos
EXEMPLO 5.
Para o sistema apresentado, considerando SB = 100 MVA:
a) calcular a matriz barra Y;
b) calcular a matriz barra Z;
Com o algoritmo de formação da matriz barra Y, obtêm-se os elementos da matriz e a
matriz completa:
Y
11
Y
12
=− j 12,500 pu
Y
12
Y
12
= j 12,500 pu
Y
21
Y
12
= j 12,500 pu
Y
22
y ˙ 12
=1,6080− j 20,6236 pu
Y
23
=− y ˙ 23
=−1,6080+ j 8,2252 pu
Y
32
=− y ˙ 23
=−1,6080+ j 8,2252 pu
Y
33
y ˙ 23
=1,6080− j 20,6236 pu
Y
34
y 34
= j 12,500 pu
Y
43
=− ˙ y 34
= j 12,500 pu
Y
44
y 34
y 40
=− j 12,500 pu
[
Y
barra
]
[
Y
11
Y
12
Y
13
Y
14
Y
21
Y
22
Y
23
Y
24
Y
31
Y
32
Y
33
Y
34
Y
41
Y
42
Y
43
Y
44
]
[
Y
barra ]
[
0,0000− j 12,5000 0,0000+ j 12,5000 0,0000+ j 0,0000 0,0000+ j 0,
0,0000+ j 12,5000 1,6080− j 20,6236 −1,6080+ j 8,2252 0,0000+ j 0,
0,0000+ j 0,0000 −1,6080+ j 8,2252 1,6080− j 20,6236 0,0000+ j 12,
0,0000+ j 0,0000 0,0000+ j 0,0000 0,0000+ j 12,5000 0,0000− j 12,
]
Matriz de impedâncias Zbarra
Colocando todos os dados do sistema na forma de impedâncias, tem-se:
Com o algoritmo de formação da matriz barra Z, ou pela inversão da matriz barra
obtêm-se os elementos da matriz e a matriz completa:
[
Z
barra ]
[
Y
barra ]
− 1
[
Z
barra ]
[
0.0058− j 4.8094 0.0058− j 4.8894 −0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.
0.0058− j 4.8894 0.0058− j 4.8894 −0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.
−0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.9483 0.0058− j 4.8894 0.0058− j 4.
−0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.9483 0.0058− j 4.8894 0.0058− j 4.
]
Tensões e correntes dos nós para a tensão no nó 4 (carga) igual a 1 , 00 ∠ 0 , 00 ° pu
[
E
1
E
2
E
3
E
4
]
[
Z
11
Z
12
Z
13
Z
14
Z
21
Z
22
Z
23
Z
24
Z
31
Z
32
Z
33
Z
34
Z
41
Z
42
Z
43
Z
44
][
I
1
I
2
I
3
I
4
]
Calculando as correntes dos nós considerando as tensões dos nós iguais a
tem-se:
[
I
1
I
2
I
3
I
4
]
[
0.4750+ j 0,
0,0000+ j 0,
0,0000+ j 0,
−0,4750+ j 0,
]
[
E
1
E
2
E
3
E
4
]
[
0.0058− j 4.8094 0.0058− j 4.8894 −0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.
0.0058− j 4.8894 0.0058− j 48894 −0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.
−0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.9483 0.0058− j 4.8894 0.0058− j 4.
−0.0058− j 4.9483 −0.0058− j 4.9483 0.0058− j 4.8094 0.0058− j 4.
][
Observação: São válidas as mesmas considerações do item Tensões e correntes
dos nós para a tensão no nó 4 (carga) igual a 1 , 00 ∠ 0 , 00 ° pu
Inversão parcial de matrizes nodais
As matrizes Ybarra podem ser invertidas parcialmente, permitindo o cálculo de
circuitos com a utilização simultânea de correntes e tensões de nó em um mesmo vetor.
O algoritmo para a inversão parcial de uma matriz é apresentado em Brown
Tomando-se a matriz Zbarra da Equação 5.56 e invertendo-se parcialmente para o
nó 1, tem-se:
[
I ´
1
E ´
2
E ´
3
E ´
4
]
[
Y ´
11
Z ´
12
Z ´
13
Z ´
14
Y ´
21
Z ´
22
Z ´
23
Z ´
24
Y ´
31
Z ´
32
Z ´
33
Z ´
34
Y ´
41
Z ´
42
Z ´
43
Z ´
44
][
E ´
1
I ´
2
I ´
3
I ´
4
]
Com o que é possível calcular as tensões dos nós 2, 3 e 4 (de carga) tendo-se a
tensão
E
1 (do gerador) do nó 1.
E XEMPLO
EXEMPLO 5.
Calcular a inversa parcial da matriz Zbarra do Exemplo 5.9 para o nó 1.
Calcular a corrente do nó 1 e a tensão dos nós 2, 3 e 4, considerando a tensão do nó
1 e a corrente do nó 4 obtidas no Exemplo 5.9.
SOLUÇÃO
[
Z
barra
]
[
0,0058− j 4,8094 0,0058− j 48894 −0,0058− j 4,9483 −0,0058− j 4,
0,0058− j 4,8894 0,0058− j 48894 −0,0058− j 4,9483 −0,0058− j 4,
−0,0058− j 4,9483 −0,0058− j 4,9483 0,0058− j 48894 0,0058− j 48894
−0,0058− j 4,9483 −0,0058− j 4,9483 0,0058− j 48894 0,0058− j 48894
]
Com a inversão parcial da matriz Zbarra para o nó 1, tem-se:
[
I
' 1
E
' 2
E
' 3
E
' 4
]
[
−0,0003− j 0,2079 −1,0166+ j 0,0000 −1,0289+ j 0,0024 −1,0289+ j 0,
−1,0166+ j 0,0000 0,0000+ j 0,0813 0,0002+ j 0,0823 0,0002+ j 0,
−1,0289+ j 0,0024 0,0002+ j 0,0823 0,0238+ j 0,2018 0,0238+ j 0,
−1,0289+ j 0,0024 0,0002+ j 0,0823 0,0238+ j 0,2018 0,0238+ j 0,
][
[
I
´ 1
E
' 2
E
' 3
E
' 4
]
[
0,4618+ j 0,
1,0294+ j 0,
1,0124+ j 0,
0,9999− j 0,
]
[
]
pu
Redução de matrizes nodais
A redução de matrizes nodais é aplicada quando não se necessita das condições de
todos os nós do circuito para a realização dos cálculos necessários à solução do sistema.
Esse processo é realizado eliminando linhas e colunas correspondentes aos nós não
essenciais, utilizando a redução de Kron, conforme apresentado em Brown (1975).
No caso de uma linha de transmissão trifásica com um cabo para-raios, a matriz de
impedâncias resultante possui dimensão 4 x 4, refletindo a interação entre os condutores
do sistema e suas características elétricas.
Z =
[
Z
aa
Z
ab
Z
ac
Z
ap
Z
ba
Z
bb
Z
bc
Z
bp
Z
ca
Z
cb
Z
cc
Z
cp
Z
pa
Z
pb
Z
pc
Z
pp
]
Considerando que o cabo para-raios é aterrado (em cada torre), a tensão neste cabo
é zero.
Para a obtenção da impedância da linha, necessita-se dos termos da matriz
referentes apenas aos cabos fase, mas que levem em consideração o efeito do acoplamento
magnético com o cabo para-raios.
Efetuando-se a redução de Kron para a linha e coluna referente ao para-raios, tem-
se:
Considerando os valores de indutância próprios (elementos da diagonal principal),
e multiplicando por ω, tem-se a reatância de serviço։
X
¿
= 0,5027 Ω / km
Equações do Fluxo de Potência
EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA
O equacionamento do problema de fluxo de potência baseia-se nas leis de
Kirchhoff aplicadas aos nós e malhas do sistema elétrico. Num regime permanente com
tensões senoidais, a soma das correntes em cada nó deve ser nula. A solução das equações
nodais permite determinar as tensões dos nós e, com as admitâncias dos ramos, calcular as
correntes que circulam pelo sistema.
Na prática, como se trabalha com a potência dos geradores e cargas, dá-se
preferência ao cálculo do fluxo de potência nos ramos do sistema. Assim, determina-se a
potência a partir das correntes e tensões das barras, permitindo a análise do
comportamento do sistema elétrico. Um exemplo é um gerador que injeta potência numa
barra ligada a duas linhas de transmissão, conforme ilustrado na Figura 6.1.
Figura 6.1 – Segmento de sistema
E, aplicando a primeira Lei de Kirchhoff ao nó p tem-se:
I
p
I
pq
I
pr
onde:
I
p
= corrente de nó
I
pq
e
I
pr
= correntes de ramos
e considerando-se a tensão dos nós
E
p
E
q
e
E
r
e as admitâncias série das linhas
˙ y pq
e y ˙ pr
, tem-se:
S
p
¿
E
p
¿
E
p
E
q
y pq
E
p
E
r
y pr
rearranjando os termos e explicitando a tensão
E
p
, vem:
E
p
S
p
¿
E
p
¿
E
q
y ˙ pq
E
r
y ˙ pr
( ˙ y pq
correntes nos nós do sistema.
Considerando-se um sistema de n nós, tem-se a seguinte equação, que relaciona
correntes e tensões nodais por meio da matriz de admitâncias nodais:
[
I
1
I
2
I
3
I
4
I
p
I
n
]
[
Y
11
Y
12
Y
13
Y
14
Y
1 p
Y
1 n
Y
21
Y
22
Y
23
Y
24
Y
2 p
Y
2 n
Y
31
Y
32
Y
33
Y
34
Y
3 p
Y
3 n
Y
41
Y
42
Y
43
Y
44
Y
4 p
Y
4 n
Y
p 1
Y
p 2
Y
p 3
Y
p 4
Y
pp
Y
pn
Y
n 1
Y
n 2
Y
n 3
Y
n 4
Y
np
Y
nn
]
×
[
E
1
E
2
E
3
E
4
E
p
E
n
]
ou:
[
I ]=[
Y ] × [
E ]
onde:
[
I ]= vetor de correntes dos nós
[
Y ]= matriz de admitâncias nodais (ou matriz Ybarra)
[
E ]
= vetor de tensões dos nós
barra e, ao ser decomposta em partes real e imaginária, gera duas equações por barra, com
quatro incógnitas. Para obter uma solução, é necessário conhecer duas dessas incógnitas
por barra, garantindo um número de equações suficiente para resolver o sistema.
As variáveis associadas a cada barra do sistema são: potência ativa e reativa
(corrente na Equação 6.8), módulo e ângulo da tensão. Assim, considerando as variáveis
existentes em cada barra, pode-se caracterizar três tipos de barra nos SEP:
a. barras PQ: barra de carga – onde são conhecidas as potências ativas e reativa das
cargas e são desconhecidos o módulo e o ângulo da tensão;
b. barras PV: barra de geração – onde são conhecidas a potência ativa e o módulo da
tensão e são desconhecidas a potência reativa e o ângulo da tensão;
c. barras Vθ: barra de referência – onde são conhecidos o módulo e o ângulo da
tensão e são desconhecidas a potência ativa e a potência reativa.
As equações para calcular a tensão das barras num sistema elétrico são algébricas,
mas não lineares, o que impossibilita a utilização de métodos diretos. A não linearidade
decorre do facto de os geradores e as cargas serem modelados como potência constante e
não como tensão ou impedância constante. Para resolver este problema, utiliza-se um
método iterativo que ajusta as variáveis desconhecidas, garantindo o equilíbrio das
potências geradas, consumidas e das perdas do sistema.
A solução do fluxo de potência só é possível através de métodos iterativos, como
Gauss, Gauss-Seidel, Newton-Raphson e outros. Estes métodos refinam sucessivamente
os valores da tensão e do ângulo em cada barra até que a diferença entre iterações seja
menor que um limite de tolerância pré-estabelecido. No estado normal do sistema, a
tensão deve estar o mais próxima possível de 1,0 pu, sendo este o valor inicial assumido
para iniciar o processo iterativo.
Com o avanço das técnicas numéricas, alguns métodos antigos, como Gauss e
Gauss-Seidel, foram substituídos por métodos mais eficientes, como Newton-Raphson,
especialmente em sistemas de grande dimensão. No entanto, devido à sua importância
didática, os métodos mais antigos ainda são estudados e analisados em algumas
abordagens teóricas.
MÉTODO DE GAUSS
Um método para a solução de equações não lineares, ou transcendentais, ou de
sistemas de equações não lineares, como é o caso de SEP, é o método de Gauss. Trata-se
de um método iterativo e, como tal, possibilita obter, não uma solução exata, mas uma
solução com uma precisão dentro de uma tolerância especificada.
Este método, sendo iterativo, pode não ser convergente e, neste caso, não possibilitar
obter uma solução, situação esta que pode ocorrer quando da solução de sistemas
elétricos.
O método de Gauss foi utilizado no primeiro programa computacional
desenvolvido para a solução do problema de fluxo de potência. Este método tem a
vantagem de não necessitar de muita memória de computador, já que a matriz Y barra
não precisa ser armazenada. Sua desvantagem, porém, é não poder apresentar
impedâncias negativas (como é o caso da representação das impedâncias de
transformadores de três enrolamentos na forma de estrela) e utilizar muito tempo de
computação para obter a convergência, além de, às vezes, apresentar dificuldade em
convergir para uma solução.
Exemplo
EXEMPLO 6.
Resolver a equação transcendental pelo método de Gauss, considerando uma
tolerância de 10-6:
x − x
2
e
x
SOLUÇÃO
Essa equação deve ser reescrita na forma:
x = f ( x ) x
∴ x = x
2
e
x
a qual permite que se proponha um processo iterativo para a solução:
Figura 6.2 – Método de Gauss
Nota: (a) solução gráfica; (b) processo de convergência.
No caso de SEP, como mostrado anteriormente, tem-se um sistema de equações
não lineares, e o método de Gauss pode ser generalizado para a solução deste sistema de
equações em um processo iterativo, resolvendo-se o sistema de n equações do tipo 6.10,
onde n é o número de barras do sistema elétrico, obtendo-se o valor das tensões dos nós.
Assim, seja o sistema de equações obtido para um sistema elétrico de n barras, na
forma da Equação 6.3 onde as variáveis são as tensões das barras:
{
F
1
E
1
, E
2
, E
3
, … … … , E
n
F
2
E
1
, E
2
, E
3
, … … … , E
n
F
n
E
1
, E
2
, E
3
, … … … , E
n
Seguindo os mesmos passos como mostrado no caso da solução de uma equação,
vem:
a) reescrever o sistema de equações na forma da Equação 6.10:
E
1
= f 1
E
1
, E
2
, E
3
, … … … , E
n
E
2
= f 2
E
1
, E
2
, E
3
, … … … , E
n
E
n
= f n
E
1
, E
2
, E
3
, … … … , E
n
b) executar o processo iterativo, iniciando com uma estimativa para a tensão de
cada barra, e obter um novo valor de tensão; comparar então com o valor
estimado inicialmente com o valor obtido e verificar se a condição
E
p
k + 1
− E
p
k
≤ ε é atendida; em caso afirmativo, tem-se a solução e, em caso
negativo, repetir o processo até que todos os valores obtidos sejam menores
que a tolerância ε predefinida:
{
E
1
k + 1
= f 1
( E
1
k
, E
2
k
, E
3
k
, … … … , E
n
k
E
2
k + 1
= f 2
( E
1
k
, E
2
k
, E
3
k
, … … … , E
n
k
E
p
k + 1
= f n
( E
1
k
, E
2
k
, E
3
k
, … … … , E
n
k
Exemplos
EXEMPLO 6.
Determinar as tensões das barras do sistema elétrico de transmissão mostrado no
diagrama da Figura 6.3 utilizando o método de Gauss. O sistema está em regime
permanente e supre as cargas indicadas, em um determinado momento (como, por
exemplo, na hora da ponta de carga de um determinado dia). As tensões estão em pu, na
base de tensão nominal, e a tensão da barra 4 é tomada como referência. A potência das
cargas e a potência do gerador da barra 1 estão em MW e Mvar e as impedâncias e
admitâncias das linhas e do transformador estão em pu na base de tensão nominal dos
equipamentos e na base de potência de 100 MVA. Executar três iterações e verificar se
