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Este relatório técnico detalha um estudo experimental sobre o movimento harmônico simples (mhs), utilizando sistemas massa-mola e pêndulos simples. O objetivo é analisar as propriedades do mhs, construir gráficos para observar o comportamento dos sistemas, determinar valores como a constante elástica e a aceleração gravitacional, e aplicar a teoria de erros para calcular erros relativos percentuais. O relatório apresenta dados experimentais, análises estatísticas, gráficos e discussões sobre os resultados obtidos.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Muitos tipos de movimento se repetem indefinidamente: a vibra¸c˜ao de um cristal de quartzo em um rel´ogio, a oscila¸c˜ao do pˆendulo de um rel´ogio de carrilh˜ao, as vibra¸c˜oes sonoras produzidas por um clarinete ou pelo tubo de um ´org˜ao, e as oscila¸c˜oes geradas pelos pist˜oes no motor de um autom´ovel, ou seja, ´e todo movimento que se repete a intervalos regulares, por isso ´e chamado de movimento peri´odico ou movimento harmˆonico. Neste relat´orio, o interesse recai sobre dois tipos particulares de movimento peri´odico conhecido como movimento harmˆonico simples (MHS): o sistema massa-mola e o pˆendulo simples[1, 3]. Um corpo em movimento peri´odico est´a sempre em uma posi¸c˜ao de equil´ıbrio est´avel. Quando deslocado dessa posi¸c˜ao e liberado, surge uma for¸ca que o faz retornar ao equil´ıbrio. No entanto, ao atingir esse ponto, devido a energia cin´etica acumulada, o corpo o ultra- passa, parando em um ponto do lado oposto e sendo novamente puxado para a posi¸c˜ao de equil´ıbrio[3]. Quando um corpo ´e deslocado da posi¸c˜ao de equil´ıbrio de uma mola, a for¸ca da mola tende a fazˆe-lo retornar a essa posi¸c˜ao. Essa for¸ca ´e chamada de for¸ca restauradora. Uma oscila¸c˜ao s´o ocorre quando h´a uma for¸ca restauradora que obriga o sistema a voltar para sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Se n˜ao houvesse atrito nem outra for¸ca capaz de remover a energia mecˆanica do sistema, esse movimento se repetiria eternamente. A for¸ca restaura- dora sempre obrigaria o corpo a retornara sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio, e ele ultrapassaria essa posi¸c˜ao todas as vezes[3]. O tipo mais simples de oscila¸c˜ao ocorre quando a for¸ca restauradora F⃗ ´e diretamente proporcional a deforma¸c˜aox⃗ em rela¸c˜aoa posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Isso acontece quando a mola ´e ideal, ou seja, quando obedece `a lei de Hooke[3]. A constante de proporcionalidade
entre F⃗ ex⃗ ´e chamada de constante el´astica ou constante k, portanto:
F⃗ = −k⃗x (1)
O sinal negativo indica que a for¸ca deve ter o sentido oposto ao do deslocamento para que o corpo volte a posi¸c˜ao de equil´ıbrio[1]. Para um sistema massa-mola em movimento harmˆonico simples, a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria (EDO) que descreve o movimento ´e derivada da segunda lei de Newton, onde a for¸ca restauradora ´e iguala massa do corpo multiplicada pela acelera¸c˜ao. A acelera¸c˜ao ´e a segunda derivada do deslocamento em rela¸c˜ao ao tempo. Assim, a EDO para o MHS ´e[2]:
m
d^2 x dt^2
= −kx (2)
ou, rearranjando:
d^2 x dt^2
k m
x = 0 (3)
A solu¸c˜ao geral desta EDO ´e uma fun¸c˜ao senoide ou cossenoide, que descreve o movi- mento oscilat´orio:
x(t) = A cos(ωt + ϕ) (4)
onde A ´e a amplitude da oscila¸c˜ao, ω =
q k m ´e a frequˆencia angular e^ ϕ^ ´e a fase inicial do movimento [3]. Contudo, a primeira parte do experimento, ´e feita utilizando um sistema massa-mola est´atico. Nesse est´agio, a mola ´e deformada at´e uma posi¸c˜ao onde a for¸ca restauradora se iguala `a for¸ca aplicada. Nesse caso, a rela¸c˜ao ´e igual ao m´odulo da express˜ao (1). O sistema permanece inerte, e a for¸ca aplicada ´e igual ao peso da massa (kx = mg). A imagem abaixo ilustra um sistema massa-mola em configura¸c˜ao est´atica. O sistema consiste em uma mola verticalmente suspensa por um suporte na parte superior, com uma massa pendurada na extremidade inferior. A presen¸ca da massa causa a deforma¸c˜ao da mola.
Figura 1: Massa-Mola est´atico[2].
Na segunda parte do experimento, a for¸ca restauradora n˜ao ser´a igual `a for¸ca aplicada, resultando em um sistema massa-mola dinˆamico e, portanto, oscilat´orio. Neste caso, o sistema exibe um Movimento Harmˆonico Simples (MHS) e as oscila¸c˜oes podem ser descritas pela rela¸c˜ao entre o per´ıodo T de oscila¸c˜ao, a constante el´astica k e a massa m do corpo[1]. O per´ıodo T ´e o tempo necess´ario para o sistema completar um ciclo completo de oscila¸c˜ao e ´e dado pela express˜ao:
T = 2π
r m k
onde m ´e a massa do corpo e k ´e a constante el´astica da mola. Essa f´ormula mostra que o per´ıodo de oscila¸c˜ao ´e diretamente proporcional a raiz quadrada da massa e inversamente proporcionala raiz quadrada da constante el´astica da mola[1].
A for¸ca restauradora ´e, ent˜ao, proporcional `a coordenada para pequenos deslocamen- tos, com a constante da for¸ca dada por k = mgL. Assim sendo, a frequˆencia angular ω de um pˆendulo simples com pequena amplitude ´e dada por[3]:
ω =
r k m
r mg/L m
r g L
Al´em dos mais, tamb´em ´e poss´ıvel determinar o per´ıodo T do pˆendulo simples combi- nando a equa¸c˜ao anterior com a equa¸c˜ao ω = (^2) Tπ :
T = 2π
s L g
Figura 4: Numera¸c˜ao dos materiais utilizados.
Trip´e Universal (1): O Trip´e Universal Delta Max ´e um equipamento utilizado em es- tudos experimentais e laborat´orios de f´ısica. Ele ´e usado para realizar experimentos de f´ısica sobre est´atica, dinˆamica, experimentos com pˆendulo e outros experimentos. Mola (2): Uma pe¸ca met´alica com propriedade restauradora, ou seja, ao ser esticada ou contra´ıda ela eventualmente voltar´a para o seu ponto inicial. R´egua Milimetrada (3): R´egua utilizada nos experimentos para medi¸c˜oes precisas. A r´egua ´e subdividida em incrementos de (0, 0010 ± 0 , 0005) m, o que contribui para a alta precis˜ao das medi¸c˜oes. Transferidor (4): Um transferidor ´e uma r´egua especial, curva, que serve para medir os ˆangulos ao longo de uma circunferˆencia com o erro de escala de σEsc. = 0, 5 ◦. Discos de Lat˜ao (5): Cinco discos de lat˜ao foram utilizados no experimento, discos com um pequeno vazado circular no centro. Peso Cil´ındrico (6): Dois pequenos pesos cil´ındricos de metal maci¸co, com massas de (0, 02373 ± 0 , 00001) kg e (0, 00759 ± 0 , 00001) kg, possuem um pequeno encaixe no topo.
Na primeira parte do experimento n˜ao houve tratamento estat´ıstico para a deforma¸c˜ao e a massa. Por isso, a incerteza de ambas as grandezas ser´a igual `a incerteza da r´egua e da balan¸ca utilizada, respectivamente. Logo, trata-se da incerteza de escala. Obs: Todas as incertezas devem ser expressas com um algarismo significativo. Para lidar com a incerteza do peso de cada massa, ´e necess´ario aplicar a propaga¸c˜ao de incertezas na equa¸c˜ao P = mg. Utilizando o valor de g = 9, 78 m/s^2 , temos que:
δP =
s ∂P ∂m
δm^2 = gδm = 0, 0001 N
Logo, de acordo com a Teoria de Erros, os dados experimentais do peso e da der- forma¸c˜ao ser˜ao representados da seguinte maneira:
Tabela 1: Peso e a Deforma¸c˜ao. Peso (N) Deforma¸c˜ao (m) (0, 2249 ± 0 , 0001) (0, 0120 ± 0 , 0005) (0, 4459 ± 0 , 0001) (0, 0230 ± 0 , 0005) (0, 6674 ± 0 , 0001) (0, 0370 ± 0 , 0005) (0, 8901 ± 0 , 0001) (0, 0470 ± 0 , 0005) (1, 1117 ± 0 , 0001) (0, 0600 ± 0 , 0005)
E poss´^ ´ ıvel encontrar mais informa¸c˜oes sobre esses dados na Tabela 8 no Apˆendice A. Para determinar a constante el´astica k e sua respectiva incerteza, o principal objetivo do experimento, ser´a utilizado o ajuste linear por interm´edio do M´etodo dos M´ınimos Qua- drados (MMQ) por meio do software SciDavis. Neste processo, empregaremos o m´odulo da equa¸c˜ao (1), onde F representa a for¸ca aplicada (equivalente ao peso), x ´e a deforma¸c˜ao, e o k ´e o coeficente angular da fun¸c˜ao. Portanto, basta correlacionar com o k com o coeficiente angular A do ajuste linear fornecido pelo software.
Figura 5: Peso em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao.
Para quantificar a diferen¸ca entre um valor experimental e um valor de referˆencia te´orico, o erro relativo ´e uma medida essencial. Ele oferece uma vis˜ao proporcional da discrepˆancia, permitindo uma avalia¸c˜ao mais precisa e compar´avel entre diferentes valores. O valor te´orico da constante el´astica k ´e 20 N/m. Conforme ´e observado na Figura 5, o valor experimental ´e (18, 445 ± 0 , 003) N/m. Matematicamente, o erro relativo ´e definido como:
VExperimental − VTe´orico VTe´orico
O uso do erro relativo ´e particularmente importante quando se deseja entender a importˆancia do erro em rela¸c˜ao a magnitude do valor te´orico. A constante el´astica te´orica de 20 N/m foi obtida sob a premissa de uma mola ideal, enquanto o valor experimental, que ´e (18, 445 ± 0 , 003) N/m, sugere uma discrepˆancia. O erro relativo de 7, 775% que foi observado, calculado pela express˜ao (10), pode ser explicada por uma combina¸c˜ao de fatores f´ısicos e metodol´ogicos. Fisicamente, a diferen¸ca entre o valor experimental e o valor te´orico da constante el´astica pode estar relacionada a caracter´ısticas intr´ınsecas da mola. A constante el´astica de uma mola, que descreve a rela¸c˜ao entre a for¸ca aplicada e o deslocamento resultante, depende da composi¸c˜ao do material da mola e de sua geometria. Pequenas varia¸c˜oes na espessura do fio da mola, na qualidade do material, ou no formato da mola podem resultar em diferen¸cas na constante el´astica. Por exemplo, se a mola for fabricada com um fio de diˆametro levemente diferente do especificado, isso afetar´a sua rigidez. Al´em disso, o tratamento t´ermico ou o processo de fabrica¸c˜ao podem induzir tens˜oes internas ou altera¸c˜oes microestruturais que modificam a resposta el´astica da mola. Outro fator relevante ´e o comportamento n˜ao ideal da mola durante o experimento. Idealmente, a mola deve obedecera Lei de Hooke (1), que afirma que o deslocamento ´e diretamente proporcional `a for¸ca aplicada. No entanto, na pr´atica, a mola pode apresentar um comportamento n˜ao linear se estiver sendo submetida a deforma¸c˜oes al´em de sua faixa el´astica ideal. Se a mola for esticada ou comprimida al´em do seu limite el´astico, pode
Figura 6: Per´ıodo em fun¸c˜ao da massa n˜ao linearizado.
Como o principal objetivo do experimento tamb´em ´e obter a constante el´astica k e sua incerteza, ´e necess´ario seguir a mesma metodologia do sistema est´atico. No entanto, fun¸c˜ao deve ser linear, o que n˜ao ´e o caso da express˜ao (5) e da Figura 6. Para contornar esse problema, ´e preciso usar o processo de lineariza¸c˜ao, ou seja, uma t´ecnica que trans- forma uma rela¸c˜ao n˜ao linear entre vari´aveis em uma rela¸c˜ao linear. Isso ´e importante porque o MMQ se baseia na suposi¸c˜ao de linearidade entre as vari´aveis para encontrar a melhor reta de ajuste. Assim, a lineariza¸c˜ao permite aplicar o MMQ de forma eficaz, facilitando a an´alise e interpreta¸c˜ao dos dados experimentais:
T 2 4 π^2
k
m (11)
Para simplificar a express˜ao, ´e crucial nomear T^
2 4 π^2 como^ f^. Com o prop´osito de deter- minar a incerteza, assim como no caso do peso, abordado na se¸c˜ao 4.1, ´e essencial aplicar a propaga¸c˜ao de incertezas:
δf =
s ∂f ∂T
δT 2 =
4 π^2
δT (12)
Ap´os isso, basta determinar o f associada a cada massa, com sua devida incerteza seguindo a Teoria de Erros:
Tabela 3: Massa e Per´ıodo. (0,02256 ± 0,00001) kg (0,04541 ± 0,00001) kg (0,06840 ± 0,00001) kg (0,09108 ± 0,00001) kg (0,11422 ± 0,00001) kg (0,0018 ± 0,0004) s (0,003 ± 0,001) s (0,003 ± 0,001) s (0,005 ± 0,001) s (0,006 ± 0,001) s
E poss´^ ´ ıvel encontrar mais informa¸c˜oes sobre esses dados na Tabela 9 no Apˆendice A. Note que, desta vez, o coeficiente angular da fun¸c˜ao (11) ´e (^1) k. Por isso, para encontrar a incerteza da constante el´astica, ´e necess´ario aplicar novamente a propaga¸c˜ao de incerteza:
k
→ k =
→ δk =
s ∂k ∂A
δA^2 =
δA (13)
Sendo assim, temos o seguinte ajuste linear:
Figura 7: Per´ıodo em fun¸c˜ao da massa linearizado.
A diferen¸ca observada entre a constante el´astica te´orica de 20 N/m e a constante el´astica experimental de (23 ± 5) N/m, resultando em um erro relativo de 15% pode ser atribu´ıda a v´arios fatores, conforme ilustrado na Figura 7. Essa discrepˆancia, observada em um experimento dinˆamico, pode ser explicada por diversas considera¸c˜oes, levando em conta que a equa¸c˜ao utilizada para determinar a constante el´astica, dada na f´ormula (11), assume um sistema idealizado que pode n˜ao refletir perfeitamente as condi¸c˜oes experimentais. O modelo te´orico utilizado no sistema dinˆamico assume que a mola ´e ideal e que n˜ao h´a efeitos de amortecimento ou resistˆencia. No entanto, na pr´atica, fatores como a resistˆencia do ar podem influenciar o per´ıodo de oscila¸c˜ao da mola. A resistˆencia do ar, embora geralmente pequena, pode ter um impacto not´avel em sistemas de oscila¸c˜ao, alterando a amplitude e a frequˆencia das oscila¸c˜oes. Se a resistˆencia do ar n˜ao foi totalmente considerada, pode ter afetado a medi¸c˜ao da constante el´astica. Al´em disso, a presen¸ca de resistˆencia do ar pode modificar o comportamento oscilat´orio, fazendo com que o sistema n˜ao siga perfeitamente a Lei de Hooke durante as oscila¸c˜oes, resultando em uma constante el´astica observada diferente da te´orica. A diferen¸ca entre a constante el´astica obtida no experimento dinˆamico e no experi- mento est´atico tamb´em pode ser explicada pelas diferen¸cas nas condi¸c˜oes experimentais e nas t´ecnicas de medi¸c˜ao. No experimento est´atico, a constante el´astica ´e medida dire- tamente pela deforma¸c˜ao da mola sob uma for¸ca aplicada que ´e igual ao peso da massa, resultando em um valor de k= (18,445±0,003) N/m. Este m´etodo avalia a rigidez da mola em um ponto de equil´ıbrio est´atico, onde a for¸ca restauradora da mola equilibra a for¸ca aplicada. Por outro lado, no sistema dinˆamico, a constante el´astica ´e calculada a partir do per´ıodo de oscila¸c˜ao, o que implica que o valor medido pode ser influenciado pela dinˆamica do sistema. O comportamento oscilat´orio da mola, a influˆencia da resistˆencia do ar, e outras varia¸c˜oes no ambiente experimental podem levar a diferen¸cas nos valores de k. As condi¸c˜oes em que a mola opera durante as oscila¸c˜oes podem n˜ao ser idˆenticas `as condi¸c˜oes
Tabela 6: Comprimento e Per´ıodo de maior massa. Massa 1 = (0, 02373 ± 0 , 00001) kg (0,1500 ± 0,0005) m (0,3000 ± 0,0005) m (0,4500 ± 0,0005) m (0,6000 ± 0,0005) m (0,7500 ± 0,0005) m (0,016 ± 0,012) s (0,031 ± 0,011) s (0,044 ± 0,004) s (0,061 ± 0,005) s (0,074 ± 0,005) s
Tabela 7: Comprimento e Per´ıodo de menor massa. Massa 2 = (0, 00759 ± 0 , 00001) kg (0,1500 ± 0,0005) m (0,3000 ± 0,0005) m (0,4500 ± 0,0005) m (0,6000 ± 0,0005) m (0,7500 ± 0,0005) m (0,016 ± 0,008) s (0,031 ± 0,011) s (0,045 ± 0,003) s (0,061 ± 0,002) s (0,074 ± 0,003) s
poss´ıvel definir o f e calcular a sua incerteza por meio da propaga¸c˜ao com a equa¸c˜ao (12) e, em seguida, exibir os valores de acordo com a Teoria de Erros para ambas as massas: E poss´^ ´ ıvel encontrar mais informa¸c˜oes sobre esses dados na Tabela 10 no Apˆendice A. O coeficiente angular da fun¸c˜ao ´e (^1) g. Logo, ser´a feito o uso da propaga¸c˜ao de incertezas para descobrir a incerteza da acelera¸c˜ao da gravidade utilizando o mesmo racioc´ıcio da equa¸c˜ao (13). Por interm´edio da fun¸c˜ao linearizada, abaixo ´e poss´ıvel observar o ajuste linear nas duas massas.
Figura 8: Per´ıodo em fun¸c˜ao do comprimento (maior massa) linearizado.
Figura 9: Per´ıodo em fun¸c˜ao do comprimeto (menor massa) linearizado.
Na parte com o pˆendulo simples, a discrepˆancia observada entre o valor te´orico da acelera¸c˜ao da gravidade, que ´e 9, 78 m/s^2 , e o valor experimental da Figura 8, que foi medido como (10 ± 2) m/s^2 ´e de aproximadamente 2, 25% de erro relativo, o que ´e uma margem que pode ser explicada por v´arios aspectos do experimento. Fisicamente, a diferen¸ca observada pode ser atribu´ıda a v´arias causas. Um dos fatores mais relevantes ´e a suposi¸c˜ao de que o pˆendulo simples segue um movimento harmˆonico simples, v´alido apenas para pequenas amplitudes de oscila¸c˜ao. Se as amplitudes das oscila¸c˜oes forem grandes, a aproxima¸c˜ao de pequenas oscila¸c˜oes n˜ao ´e mais v´alida, e o per´ıodo do pˆendulo ´e afetado, resultando em um valor de g calculado que difere do valor te´orico. As f´ormulas utilizadas para determinar g assumem que o ˆangulo de oscila¸c˜ao ´e pequeno o suficiente para que a aproxima¸c˜ao sin θ ≈ θ seja v´alida. No entanto, se o pˆendulo oscila com amplitudes maiores, essa aproxima¸c˜ao deixa de ser precisa, resultando em um valor superestimado de g. Para melhorar a metodologia e obter um valor mais preciso de g, ´e importante adotar algumas abordagens. Primeiramente, garantir que as oscila¸c˜oes do pˆendulo sejam manti- das em pequenas amplitudes (menores que 10◦) pode melhorar a precis˜ao das medi¸c˜oes, assegurando que a aproxima¸c˜ao de pequenas oscila¸c˜oes seja v´alida. Isso pode ser feito ini- ciando as oscila¸c˜oes a partir de ˆangulos pequenos e medindo cuidadosamente os per´ıodos de oscila¸c˜ao. Al´em disso, verificar a integridade da linha de nylon e garantir que ele esteja livre de tor¸c˜oes ou irregularidades tamb´em pode contribuir para medi¸c˜oes mais precisas. Realizar m´ultiplas medi¸c˜oes (mais que cinco vezes) e calcular a m´edia dos valores ob- tidos pode ajudar a suavizar varia¸c˜oes aleat´orias e fornecer uma estimativa mais confi´avel de g. Al´em disso, realizar o experimento em um ambiente controlado, minimizando fontes externas de erro, pode contribuir para uma medi¸c˜ao mais precisa. Ademais, Quando o experimento foi repetido com uma massa diferente de (0, 00759 ± 0 , 00001) kg, a acelera¸c˜ao da gravidade experimental foi (10 ± 1) m/s^2 da Figura 9, com o mesmo erro relativo de 2, 25%. A massa do corpo utilizado n˜ao deveria influenciar o valor da acelera¸c˜ao da gravidade em um pˆendulo simples ideal, pois a f´ormula para o per´ıodo do pˆendulo (9) ´e independente da massa do corpo. Portanto, a constˆancia na medi¸c˜ao da acelera¸c˜ao da gravidade com diferentes massas indica que o erro n˜ao est´a relacionado
