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Marco T´ulio de Freitas Alves, D´ebora Pereira dos Santos, Turma: PM
ICEx, Departamento de F´ısica, Universidade Federal de Minas Gerais
29 de mar¸co de 2025
1 Introdu¸c˜ao
A resistividade el´etrica (ρ) ´e uma propriedade que indica o grau de oposi¸c˜ao de uma substˆancia `a passagem de corrente el´etrica quando submetida a um campo el´etrico. Se a resistˆencia de um material ´e baixa, a condu¸c˜ao de cargas el´etricas ´e mais facilitada. Essa caracter´ıstica ´e espec´ıfica de cada material e depende de fatores como o tipo de liga¸c˜ao entre ´atomos, entre outros aspectos f´ısico-qu´ımicos. Ao considerar um objeto feito de um ´unico material com resistividade ρ, ´area de se¸c˜ao transversal constante A e comprimento L, a resistˆencia el´etrica desse objeto pode ser definida por:
R = ρ
L
A
Al´em disso, a condutividade el´etrica, que ´e o inverso da resistividade (σ = ρ−^1 ), representa a capacidade de um material conduzir corrente el´etrica, em grande parte devido ao movimento de el´etrons. Esse movimento est´a relacionado `a estrutura de bandas de energia dos ´atomos. A classifica¸c˜ao de um material em isolante, semicondutor ou condutor ´e baseada em sua faixa de condutividade. Um gr´afico pode ilustrar essas diferen¸cas de forma clara.
Figura 1: Resistividade em materiais conduto- res, semicondutores e isolantes.
A condutividade em metais ´e dada por:
σ = σn = nn|e|μn (2)
onde nn ´e o n´umero de el´etrons livres por unidade de volume, e ´e a carga do el´etron, enquanto μn ´e a mobilidade dos el´etrons na banda de condu¸c˜ao. A mobilidade dos el´etrons ´e influenciada por
fatores como temperatura, defeitos e impurezas. Segundo a Regra de Matthiessen, a resistˆencia total tot de um condutor ´e a soma das resistˆencias devido a impureza, deforma¸c˜oes e temperatura. Em metais, a resistˆencia associadaa temperatura segue a equa¸c˜ao:
ρt = ρ 0 (1 + αT ) (3)
onde ρ 0 e α s˜ao constantes espec´ıficas para cada material. O aumento da temperatura provoca maior vibra¸c˜ao na rede cristalina (fˆonons), resultando em maior dispers˜ao e aumento da resistividade.
1.1 Materiais Semicondutores
Materiais semicondutores possuem a capacidade de ter sua condutividade controlada com base na estrutura qu´ımica, temperatura, ilumina¸c˜ao e presen¸ca de dopantes. Por isso, apresentam uma condutividade el´etrica intermedi´aria entre a dos metais e dos isolantes. Ao contr´ario dos metais, nos semicondutores, o n´umero de el´etrons em movimento n˜ao permanece constante; ele varia exponen- cialmente com a temperatura. Resumidamente, em um semicondutor puro, para que os portadores de carga se tornem livres, as part´ıculas precisam ser ativadas da banda de valˆencia para a banda de condu¸c˜ao como ilustrado na Figura 2:
Figura 2: Com o aumento da temperatura, alguns el´etrons deixam a camada de valˆencia indo para a camada de condu¸c˜ao. A ativa¸c˜ao (gera¸c˜ao) leva `a forma¸c˜ao de pares el´etron-buraco.
Dessa forma, o semicondutor torna-se capaz de conduzir eletricidade, excitando os el´etrons por fˆonons, quase-part´ıculas que representam uma unidade de vibra¸c˜ao. O n´umero de fˆonons aumenta com a eleva¸c˜ao da temperatura. Como resultado, a concentra¸c˜ao de el´etrons (ativados termicamente) na camada de condu¸c˜ao, representada por n, aumenta com o aumento da temperatura. Os n´ıveis vazios na camada de valˆencia s˜ao conhecidos como ”buracos”(ou ”gaps”), e a energia necess´aria para criar pares el´etron-gap ´e expressa por Eg = Ec +Ev. A dependˆencia da resistˆencia de um semicondutor com a temperatura pode ser descrita pela lei de Arrhenius:
R = R 0 e
EA kbT (^) (4)
Onde EA ´e a energia de ativa¸c˜ao e Kb ´e a constante de Boltzman. Nos semicondutores a diferen¸ca entre a banda de condu¸c˜ao e a banda de valˆencia ´e pequena, portanto, podemos considerar a energia de Fermi como metade da energia do gap:
Ef = Eg 2
Logo, a energia de ativa¸c˜ao ´e dada por:
Figura 3: Gr´afico da resistˆencia el´etrica da platina em fun¸c˜ao da temperatura.
Figura 4: Gr´afico do logaritmo da resistˆencia el´etrica em fun¸c˜ao do inverso da temperatura. Na miniatura no canto inferior direito est´a representada a resistˆencia el´etrica em fun¸c˜ao da temperatura.
A diferen¸ca dos comportamentos dos materiais se d´a principalmente pela forma que os el´etrons est˜ao organizados em cada um. Na platina, os el´etrons possuem liberdade para movimentar-se pelo material. Esse movimento, entretanto, encontra resistˆencia devido a deformidades do fio, impurezas do material e vibra¸c˜oes na rede cristalina deste. Estas vibra¸c˜oes s˜ao intensificadas com a temperatura, o que dificulta o trˆansito dos el´etrons, aumentando a resistˆencia de forma linear. No semicondutor, por outro lado, `a temperatura ambiente, n˜ao h´a el´etrons livres para realizar a corrente el´etrica. Para que este processo seja poss´ıvel, ´e necess´ario que os el´etrons na banda de valˆencia alcancem energia
suficiente para chegarem a banda de condu¸c˜ao. Para isso ´e necess´ario que se aumente a temperatura do material. A medida que mais el´ etrons alcan¸cam o estado excitado na banda de condu¸c˜ao, a resistividade do material cai drasticamente. A partir da Equa¸c˜ao 10, ´e poss´ıvel calcular a energia de ativa¸c˜ao para a qual os el´etrons do semicondutor chegam a banda de condu¸c˜ao. Na Figura 4, A equivalea raz˜ao E kAb. Portanto:
EA = kb · A = 1, 185 · 10 −^19 K (11)
Com seu respectivo erro:
∆EA =
q (A)^2 · (∆kB )^2 + (kB )^2 · (∆A)^2 = 0, 004 · 10 −^19 K (12) Este valor em eV vale: (0, 740 ± 0 , 002)eV. Que ´e aproximadamente metade do gap de energia presente na literatura (1, 43 eV ). As propriedades de um semicondutor podem ser alteradas atrav´es do processo de dopagem. Ele consiste em adicionar ´atomos diferentes ao cristal original. Este processo pode gerar novas vacˆancias eletrˆonicas (dopagem tipo p) ou causar um excesso de el´etrons (tipo n). Isso facilita a manipula¸c˜ao da condutividade do material dependendo das necessidades do usu´ario. Atrav´es da an´alise do gr´afico da platina na Figura 3, ´e poss´ıvel extrair a constante α do metal, uma vez que a equa¸c˜ao da reta vale: R = R 0 (1 + αT ) (13) em que:
R =
ρL A
Dessa forma, a equa¸c˜ao vai ser:
R = ρ 0
L
A
L
A
T (15)
Na regress˜ao linear, y = R, x = T , A = ρ 0 α LA e B = ρ (^0) AL. Portanto, para encontrar o α, basta calcular a raz˜ao A/B. Apenas atrav´es deste experimento, n˜ao ´e poss´ıvel deduzir a resistividade inicial ρ 0 , uma vez que n˜ao est˜ao dispon´ıveis os parˆametros geom´etricos do fio de platina. Com isso em mente pode-se calcular com base nos dados da Figura 3:
α =
A
B
= 3, 746 · 10 − 3 /◦C (16)
Com seu respectivo erro:
∆α =
q (−A · 1 /B^2 )^2 · (∆B)^2 + (B)^2 · (∆A)^2 = 0, 003 · 10 −^3 /◦C (17) Se a platina fosse substitu´ıda por cobre ou alum´ınio, a inclina¸c˜ao da reta mudaria, uma vez que cada material possui sua resistividade espec´ıfica. No caso do cobre e do alum´ınio, ambos s˜ao menos resistentes que a platina, o que diminuiria a inclina¸c˜ao da reta.
6 Conclus˜ao
A partir dos experimentos realizados, foi poss´ıvel entender melhor o comportamento dos semi- condutores em rela¸c˜ao aos metais quanto a resitividade el´etrica. Estes possuem uma resistividade que, nos limites estudados, cresce de maneira linear em rela¸c˜aoa temperatura. Isso ocorre devido ao maior espalhamento causado por vibra¸c˜oes, que aumentam com a temperatura. Os semicondutores, por outro lado, n˜ao possuem el´etrons na banda de condu¸c˜ao `a temperatura ambiente. Por isso, para que possam conduzir eletricidade, precisam ser esquentados de forma que seus el´etrons ultrapassem a energia de ativa¸c˜ao do material, que foi observado pela diminui¸c˜ao exponencial da resistˆencia el´etrica em fun¸c˜ao da temperatura.
