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Regressão Linear Simples. Econometria. Alexandre Gori Maia. Bibliografia Básica: Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
1 / 27
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Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 1 - 3; 5.
Mínimos Quadrados - EQT
Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
Y
5
e
1
e
2
e 3 e 4 e 5
e
2
= Y
2
-
e
3
= Y
3
-
e
4
= Y
4
-
e
5
= Y
5
-
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
EQT( θ ) (Y θ)
5
i 1
2
i
Supondo que Y seja uma função de : Y
i
= + e
i
e
1
= Y
1
-
Os erros e
i
representam os
erros de
mensuração de Y a
partir de .
A função EQT é
uma medida do
erro total que
cometemos ao
utilizar para
estimar Y na
função Y
i
= + e
i
Estimador de Mínimos Quadrados
2 Passo) Encontrar que minimiza EQT :
n
i 1
2
i
n
i 1
2
i
0
ˆ
θ
EQT
*****
^
d θ
dEQT
n
i 1
i
2(Y θ )( 1)
d θ
dEQT
n
i 1
n
i 1
i
2 Y 2 θ
ˆ
2 Y 2n θ 0
d θ
dEQT
n
i 1
i
n
θ
n
i 1
i
Para uma amostra de tamanho n teremos:
i i
Y e
ˆ
ˆ
Função de Regressão Populacional
X
Y
Y
i
= + X
i
i
Modelo de Regressão
Linear Simples para Y
na população
Y é a variável dependente ou regressando
X é a variável independente ou explanatória
Onde:
X
i
E ( Y / X
i
)
i
) é a esperança condicional de Y e representa o valor esperado de Y
para o i-ésimo valor de X
e
i
é o erro, ou variação de Y
i
não explicada pelo modelo
e
i
Y
i
Erro de previsão:
Seja X
i
a i - ésima observação de X , teremos:
i
é o valor observado em Y para o i-ésimo valor de X
E(Y/X
i
) = + X
i
ou
Seja a relação entre Y e X na população:
Função de Regressão Amostral
X
Y
Y
i
= + X
i
i
Função de regressão amostral:
Y
i
= + X
i
Y previsto pelo ajuste:
^
X
i
Y
i
^
e
i
e
i
= Y
i
i
Resíduo, valor não previsto pelo ajuste:
^
EQT e e e
2
n
2
2
2
1
ˆ ...
ˆ ˆ
2
n n
2
2 2
2
1 1
EQT Y Y ) Y Y ) Y Y )
ˆ
... (
ˆ
(
ˆ
(
n
i 1
2
[Y β X )]
n
i 1
2
i i
ˆ
ˆ (
^ ^
^
^
^
^
^
Método de Mínimos Quadrados
X
Y
ê
2
ê
1
ê
3
ê
4
ê
5
ê
6
ê
n
1
2
n
i
i i
Mínimos Quadrados Ordinários:
O método de mínimos quadrados ordinários (MQO)
ajustará a reta que apresentar as menores distâncias
quadráticas entre os valores observados e a reta (ê
i
Em outras palavras, os estimadores de MQO dos
Erro Quadrático Total (EQT), dada por:
n
i
i i
1
Para encontrar os valores que minimizam a função EQT:
1
n
i 1
2
2
i
n
i 1
i i
X n X
X Y nXY
β
ˆ
i
i i i
1
Estimadores de MQO - Exemplo
Y
(Renda)
X
(Anos
Estudo)
4 1
8 4
10 6
12 7
Seja a relação entre renda familiar em salários mínimos ( Y ), anos de
estudo ( X ) do responsável pela família:
i i i
Para cada ano adicional de escolaridade da
pessoa responsável, espera-se um acréscimo de
1,98 SM na renda familiar. O rendimento esperado
para famílias lideradas por pessoas sem
escolaridade seria de 2,71 SMs.
A partir dos dados de uma amostra de 4 oobservações, os
estimadores de MQO para a função amostral serão:
i i i
Y X e
Y β X
n
i
i
n
i
i i
x
x y
β
1
2
1 ˆ
1 , 29
21
27
8 , 5 1 , 29 ( 4 , 5 ) 2 , 71
i i i
Y X e
Y
X
Seja uma população com 20 observações:
Função de
Regressão
Populacional
Função ajustada
para amostra 1
Os estimadores de MQO variarão aleatoriamente em função dos valores
observados na amostra.
Y
X
Função ajustada
para amostra 2
1 – Relação Linear
X
Y
Modelo é linear nas variáveis pois todos
os expoentes de Y e X são iguais a 1.
i i i
Y α βX e
Modelo é linear nos parâmetros pois
todos os expoentes dos parâmetros são
iguais a 1.
X
Y
i i i
Y α βX e
2
Modelo não é linear nas variáveis pois o
expoente de X não é igual a 1.
Modelo é linear nos parâmetros pois
todos os expoentes dos parâmetros são
iguais a 1.
Linearidade nos parâmetros
e nas variáveis
Linearidade nos parâmetros
2 - Valores de X são Fixos
Y
X X
2
E ( Y
2
)
X
1
E ( Y
1
)
i i i
Y X e
Pressupõe que o valor de X seja controlado em repetidas amostras para
se observar variações aleatórias de Y.
Premissa utilizada em inúmeras
demonstrações, embora seja, muitas
vezes, pouco factível. Nessas
circunstâncias, cuidados adicionais
deverão ser tomados para que as
estimativas de MQO não sejam viesadas.
4 - Homocedasticidade
Homocedasticidade
2
i i
Heterocedasticidade
Y
X
j
X
1
E( Y
1
)
X
2
E( Y
2
)
Var( e
2
)=
2
Var( e
1
)=
2
Y
X
j
X
1
X
2
Var( e
2
)=
2
2
E( Y
1
)
Var( e
1
)=
2
1
E( Y
2
)
A variabilidade dos erros deve ser constante, qualquer que seja o valor
de : X
5 – Ausência de Autocorrelação
Não Autocorrelacionado
t t s t ts
Autocorrelacionado
e
t
( ) 0
t ts
E ee
e
t
( ) 0
t ts
E ee
Não há correlação entre os erros do modelo regressão:
A autocorrelação é frequente em análise de séries temporais de dados
espaciais.
Variância dos Estimadores
Variância dos estimadores de MQO:
Caso os pressupostos do Teorema de Gauss-Markov sejam válidos, o método de
MQO oferecerá estimadores não viesados para os coeficientes do modelo e para
suas respectivas variâncias. As variâncias dos estimadores e seus respetivos
estimadores serão dados por:
Seja o modelo de RLS:
i i i
2
2
2
i
x
Var E
2
2
2
2
i
i
n x
Var E
2
=Var(e
i
2
seu
respectivo estimador, dado por:
2
2
n
e
i
2
2
2
2
2
2
2
ˆ
i i
i
x
n n x
2
2
2
ˆ
i
x
i i i i
2 2
onde
H
0
: =
H
1
: 0
Então, para verificar que os estimadores de MQO são significativos:
Sob a hipótese de H
0
ser
verdadeiro temos...
2
ˆ
0
ˆ
p/
p/
valor obtido pela amostra
p é a probabilidade de erro
ao afirmar que é
significativo no modelo
H
0
: =
H
1
: 0
Sob a hipótese de H
0
ser
verdadeiro temos...
2
ˆ
β
0
ˆ
p/
p/
p é a probabilidade de erro
ao afirmar que é
significativo no modelo
Teste de hipótese para
1
valor obtido pela amostra
Teste t para os Estimadores
