Baixe Réduction des vibrations d'une passerelle piétonne avec pendules suspendus e outras Esquemas em PDF para Direito, somente na Docsity!
INSA de Lyon G´enie M´ecanique
Repr´esentation d’´etat et outils de synth`ese optimale
et robuste
TD n°1 : ´Etude introductive
Points abord´es : Introduction `a la repr´esentation d’´etat, analyse modale, simulation num´erique
On s’int´eresse dans ce sujet aux vibrations d’une passerelle pi´etonne. Parmi les modes de vibrations ´etudi´es, la composante horizontale du pas des pi´etons peut avoir un effet non n´egligeable, avec l’apparition d’un roulis transversal dont l’amplitude peut atteindre 11.4 cm. Afin de limiter cette amplitude, une solution est d’introduire un boˆıtier de balanciers suspendus `a des poutrelles transversales au moyen de biellettes.
On se propose dans ce sujet d’´etudier l’effet de l’ajout de plusieurs pendules identiques sur le comportement de la structure oscillante excit´ee pres de sa fr´equence de r´esonance, afin de modifier les caract´eristiques du roulis horizontal de la structure de la passerelle. Le modele retenu pour cette ´etude est celui propos´e sur le sch´ema de la Figure 1.
θi
ℓ m ~ui
Mp Kp
~y
x
· · ·
f^ ~g
Fext(t) ~x
Figure 1 – Modelea (n + 1) degr´es de libert´e de la passerelle.
Une masse Mp repr´esentant la masse de la passerelle se d´eplace sans frottement dans la direction ~x. Elle est rappel´ee vers sa position d’´equilibre x = 0 par un ressort de raideur Kp repr´esentant la raideur transversale ´equivalente de la passerelle. Le ressort est non contraint lorsque x = 0. Elle est excit´ee par une force Fext(t) = F 0 cos(ω 0 t) suivant l’axe ~x qui repr´esente l’action transversale des pas des pi´etons. Pour limiter les amplitudes importantes au voisinage de
ω 0 =
Kp Mp
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la passerelle est munie de n pendules identiques, chacun ´etant constitu´e d’une masse ponctuelle m et d’un fil sans masse inextensible de longueur ℓ. La position de chaque pendule est d´efinie par
θi = (−~y, ~ui). (2)
Chaque pendule est soumis `a l’effort de pesanteur f~g = −mg ~y.
Nous d´ecomposons l’´etude en 2 parties. Dans la premiere partie, nous ´etudions le comportement d’un systeme a 2 ddl en incluant une raideur ´equivalente pour le mouvement de la passerelle, et sa modification avec un seul pendule suspendu. Dans la deuxieme partie, on considere n pendules suspendus (systeme a (n + 1) ddl) et on ´etudie le comportement fr´equentiel et temporel de la structure de la passerelle lorsque celle-ci est soumisea une excitation li´ee aux pas des pi´etons.
Partie 1 : Modelea 2 degr´es de libert´e
Le mod`ele retenu pour cette partie est celui repr´esent´e sur la Figure 2.
θ
ℓ m ~u
Mp Kp
~y
x
f~g
Fext(t) ~x
Figure 2 – Modelea deux degr´es de libert´e de la passerelle.
- Le mod`ele dynamique est r´egi par les ´equations [ ¨x θ^ ¨
]
= G(θ)
[
−mg sin θ −Kpx + Fext + mℓ θ˙^2 sin θ
]
o`u G(θ) =
mℓ(Mp + m sin^2 θ)
[
−mℓ cos θ mℓ Mp + m −m cos θ
]
On choisit le vecteur d’´etat X =
[
x θ x˙ θ˙
]T
. En utilisant (3), ´ecrire le mod`ele d’´etat sous la forme
X^ ˙ = Φ(X, Fext). (4)
- Pour un effort ext´erieur
a l’´equilibre F (^) exte = 0, caract´eriser l’´equilibre Xe du systeme.
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θi
ℓ m ~ui
Mp
Kp
~y
x
· · ·
f^ ~g
Fext(t) ~x
Figure 3 – Modelea (n + 1) degr´es de libert´e de la passerelle.
- Sous l’hypoth`ese de faibles d´eplacements, montrer que
(Mp + nm)¨x + mℓ
∑^ n
i=
θ^ ¨i + Kpx = Fext
m(¨x + ℓθ¨i) = −kℓθi , i = 1,... , n.
- On pose d´esormais X =
[
x ℓθ 1 · · · ℓθn
]T
A partir de la question pr´ec´edente, en d´eduire que le modele du systeme s’´ecrit sous la forme
M X¨ + KX = NFext,
ou les expressions des matrices M, K et N sonta d´eterminer en fonction des parametres du modele.
- V´erifier que
k m est une racine multiple du polynˆome caract´eristique d’un ordre que l’on pr´ecisera. Exprimer les autres pulsations en fonction de (^) mk et μ. On pourra s’aider pour ce calcul de l’Annexe A.
Ecrire la repr´esentation d’´etat du syst`eme.
On impose M nmp = 10 et on note que Kp = knμ^2 , (^21) π
Kp Mp = 0.^6 Hz,^ nm^ = 30^ tonnes et^ n^ = 10. Avec Matlab, calculer la fonction de transfert entre l’entr´ee Fext et la sortie x. Tracer le diagramme de Bode de cette fonction de transfert, en superposant le diagramme fr´equentiel de Bode du systeme initial (masse Mp sans pendule). Calculer les modes propres du systeme.
- Expliquer l’int´erˆet du dispositif lorsque l’excitation li´ee au pas des pi´etons poss
ede une fr´equence ´egalea (^21) π
Kp Mp.
- Simuler avec Matlab-Simulink le mod
ele en r´egime libre puis en r´egime forc´e. Comparer le r´esultat avec le systeme initial (masse Mp sans pendule).
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Annexe A
Soit Dn+1 la matrice (n + 1) × (n + 1)
Dn+1 =
a b b b b c 0 0 b 0 c
b 0 0 c
det(Dn+1) = cn
a − n
b^2 c
