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Introdução à Álgebra: Potências, Raízes e Racionalização de Denominadores, Notas de aula de Cálculo para Engenheiros

Conceitos fundamentais da álgebra, como potências, raízes e racionalização de denominadores. Ele apresenta definições, propriedades e exemplos práticos para facilitar a compreensão desses tópicos. Útil para estudantes que desejam consolidar seus conhecimentos em álgebra básica.

Tipologia: Notas de aula

2025

Compartilhado em 14/03/2025

ana-carolina-f-zanette
ana-carolina-f-zanette 🇧🇷

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- O fato de os números reais serem ordenados nos permite usá-los em comparações ex.: se
tenho R$ 5.000,00 em uma caderneta de poupança e minha irmã tem apenas R$ 2.500,00
aplicados, é fácil perceber que tenho mais dinheiro guardado que ela, pois 5000 > 2500. Entretanto,
em muitas situações, não queremos apenas constatar (comparar) que um valor é maior que
outro, mas avaliar quão maior ele é em termos relativosex.: considerando o exemplo acima,
os investimentos na poupança, se divido o valor que possuo pelo que a minha irmã tem aplicado,
obtenho
Razão
- Quociente entre dois númeroscomparação entre grandezas que têm a mesma unidade =
quociente adimensional → escalas...
Taxa
- Quociente entre medidas fornecidas em unidades diferentes velocidade média, densidade
demográfica, taxa de câmbio, vazão, consumo de combustível...
Porcentagem
- É uma razão na forma de a/100, em que a é um número real. Essa razão é comumente escrita
na forma a%
- VARIAÇÃO:
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Baixe Introdução à Álgebra: Potências, Raízes e Racionalização de Denominadores e outras Notas de aula em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity!

  • O fato de os números reais serem ordenados nos permite usá-los em comparações → ex.: se tenho R$ 5.000,00 em uma caderneta de poupança e minha irmã tem apenas R$ 2.500, aplicados, é fácil perceber que tenho mais dinheiro guardado que ela, pois 5000 > 2500. Entretanto, em muitas situações, não queremos apenas constatar (comparar) que um valor é maior que outro, mas avaliar quão maior ele é em termos relativos → ex.: considerando o exemplo acima, os investimentos na poupança, se divido o valor que possuo pelo que a minha irmã tem aplicado, obtenho

Razão

  • Quociente entre dois númeroscomparação entre grandezas que têm a mesma unidade = quociente adimensional → escalas...

Taxa

  • Quociente entre medidas fornecidas em unidades diferentes → velocidade média, densidade demográfica, taxa de câmbio, vazão, consumo de combustível...

Porcentagem

  • É uma razão na forma de a/100, em que a é um número real. Essa razão é comumente escrita na forma a%
  • VARIAÇÃO :
  • Em nossa vida prática, é muito comum termos que calcular o produto de termos repetidos. Apenas para citar um exemplo geométrico muito simples, a área A de um quadrado de lado (ou aresta) l é representada por: 𝐴 =𝑙.𝑙 = 𝑙²

POTÊNCIAS

Potências positivas – potenciação com expoentes positivos

- PROPRIEDADES :

Toda potência com expoente igual a zero, o resultado será 1 → 50 = ▪ Toda potência com expoente igual 1, o resultado será a própria base → 81 = 8 ▪ Quando a base for negativa e o expoente um número ímpar, o resultado será negativo → (- 3)^3 = (- 3) x (- 3) x (- 3) = - 27 ▪ Quando a base for negativa e o expoente um número par, o resultado será positivo → (- 2)^2 = (- 2) x (- 2) = + o Cuidado: - 24 = - 2 x 2 x 2 x 2 = - 16 → o sinal não entra na potenciação pois não estava entre parênteses ▪ Nas frações, tanto o numerador quanto o denominador ficam elevados ao expoente → (2/3)^3 = (2^3 / 3^3 ) = 8/

Notação científica

▪ Cada vez que movimentamos a vírgula um algarismo para a direita, aumentamos o expoente de 10 em uma unidade. Por outro lado, ao movermos a vírgula de um algarismo para a esquerda, o expoente de 10 é reduzido em uma unidade

RAÍZES

  • A operação oposta à potenciação é chamada radiciação → é a operação por meio da qual extraímos raízes de números

Raiz quadrada

Quadrados perfeitos

  • Dizemos que um número inteiro a é um quadrado perfeito quando sua raiz quadrada também é um número inteiro → 1, 4, 9, 16, 25...
  • Se um número é um quadrado perfeito, então é possível extrair sua raiz quadrada decompondo- o em fatores primos
  • Suponha que a e b sejam números reais e que os denominadores sejam sempre diferentes de zero:

Raízes como potências

  • Considere que desejamos elevar um número real b ≥ 0 a um expoente ½ seja, que queiramos calcular b1/2. Para que essa expressão seja válida, ela deve satisfazer as regras das potências. Assim, se tomamos b = a^2 , com a ≥ 0, a propriedade nos diz: (a^2 )1/2^ = a2x1/2^ = a2/2^ = a^1 = a. nesse caso, ao elevarmos (a^2 ) a ½, obtemos o próprio número a, ou seja, o expoente ½ anulou o expoente 2, exatamente como ocorre com a raiz quadrada: a1/2^ = √a 

Racionalização de denominadores

  • A racionalização de uma expressão na forma 1/√x é feita multiplicando-se o numerador e o denominador pela raiz , como indicado a seguir: