Baixe Raízes Quadradas e Cúbicas de um Polinômio e outras Notas de estudo em PDF para Álgebra, somente na Docsity!
Ra´ızes quadrada e c´ubica de um polinˆomio
Lenimar Nunes de Andrade UFPB - Jo˜ao Pessoa, PB
1 de abril de 2011
1 Raiz quadrada de um polinˆomio
Consideremos p(x) e r(x) polinˆomios tais que (r(x))^2 = p(x). Neste caso, dizemos que r(x) ´e a raiz quadrada de p(x) e denotamos isso por r(x) =
p(x). Nem sem- pre um polinˆomio tem uma raiz quadrada que tamb´em ´e um polinˆomio; mas, se p(x) tiver uma raiz quadrada√ r(x), ent˜ao −r(x) tamb´em ´e uma outra raiz. Por exemplo, 4 x^2 + 12x + 9 = 2x + 3 ou − 2 x − 3. O antigo algoritmo para o c´alculo da raiz quadrada, bastante conhecido e divulgado antes da populariza¸c˜ao do uso de calculadoras e computadores, possui uma vers˜ao similar para polinˆomios de uma ou v´arias vari´aveis. Esse algoritmo ´e baseado em identidade como
(a + b + c + d)^2 = a^2 + b(b + 2a) + c(c + 2(a + b)) + d(d + 2(a + b + c))
e consiste nos seguintes passos:
- Ordenam-se os termos do polinˆomio de acordo com os expoentes de cada termo. A ordem pode ser, por exemplo, a decrescente dos expoentes.
- Calcula-se o primeiro termo a da raiz quadrada como sendo a raiz quadrada do pri- meiro termo do polinˆomio. Eleva-se ao quadrado essa raiz e subtrai-se do polinˆomio dado.
- Baixam-se os dois termos seguintes do polinˆomio e divide-se o primeiro desses termos pelo dobro do primeiro termo da raiz; o quociente dessa divis˜ao b ´e o segundo termo da raiz quadrada.
- Multiplica-se o segundo termo b da raiz pela soma desse termo com o dobro do primeiro termo e o produto, denotado por b(b+2a), ´e subtra´ıdo dos termos baixados no item anterior.
- Baixam-se mais termos do polinˆomio de modo a ficarem trˆes termos e divide-se o primeiro desses termos pelo dobro do primeiro termo da raiz; o quociente dessa divis˜ao c ´e o terceiro termo da raiz quadrada.
- Multiplica-se o terceiro termo c da raiz pela soma desse termo com o dobro dos dois primeiros termos encontrados na raiz e o produto, denotado por c(c + 2(a + b)), ´e subtra´ıdo dos termos baixados no item anterior.
- Continua-se o procedimento dos itens anteriores enquanto o maior grau dos termos baixados for maior ou igual ao grau da raiz. O c´alculo de raiz quadrada pode ser ´util na resolu¸c˜ao de outros problemas como fatora¸c˜ao de polinˆomios e determina¸c˜ao das ra´ızes de equa¸c˜oes polinomiais.
Exemplo 1.1 Vamos calcular a raiz quadrada de p(x) = 9x^4 + 30x^3 + 13x^2 − 20 x + 4.
Uma explica¸c˜ao para a constru¸c˜ao desse diagrama ´e a seguinte:
- A raiz de 9 x^4 ´e 3 x^2 e esse ´e o primeiro termo da raiz. Eleva-se 3 x^2 ao quadrado e subtrai-se de p(x). Baixam-se os termos 30 x^3 e 13 x^2.
- Dividindo-se 30 x^3 pelo dobro de 3 x^2 , obt´em-se 5 x que ´e o segundo termo da raiz.
- Calcula-se (2 · (3x^2 ) + 5x) · (5x) e subtrai-se o produto de p(x).
- Baixam-se os termos restantes do polinˆomio e divide-se − 12 x^2 por 6 x^2. O quociente ´e − 2 e ´e o terceiro termo da raiz.
- Calcula-se [(2 · (3x^2 + 5x) − 2) · (−2)] e subtrai-se de p(x) e obt´em-se resto nulo para a raiz.
Portanto,
9 x^4 + 30x^3 + 13x^2 − 20 x + 4 = 3x^2 + 5x − 2. Um problema que pode ser considerado equivalente a esse ´e: “Fatore o polinˆomio 9 x^4 + 30x^3 + 13x^2 − 20 x + 4” ou “Resolva a equa¸c˜ao 9 x^4 + 30x^3 + 13x^2 − 20 x + 4 = 0”. Como 9 x^4 + 30x^3 + 13x^2 − 20 x + 4 =
(3x^2 + 5x − 2)^2 , temos que as ra´ızes dessa equa¸c˜ao s˜ao −^5 ±
√ 49 6 , ou seja,^
1 3 e^ −^2 (ra´ızes duplas).
Exemplo 1.2 Determinar a raiz quadrada de
9 x^6 y^2 + 12x^4 y^3 + 6x^4 y − 6 x^3 y^2 + 4x^2 y^4 + 4x^2 y^2 + x^2 − 4 xy^3 − 2 xy + y^2.
Apesar do polinˆomio deste exemplo ter duas vari´aveis, ordenamos segundo as potˆencias de x e procedemos de modo semelhante ao exemplo anterior. A cada passo, baixamos uma quantidade de termos suficiente para efetuar a subtra¸c˜ao dos produtos calculados `a direita no diagrama.
- Calcula-se a soma dos produtos c^3 , 3(a + b)^2 c e 3(a + b)c^2 e subtrai-se a soma do polinˆomio.
- Continua-se o procedimento dos itens anteriores enquanto o maior grau dos termos baixados for maior ou igual ao grau da raiz.
Exemplo 2.1 Calcular a raiz c´ubica de
p(x) = x^6 + 9x^5 + 12x^4 − 63 x^3 − 60 x^2 + 225x − 125
Segundo o algoritmo descrito, calculamos o primeiro termo da raiz como sendo 3
x^6 = x^2 , o segundo termo da raiz ´e o quociente da divis˜ao de 9 x^5 por 3 x^4 e o terceiro termo ´e o quociente de − 15 x^4 por 3 x^4.
Conclu´ımos assim que p(x) = (x^2 + 3x − 5)^3 , ou seja, 3
p(x) = x^2 + 3x − 5.
3 Exerc´ıcios
- Determine a raiz quadrada de
4 x^2 y−^2 − 20 xy−^1 + 9x−^2 y^2 − 30 x−^1 y + 37.
- Determine todas as ra´ızes da equa¸c˜ao
4 x^4 + 12x^3 − 35 x^2 − 66 x + 121 = 0.
- Determine todas as ra´ızes da equa¸c˜ao
x^4 − 2 x^3 − (2i + 12)x^2 − 2 ix^3 + (8 + 16i)x + 32 + 24i = 0.
- Determine todas as ra´ızes da equa¸c˜ao
x^3 + (−6 + 3i)x^2 + (9 − 12 i)x − 2 + 11i = 0.
- Determine todas as ra´ızes da equa¸c˜ao
64 x^6 + 384x^5 + 1008x^4 + 1472x^3 + 1260x^2 + 600x + 125 = 0.
- Determine a raiz c´ubica de
x^3 y^3 + 6x^3 y^2 − 21 x^2 y^2 + 12x^3 y − 84 x^2 y + 147xy + 8x^3 − 84 x^2 + 294x − 343.
- Verifique se ´e poss´ıvel escrever o polinˆomio
p(x) = x^6 + 6x^5 − 3 x^4 − 6 x^3 + 126x^2 − 180 x + 225
como um produto de dois polinˆomios n˜ao constantes de coeficientes inteiros.
- E poss´´ ıvel a descri¸c˜ao de um algoritmo semelhante aos anteriores para o c´alculo de √ np(x) com n > 3. A partir de uma identidade como
(a + b + c + d)^4 = a^4 + b(b^3 + 4ab^2 + 6a^2 b + 4a^3 ) + · · ·
descreva um algoritmo para o c´alculo da raiz quarta de um polinˆomio.
Referˆencias
[1] M. Barone Jr., “O algoritmo da raiz quadrada”, Revista do Professor de Ma- tem´atica 2, 1983.
[2] A. Baldor, “Algebra”, Compania Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos S. A, 1941.
