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AULA 02
Olá, amigos! Hoje daremos seqüência ao nosso estudo, com mais uma bateria de questões!
O ritmo deste Curso , conforme vocês estão percebendo, é rápido! E nem poderia ser de outra forma, tendo em vista a real expectativa por um novo concurso da Receita Federal. É, pois, de fundamental importância, que você faça um esforço de superação, e encontre tempo para resolver nossos simulados!
Superação é a palavra de ordem! Seguem, portanto, as nossas quatorze questões de hoje.
Novamente, marque a hora e comece o teste! Boa sorte!
Q U E S T Õ E S
14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4%
(AFRF-2000) Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68
Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,
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23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa eram de $285.000 e 1,1627x10^10 , respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é: a) 1,1627x10^7 b) 1,1627x10^6 c) 1,1627x10^5 d) 1,1627x10^4 44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0
50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ 3. Assinale a opção correta. a) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média. b) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. c) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média. d) O valor de μ 3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações. e) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média. 57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ 1 = 3 %, δ 2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to. Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11% 3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a)R$2.080,00 b)R$2.084,00 c)R$2.088,00 d)R$2.096,00 e)R$2.100, 8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48%
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2ª Etapa) Resolução das Questões
14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4%
Sol.: A questão nos trouxe uma distribuição de freqüências , com duas colunas: a das classes e uma outra, a qual chamou de P , acompanhada de um sinal de percentagem (%). Ora, esse sinal % é o indicativo, é a pista que precisamos para saber que se trata de uma coluna de freqüência relativa – F. E se estamos bem lembrados, existem três tipos de freqüências relativas : a freqüência relativa simples (Fi), a freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e a freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). As duas freqüências relativas acumuladas irão começar ou terminar com 100%. É esse nosso caso? Sim! Esta coluna terminou com 100%. Daí, sabemos que é uma coluna de freqüência relativa acumulada. Ora, para saber se é crescente ou decrescente, basta acompanhar os valores desta coluna. Eles crescem ou decrescem? Aumentam ou diminuem? Aumentam. Conclusão final: temos uma coluna de freqüência relativa acumulada crescente – Fac. Podemos até reescrever a tabela, da seguinte forma:
Classes Fac 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100%
O enunciado nos pede, com outras palavras, para indicarmos qual o percentual de elementos do conjunto que apresenta valor (dentro das classes) abaixo de 145. Analisemos a tabela acima. Vejamos a primeira classe. O que podemos dizer sobre ela? Ora, a classe vai até o limite de 90, e a freqüência relativa acumulada crescente é 5%. Então, podemos dizer que até esse limite 90, já acumulamos 5% dos elementos do
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conjunto! Entendemos com isso que 5% dos elementos do conjunto tem valor abaixo de
- Compreendido? Daí, afirmaremos que 5% é a Fac associada a esse limite 90. Certo? Para a segunda classe, cujo limite superior é 110, temos Fac de 15%. Isso nos leva a concluir que já acumulamos 15% dos elementos do conjunto até esse limite 110. Ou seja, 15% dos elementos do conjunto estão abaixo do limite 110. Podemos, pois, dizer que 15% é a Fac associada a esse limite 110. Certo? E assim por diante! Teremos: Æ 40% é a Fac associada ao limite 130; Æ 70% é a Fac associada ao limite 150; Æ 85% é a Fac associada ao limite 170; Æ 95% é a Fac associada ao limite 190; O que pergunta a questão? Qual o percentual de elementos do conjunto que estão abaixo do limite 145. É isso! Observando as classes da nossa distribuição de freqüências, tentemos localizar esse valor 145. Façamos isso. Ora, vemos que 145 não aparece nem como limite inferior, nem como limite superior de nenhuma das classes. Ao contrário, é um valor inserido na quarta classe. Vejamos: Classes Fac 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100%
O que fazer agora? Traremos aqui para o lado de fora da tabela aquela classe dentro da qual se encontra o limite 145 que nos interessa. Faremos o seguinte desenho:
Agora, na parte de baixo do desenho, colocaremos a Fac associada a cada limite da classe, ou seja, ao limite inferior (130) e ao limite superior (150). Ora, já sabemos quem são essas Fac associadas! Teremos, portanto:
Agora o desenho já está quase pronto! Para completá-lo, retornaremos à pergunta da questão. O que temos na pergunta? Temos o limite 145, que fica dentro da classe. Ora, como os limites da classe ficam na parte de cima do desenho, então 145 também ficará lá. Teremos:
Queremos saber o percentual acima ou abaixo de 145? Abaixo. Logo:
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Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,
Sol.: A questão pede o cálculo da média (aritmética). Como o conjunto está apresentado na forma de uma distribuição de freqüências , então encontraremos a média pelo método da variável transformada , cujos passos são os seguintes:
1º Passo) verificar se já dispomos da coluna da freqüência absoluta simples (fi). Se já a tivermos, passamos ao passo seguinte. Caso contrário, será preciso construí-la. Ora, a tabela fornecida nos traz a coluna das classes e uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes (fac). Descobrimos isso porque não há nenhum sinal indicativo de que fosse uma coluna de freqüência relativa. Ou seja, nenhum sinal de %, nem no cabeçalho da coluna, nem ao longo dela. É acumulada porque isso está dito sobre a tabela. E é crescente porque os valores da coluna estão sempre aumentando (12, 30, 50, ...). Em suma: precisamos construir a coluna da freqüência absoluta simples – fi. Na primeira classe (a mais de cima) estas duas freqüências – fi e fac – são iguais. Logo:
Classes de Salário fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68
E o restante da coluna do fi? Qual o comando de construção? É uma subtração: próxima fac menos fac anterior. Daí, teremos:
Classes de Salário fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) ( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) (12 ; 15] 60 10 (=60-50) (15 ; 18] 65 5 (=65-60) (18 ; 21] 68 3 (=68-65)
2º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos:
Classes de Salário fac fi PM ( 3 ; 6] 12 12 4, ( 6 ; 9] 30 18 7, ( 9 ; 12] 50 20 10, (12 ; 15] 60 10 13, (15 ; 18] 65 5 16, (18 ; 21] 68 3 19,
Estamos, obviamente, recordados de que o Ponto Médio de uma classe é aquele ponto que está exatamente no meio daquela classe! O próprio nome sugere isso! Caso não consigamos enxergar facilmente quem é o PM de uma classe, só teríamos que
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somar o limite inferior da classe, mais o limite superior, e dividir esse resultado por dois. Ou seja: PM=(linf + lsup ) / 2 Ainda existe um facilitador: se as classe são todas de mesma amplitude (como ocorre nesta tabela, em que h=3), basta encontrarmos o valor do primeiro ponto médio (o PM da primeira classe) e sair somando esse valor com o da amplitude (h). Lembrados disso? Pois bem, adiante!
3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável , aceitando a seguinte sugestão: (Ponto Médio menos 1º Ponto Médio) / amplitude da classe. Ou seja, construiremos a seguinte coluna:
Classes de Salário fac fi PM ( )
Yi
PM
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0
( 6 ; 9] 30 18 7,5 1
( 9 ; 12] 50 20 10,5 2
(12 ; 15] 60 10 13,5 3
(15 ; 18] 65 5 16,5 4
(18 ; 21] 68 3 19,5 5
Analisemos o que foi feito: tomamos os Pontos Médios originais, ou seja, os Pontos Médios relativos à variável original e os transformamos por meio de duas operações: 1ª operação) subtraímos de 4,5 (que é o valor do primeiro ponto médio!); e 2ª operação) dividimos por 3 (que é o valor da amplitude da classe!). Com isso, deixamos de trabalhar com a variável original (os salários da primeira coluna) e passamos a trabalhar com uma chamada variável transformada! Outra curiosidade é que, caso sigamos a sugestão de transformação da variável que foi aqui adotada [(PM menos 1º PM)/amplitude da classe] teremos que essa coluna será sempre formada pelos valores zero, um, dois, três, ... Viram isso? Será sempre assim, desde que as classe tenham mesma amplitude!
4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e fazer seu somatório. Teremos:
Classes de Salário fac Fi PM ( )
Yi
PM
4 , 5 Yi.fi
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0
( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 18
( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 40
(12 ; 15] 60 10 13,5 3 30
(15 ; 18] 65 5 16,5 4 20
(18 ; 21] 68 3 19,5 5 15
5º Passo) Calcular o valor da Média da Variável Transformada Y:
Ora, para fazer isso, aplicaremos a fórmula do cálculo da média para uma distribuição de freqüências. É a seguinte:
n
fiYi
Y = ∑
Daí, teremos:
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elementos deste sejam somados (ou subtraídos) por uma constante? Não! Absolutamente nada! Uma vez que a Variância é uma medida de dispersão , de modo que não será influenciada por operações de soma e subtração. Próxima!
44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0
Sol.: A questão pede o cálculo da Assimetria do conjunto, determinada pelo primeiro coeficiente de assimetria de Pearson. Se não lembrássemos da fórmula, na hora de resolver essa questão na prova, nem seguiríamos adiante...! Conhecer a fórmula é, pois, fundamental! Teremos que:
S
X Mo
A
= Æ 1º Coeficiente de Pearson!
Se verificarmos as opções de resposta desta questão, elas já trazem o S (desvio- padrão) no denominador. Ou seja, não será preciso calcular aqui o valor deste S. Precisaremos, portanto, para chegar à resposta, calcular as medidas que compõem o numerador da fórmula, quais sejam, Média e Moda.
Comecemos pelo cálculo da média: 1º Passo) Fazer todo o trabalho preliminar necessário para construção da coluna de freqüência absoluta simples – fi. Esse trabalho já é nosso conhecido! Teremos o seguinte:
Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10 n=
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Observe que constatamos que n (número de elementos do conjunto) é igual a 200 quando lemos, no enunciado, que foram examinados 200 itens... Certo? Pois bem! Agora, passemos aos passos seguintes para cálculo da média.
2º Passo) Construção da coluna dos pontos médios. Teremos:
Classes Fac Fi fi PM 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 100 110-130 40% 25% 50 120 130-150 70% 30% 60 140 150-170 85% 15% 30 160 170-190 95% 10% 20 180 190-210 100% 5% 10 200 n=
3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. Para isso, seguiremos a sugestão explicada na segunda questão que resolvemos hoje: PM menos primeiro PM, dividido pela amplitude da classe. Teremos:
Classes Fac Fi fi PM ( )
Yi
PM
n=
4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e somar esta coluna. Teremos:
Classes Fac Fi Fi PM ( )
Yi
PM
80 fi.Yi
n=200 580
5º Passo) Calcular a Média a variável transformada Y. Teremos:
n
fiYi
Y = ∑
Æ 2 , 9
Y = =
6º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a Média da variável original.
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Agora, retornando ao nosso objetivo, que é o cálculo do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson, teremos que:
Æ
S
X Mo
A
= Æ
S S
A
= Æ A=3/S Æ Resposta!
50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ 3. Assinale a opção correta. a) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média. b) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. c) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média. d) O valor de μ 3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações. e) O valor de μ 3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média.
Sol.: Essa questão foi mais fácil um pouco. Desde que, é claro, você conhecesse o conceito de momento central de ordem três. Isso porque não foi exigido aqui cálculo de nada! O enunciado só queria mesmo saber se o candidato conhecia aquele conceito. Os momentos estatísticos são utilizados para cálculos de assimetria, e também para cálculos de curtose. No caso da assimetria, faz-se uso deste terceiro momento central, ou ainda, terceiro momento centrado na média aritmética, cuja fórmula é a seguinte:
Æ
n
∑ Xi − X
3 μ 3
Agora restava apenas procurar a opção de resposta que traduzisse a equação acima. A opção “e” faz isso perfeitamente. Olhando para a fórmula, vemos que o numerador corresponde ao cubo dos desvios em relação à média. E o denominador é n , que significa número de elementos do conjunto. Daí, dividir por n seria encontrar uma média. Logo, o terceiro momento central se traduz como a média dos cubos dos desvios em relação à média aritmética. Æ Resposta!
57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ 1 = 3 %, δ 2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to. Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11%
Sol.: A questão é de Números Índices, e nos fala acerca de preços sujeitos a uma tal de propriedade circular. Esta tal propriedade circular será entendida da seguinte forma:
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P0,1 x P1,2 x P2,3 x ... x Pn-1, n = P0,n
Em lugar de P (preço) poderia haver Q ou V , caso estivéssemos trabalhando com quantidades. Se, em uma questão qualquer, dispusermos dos dados relativos a variações de preço (ou de quantidade) de um bem, em diversos anos consecutivos, poderemos trabalhar com o uso desta propriedade!
Nesta questão, anotemos as variações apresentadas pelo enunciado:
Æ Variações de preço : δ1=3% ; δ2=2% ; δ3=2%
Ora, temos que:
Po,n = 100 + variação de preço
Daí, o segredo agora é ter atenção! O enunciado falou que os acréscimos são medidos em relação ao ano anterior , a partir do ano t 0. Logo, o ano anterior a t 0 é a ano t0-1! Daí, a primeira variação (o primeiro δ) será exatamente a do ano t 0 em relação ao ano t0-1!
Teremos, portanto, os seguintes relativos de preço:
Æ pt 0 − 1 , t 0 = 100 %+ 3 %= 103 %
Æ pt 0 , t 0 + 1 = 100 %+ 2 %= 102 %
Æ pt 0 + 1 , t 0 + 2 = 100 %+ 2 %= 102 %
Daí, aplicando a propriedade circular, teremos que o relativo de preço em t0+2 com relação a t (^) 0-1 será o seguinte:
Pt0-1,t0+2=(1,03)x(1,02)x(1,02) = 1,0716 = 107,16%
Daí, restaria fazer: Variação de Preço = Pt0-1,t0+2 - 100%
Daí : Variação de Preço = 7,16% Æ Resposta!
Uma outra forma de resolver esta questão, talvez até mais simples, consistia apenas em adotar o valor 100 para o primeiro preço (o preço em t0-1 ). Daí, faríamos as variações descritas no enunciado, até chegarmos ao preço do ano desejado, que é o t0+2. Vejamos:
Æ Pt0-1 =
A primeira variação será de 3%. Ora, 3% de 100 é 100x0,03=3. Daí, passaríamos a: Æ Pt0 =
O próximo delta é 2%. Daí, calcularemos 2% de 103. Chegaremos a: 103x0,02=2,06. Somando este valor ao último preço, teremos: 103+2,06=105,06. Daí:
Æ Pt0+1 =105,
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Sabemos ainda que o dia 08 não é dia de atraso! Se a conta fosse paga até o último minuto do horário bancário do dia 08, então não haveria nenhum encargo adicional. O dia 08, portanto, está fora da contagem dos dias de atraso. Teremos:
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM
Contamos, portanto, dez dias úteis de atraso! Conforme aprendemos na última aula, para cada dia de atraso, o valor dos juros a ser pago será de:
Æ Juros por dia útil de atraso: (0,2/100) x 2000 = R$4,
Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: Æ Juros por todo o atraso: 10 x R$4,00 = R$40,00 Æ Juros!
Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que:
Æ R$2.000,00 + R$40,00 + R$40,00 = R$2.080,00 Æ Resposta!
8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48%
Sol.: Questão de Taxa Média. Via de regra, questão de aplicação direta da fórmula. Ou seja, que se resolve em pouco tempo! Neste enunciado, surgiu um detalhe importante, mas nada complicado. Vejamos: as taxas originalmente fornecidas estão todas na mesma unidade. São taxas mensais. Daí, aplicando-se a fórmula da Taxa Média , encontraremos como resultado também uma taxa mensal. O perigo é alguém não prestar atenção no que a questão está pedindo! O que a questão quer como resposta é uma taxa anual. Ou seja, a taxa mensal que será encontrada pela aplicação da fórmula terá, em seguida, que ser alterada para a unidade anual. Para se fazer essa alteração, uma vez que estamos trabalhando no regime simples, será feito, obviamente, pelo conceito de Taxas Proporcionais. Até o enunciado foi camarada, ao usar as palavras taxa média proporcional anual. Foi para ninguém errar! A fórmula da Taxa Média é a seguinte:
C n C n C n
C i n C i n C i n
TM
Uma vez que as taxas originais estão na mesma unidade, e os prazos das quatro aplicações são iguais, já podemos lançar os dados na equação acima. Teremos:
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C n C n C n
C i n C i n C i n
TM
Æ
( n ) ( n ) ( n ) ( n )
x n x n x n x n
TM
Percebamos que as parcelas do numerador têm um fator comum, que é o tempo “n”. O mesmo ocorre com as parcelas do denominador. Daí, colocando “n” em evidência, em cima e em baixo, o “n” será cortado, desaparecendo da fórmula! Vejamos:
Æ
( n ) ( n ) ( n ) ( n )
x n x n x n x n
TM
Æ
( ) ( ) ( ) ( ) n
x x x x n
TM
[ 7000 6000 3000 4000 ]
[ 7000 6 6000 3 3000 4 4000 2 ]
= % ao mês!
Agora dê uma olhada nas opções de resposta! Olha lá quem é a opção “a”! Coincidência? Absolutamente! A Esaf põe propositadamente os 4% na primeira opção de resposta, para pegar os mais apressados. Por isso, nada de precipitação! Quando acabar as contas, vale a pena voltar e reler o enunciado, para confirmar o que é mesmo o que a questão está pedindo. Aplicando agora o conceito de taxas proporcionais, faremos:
Æ 4% ao mês x 12 = 48% ao ano Æ Resposta!
16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620, que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ 10.940,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640, b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,
Sol.: Questão de Equivalência de Capitais! Questão de receita de bolo , ou seja, basta seguir o passo-a-passo. Passos Preliminares: vamos fazer tudo de uma vez: desenhar a questão; definir quem é primeira e segunda obrigação; colocar taxa e tempos na mesma unidade; definir se o regime é simples ou é composto; definir a data focal. Tudo feito, teremos o seguinte: X
-20d 0 50d 100d (II) (I) (II) (II) (DF)
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F
0 50d (DF)
Teremos:
100 x
F
= Æ F=4.400,
Por fim, resta a parcela de R$3.960 que está na data 100 dias. Teremos:
G
0 100d (DF)
Teremos:
100 x
G
= Æ G=3.600,
Finalmente, passemos ao terceiro e último passo da nossa resolução, que consiste na aplicação da equação de equivalência.
3º Passo) ∑(I)DF = ∑(II)DF
Teremos: X=4.080+4.400+3.600 Æ Daí: X=12.080, Æ Resposta!
21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? b) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36%
Sol.: Já temos obrigação de resolver essa questão em pouco tempo, sobretudo depois da aula passada, em que aprendemos a utilizar uma equação para trabalhar questões de convenção linear! Lembrados? Aqui, mais uma vez, o enunciado pede que calculemos o valor de um elemento (juros) como porcentagem de um outro elemento (capital). Como artifício, adotaremos para esse último, que é o nosso elemento de referência, o valor cem. Daí, nossos dados são os seguintes:
Æ C=100,
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Æ i=6% ao mês Æ n=6meses e 10dias Æ J=?
Ora, sabemos que temos que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade! E sendo o tempo quebrado em duas unidades (meses e dias, neste caso) temos que ter ambas na mesma unidade da taxa. Logo, diremos que 10 dias é o mesmo que um terço de mês. Daí:
Æ n=6 meses + (1/3) mês
Ok! Estamos prontos para aplicar a fórmula. Teremos:
M = C. ( 1 + i ) ( n^. 1 + i. k )
Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e K é parte quebrada! Daí, teremos:
Æ M C ( i ) ( ik )
n
=. 1 +. 1 +. Æ M=100.(1+0,06) 6 .(1+0,06x
) Æ M=144,
Encontramos o montante da operação, mas não é isso o que está sendo solicitado! A questão quer os Juros. E este se calcula pela diferença entre montante e capital. Daí, teremos:
Æ J=M – C Æ J=144,69-100 Æ J=44,
Como o enunciado pede os juros como porcentagem do capital, e pelo fato de termos adotado o capital como valendo 100, basta acrescer o símbolo de porcentagem aos juros. Teremos:
Æ J=44,69% do Capital Æ Resposta!
33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.
Sol.: Esta questão expressa uma das formas de apresentação da questão de equivalência de capitais. O entendimento é muito fácil: se eu pego uma quantia de dinheiro emprestada de alguém no dia de hoje, obviamente que terei que devolver no futuro. Logicamente que o valor a ser devolvido no futuro terá de ser maior que aquele que foi tomado emprestado! Daí, o raciocínio é o seguinte: as parcelas que servirão de devolução do empréstimo têm que ser equivalentes ao valor que foi pegue emprestado! Aqui, neste enunciado, empréstimo fica como sinônimo de financiamento. Em suma: se eu chamar o que peguei hoje de primeira obrigação, a segunda obrigação recairá para a parcela (ou as parcelas) de devolução. Resta fazermos o desenho da questão, e deixar prontos, de uma feita, todos os passos preliminares. Teremos:
