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Quarta lista de exercícios., Notas de estudo de Energia

Faculdade do Recife (FAREC)Energia

Em seguida, trace a reta que passa pelo centro de C e é perpendicular a r. 10. Usando régua e compasso, desenhe uma reta tangente a uma circunferência de raio.

Tipologia: Notas de estudo

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Michelle87
Michelle87 🇧🇷

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MA093 – Matemática básica 2 Segundo semestre de 2018
Quarta lista de exercícios.
Circunferência e círculo. Teorema de Tales. Semelhança de triângulos.
1. (Dolce/Pompeo) Um ponto P dista 7 cm do
centro de uma circunferência de raio 16 cm.
Determine a distância entre P e a
circunferência.
2. (Dolce/Pompeo) Determine os raios das
circunferências abaixo sabendo que a
distância entre os centros é 28 cm e a
diferença entre os raios é 8 cm.
3. (Dolce/Pompeo) Determine os raios das
circunferências abaixo sabendo que a soma
dos raios é 30 cm e a distância entre os
centros é 6 cm.
4. (Dolce/Pompeo) Os centros das
circunferências abaixo são os vértices do
triângulo ABC. Sendo 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 7 cm, 𝐴𝐴𝐴𝐴 =
5 cm e 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 cm, determine os raios das
circunferências.
5. (Dolce/Pompeo) Determine o número de
retas que são tangentes comuns a duas
circunferências
a) secantes;
b) tangentes exteriormente.
c) exteriores.
d) Concêntricas distintas.
6. (Dolce/Pompeo) Cada item abaixo fornece
os raios 𝒓𝒓 e 𝑹𝑹de duas circunferências, bem
como a distância 𝒅𝒅entre seus centros.
Determine, em cada caso, a posição relativa
entre as circunferências.
a) 𝒓𝒓=𝟓𝟓 cm; 𝑹𝑹=𝟏𝟏𝟏𝟏 cm; 𝒅𝒅=𝟏𝟏𝟓𝟓 cm.
b) 𝒓𝒓=𝟔𝟔 cm; 𝑹𝑹=𝟖𝟖 cm; 𝒅𝒅=𝟏𝟏𝟏𝟏 cm.
7. (Dolce/Pompeo) A distância entre os
centros de duas circunferências tangentes
externamente é de 33 cm. Determine seus
raios sabendo que a razão entre eles é 4/7.
8. Usando régua e compasso, desenhe uma
reta secante a uma circunferência, sabendo
que a reta está a uma distância de 3 cm do
centro da circunferência de raio 4 cm.
9. Desenhe uma circunferência C e uma reta r
que seja secante a C. Em seguida, trace a reta
que passa pelo centro de C e é perpendicular
a r.
10. Usando régua e compasso, desenhe uma
reta tangente a uma circunferência de raio
4,5 cm.
11. Desenhe uma reta que passa por um ponto
P. Em seguida, desenhe a circunferência de
raio 4 cm que é tangente à reta no ponto P.
12. Determine a medida dos lados não paralelos
de um trapézio isósceles circunscrito a um
círculo, sabendo que suas bases medem 30
cm e 10 cm.
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MA093 – Matemática básica 2 Segundo semestre de 2018

Quarta lista de exercícios.

Circunferência e círculo. Teorema de Tales. Semelhança de triângulos.

  1. (Dolce/Pompeo) Um ponto P dista 7 cm do centro de uma circunferência de raio 16 cm. Determine a distância entre P e a circunferência.
  2. (Dolce/Pompeo) Determine os raios das circunferências abaixo sabendo que a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm.
  3. (Dolce/Pompeo) Determine os raios das circunferências abaixo sabendo que a soma dos raios é 30 cm e a distância entre os centros é 6 cm.
  4. (Dolce/Pompeo) Os centros das circunferências abaixo são os vértices do triângulo ABC. Sendo 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 7 cm, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 cm e 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 cm, determine os raios das circunferências.
  5. (Dolce/Pompeo) Determine o número de retas que são tangentes comuns a duas circunferências

a) secantes; b) tangentes exteriormente. c) exteriores. d) Concêntricas distintas.

  1. (Dolce/Pompeo) Cada item abaixo fornece os raios 𝒓𝒓 e 𝑹𝑹de duas circunferências, bem como a distância 𝒅𝒅 entre seus centros. Determine, em cada caso, a posição relativa entre as circunferências. a) 𝒓𝒓 = 𝟓𝟓 cm; 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 cm; 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 cm. b) 𝒓𝒓 = 𝟔𝟔 cm; 𝑹𝑹 = 𝟖𝟖 cm; 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 cm.
  2. (Dolce/Pompeo) A distância entre os centros de duas circunferências tangentes externamente é de 33 cm. Determine seus raios sabendo que a razão entre eles é 4/7.
  3. Usando régua e compasso, desenhe uma reta secante a uma circunferência, sabendo que a reta está a uma distância de 3 cm do centro da circunferência de raio 4 cm.
  4. Desenhe uma circunferência C e uma reta r que seja secante a C. Em seguida, trace a reta que passa pelo centro de C e é perpendicular a r.
  5. Usando régua e compasso, desenhe uma reta tangente a uma circunferência de raio 4,5 cm.
  6. Desenhe uma reta que passa por um ponto P. Em seguida, desenhe a circunferência de raio 4 cm que é tangente à reta no ponto P.
  7. Determine a medida dos lados não paralelos de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo, sabendo que suas bases medem 30 cm e 10 cm.
  1. Em um triângulo retângulo com vértices 𝐴𝐴, 𝐴𝐴 e 𝐴𝐴 , inscrevemos uma circunferência de raio 2, como mostrado na figura. Sabe-se que a circunferência tangencia o lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 no ponto 𝑃𝑃, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 10 e 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 3. Determine 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐴𝐴𝐴𝐴.
  2. Determine o valor de x e o raio r da circunferência inscrita no triângulo abaixo. (Dica: monte um sistema linear com 3 equações.)
  3. (Dolce/Pompeo) Calcule o valor do raio 𝒓𝒓 do círculo inscrito no trapézio abaixo.
  4. Determine o perímetro do quadrilátero da figura, sabendo que 𝐴𝐴𝐴𝐴����^ = 40 e 𝐴𝐴����𝐶𝐶^ = 23.
    1. Determine o comprimento da aresta 𝑪𝑪𝑪𝑪 do quadrilátero abaixo, sabendo que 𝑨𝑨𝑨𝑨�����^ = 𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝑩𝑩�����𝑨𝑨^ = 𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝑩𝑩����𝑪𝑪^ = 𝟏𝟏𝟔𝟔 e 𝑨𝑨����𝑪𝑪^ = 𝟐𝟐𝟔𝟔.
    2. O trapézio isósceles abaixo tem perímetro de 116 cm. Determine os comprimentos dos lados.
    3. (Dolce/Pompeo) Seja ABCD um quadrilátero circunscritível a uma circunferência. Sabendo que 𝑨𝑨𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 cm, 𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝟗𝟗 cm, 𝑩𝑩𝑪𝑪 = 𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 cm e 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 cm, determine o perímetro do quadrilátero.
    4. Usando régua e compasso, desenhe um triângulo com lados de medida 4 cm, 5 cm e 7 cm. Em seguida, trace as bissetrizes e determine o incentro. Finalmente, desenhe a circunferência inscrita no triângulo.
    5. Determine a que distância dos vértices estão os pontos de tangência da circunferência com o triângulo do exercício anterior. (Dica: resolva um sistema linear com três equações e três incógnitas.)
    6. Determine o valor de x na figura abaixo.
  1. Sabendo que 𝑂𝑂 é o centro da circunferência abaixo, determine os valores de 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽.
  2. Sabendo que 𝑂𝑂 é o centro da circunferência abaixo, determine os valores de 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽.
  3. Sabendo que 𝑂𝑂 é o centro da circunferência abaixo, determine os valores de 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽.
  4. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
  5. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
  6. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
    1. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
    2. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de 𝜶𝜶.
    3. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de 𝛼𝛼.
    4. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
    5. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de 𝜶𝜶.
    6. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
  1. A figura abaixo mostra uma circunferência de centro O e raio igual a 3 cm, inscrita em um triângulo.

a) Determine 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽 , bem como o comprimento do arco BC. b) Determine 𝑥𝑥 sabendo que o triângulo tem perímetro igual a 32 cm.

  1. A figura abaixo mostra um quadrilátero ABCD circunscrito a uma circunferência de centro O. a) Determine 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽. b) Determine o comprimento do lado AD, sabendo que AM mede 4 cm, BM mede 3 cm, BC mede 5,6 cm e CD mede 4,7 cm.
  2. Determine a a medida do ângulo semi- inscrito 𝜶𝜶 em relação à medida do ângulo central 𝜷𝜷. Dica: relacione 𝜶𝜶 à medida dos ângulos internos do triângulo ABO.
  3. Em 2011, a oferta de energia no Brasil foi dividida, segundo as fontes de energia, em:
    • Biomassa da cana: 15,7%;
    • Hidráulica e eletricidade: 14,7%;
    • Lenha e carvão vegetal: 9,7%;
    • Outras fontes renováveis: 4,1%;
    • Petróleo e derivados: 38,6%;
    • Gás natural: 10,1%;
    • Carvão mineral: 5,6%;
    • Urânio: 1,5%. Fonte: Brasil. Balanço energético nacional 2012 – Ano base 2011. Rio de Janeiro, EPE,

a) Se você fosse fazer um gráfico de setores (ou de pizza) para representar essa divisão da oferta, qual seria o ângulo central referente ao conjunto de fontes renováveis? E ao conjunto de fontes não renováveis? b) Faça um gráfico com diâmetro de 4 cm, contendo dois setores, um referente às fontes renováveis e outro às fontes não renováveis.

  1. Em 2010, o Brasil possuía 190.755. habitantes assim distribuídos entre as regiões do país:
  • Norte: 15.864.454 hab.
  • Nordeste: 53.081.950 hab.
  • Sudeste: 80.364.410 hab.
  • Sul: 27.386.891 hab.
  • Centro-Oeste: 14.058.094 hab. Fonte: IBGE – Censo Demográfico 2010. a) Se você fosse fazer um gráfico de setores para representar a divisão percentual da população, qual seria o ângulo central referente a cada região? b) Faça um gráfico de setores, com 5 cm de diâmetro, que represente a participação de cada região na população brasileira. c) São Paulo tinha, à época, 41.262. habitantes. Qual seria o ângulo central
  1. (Dolce/Pompeo) Se 𝐴𝐴𝐶𝐶 é bissetriz de 𝐴𝐴̂ , determine x.
  2. (Dolce/Pompeo) Sabendo que 𝑩𝑩𝑨𝑨 é bissetriz de 𝑩𝑩�, determine x.
  3. (Dolce/Pompeo) Sabendo que 𝐴𝐴𝐶𝐶 é bissetriz de 𝐴𝐴�, determine x.
  4. (Dolce/Pompeo) Sabendo que 𝐴𝐴𝐶𝐶 é bissetriz de 𝐴𝐴̂ , determine x.
  5. O triângulo ABC da figura a seguir tem perímetro igual a 42 cm. Determine x e y.
    1. Na figura abaixo, o segmento AM é a bissetriz relativa ao ângulo Â. Determine 𝑥𝑥.
    2. (Dolce/Pompeo) O perímetro de um triângulo ABC é 100 m, A bissetriz interna do ângulo  divide o lado oposto 𝐴𝐴𝐴𝐴 em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados desse triângulo.
    3. Os triângulos ABC e DEF são semelhantes. O lado 𝐴𝐴𝐴𝐴����^ do primeiro mede 12 cm, enquanto 𝐶𝐶����𝐷𝐷, o lado correspondente a 𝐴𝐴𝐴𝐴����^ no segun- do, mede 18 cm. Sabendo que o perímetro do primeiro triângulo é igual a 48 cm, deter- mine o perímetro do segundo triângulo.
    4. Os lados do triângulo ABC medem 10 cm, 15 cm e 20 cm. Determine os lados de um triângulo semelhante a ABC, com perímetro igual a 36 cm.
    5. (Dolce/Pompeo) Sabendo que, na figura abaixo, ângulos com marcas iguais são congruentes, determine x e y.
    6. (Dolce/Pompeo) Determine x e y na figura abaixo.
  1. Dado o triângulo abaixo, determine os valores de x e y.
  2. Determine os valores de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 na figura.
  3. Determine os valores de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 na figura.
  4. (Dolce/Pompeo) Determine x e y na figura.
  5. Uma estante tem formato triangular, como mostra a figura. Observando o tamanho das prateleiras, calcule h, a altura da estante.
  6. (Dolce/Pompeo) Calcule o valor de x na figura abaixo, sabendo que 𝐴𝐴𝐴𝐴̂ 𝐷𝐷 ≡ 𝐴𝐴𝐶𝐶�𝐴𝐴.
    1. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
    2. (Dolce/Pompeo) Na figura abaixo, 𝐴𝐴𝐷𝐷���� ∥ 𝐴𝐴����𝐶𝐶. Determine o valor de x.
    3. Na figura abaixo, os segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐷𝐷 são paralelos. Determine os valores de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦.
    4. Em uma determinada hora do dia, minha sombra mede 60 cm e a sombra de uma árvore mede 2 m. Se tenho 1,8 m e o terreno no qual as sombras foram medidas é horizontal, determine a altura da árvore.
    5. Determine os valores de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 na figura abaixo.
  1. Um quiosque quadrado será construído em um terreno triangular, como mostra a figura abaixo. Determine a dimensão máxima do lado a do quiosque.
  2. Uma enorme tenda tem uma entrada retangular com altura 𝒙𝒙 e comprimento 𝟒𝟒𝒙𝒙, como mostra a figura abaixo. Determine o valor de 𝒙𝒙.
  3. A figura abaixo mostra o logotipo de uma empresa. Determine x e y.
  4. Na figura abaixo, os segmentos AB e ED são paralelos, o mesmo ocorrendo com AC e BD. Sabendo que as medidas estão em metros, determine 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦.
  5. Um jogador de sinuca quer acertar uma bola situada na posição 𝑺𝑺 de uma mesa retangular, dando uma tacada em uma bola

localizada no ponto 𝑹𝑹 , como mostrado na figura à esquerda.

a) Determine 𝒚𝒚 para que a bola siga a trajetória da figura à esquerda. b) Infelizmente, o jogador deu uma tacada que levou a bola ao ponto 𝑽𝑽 , como mostrado à direita. Determine a distância 𝒙𝒙 entre 𝑽𝑽 e o canto da mesa.

  1. Prove que, se duas cordas 𝑨𝑨����𝑩𝑩^ e 𝑪𝑪𝑪𝑪����^ de uma circunferência se interceptam em um ponto P, então 𝑨𝑨𝑨𝑨���� ∙ 𝑨𝑨𝑩𝑩����^ = 𝑪𝑪���� ∙𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑪𝑪�����. (Dica: use seus conhecimentos sobre ângulos inscritos em uma circunferência para inferir a semelhança dos triângulos mostrados na figura abaixo).
  2. Usando o resultado do exercício anterior, determine o valor de x na figura abaixo.
  3. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
  1. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.
  2. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de x.

Respostas.

  1. 9 cm
  2. 10 cm e 18 cm
  3. 18 cm e 12 cm
  4. 4 cm, 3 cm e 2 cm.
  5. a. 2 b. 3. c. 4. d. 0.
  6. a. Tangentes externamente b. Secantes.
  7. 12 cm e 21 cm.
  12. 20 cm.
  13. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 e 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5
  14. x = 3, r = 1.
  15. 6
  16. 126
  17. 38
  18. 40 cm, 29 cm, 18 cm e 29 cm
  19. 56 cm
  21. 1 cm, 3 cm e 4 cm. 22 x = 35°.
  22. x = 30°.
  23. x = 30°.
  24. x = 75°.
  25. x = 50°.
  26. x = 58°.
  27. 𝛼𝛼 = 50°
  28. x = 60°.
  29. x = 98°.
  1. 𝑥𝑥 = 1,8 cm, 𝑦𝑦 = 1,92 cm.
  2. 𝑥𝑥 = 19,2 m, 𝑦𝑦 = 6,25 m.
  3. 𝑦𝑦 = 0,56 m, 𝑥𝑥 = 1,225 m.
  4. Os ângulos 𝐶𝐶𝐴𝐴�𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐴𝐴̂ 𝐴𝐴 são congruentes, pois estão associados ao arco 𝐴𝐴𝐶𝐶. Além disso, os ângulos 𝐶𝐶𝑃𝑃�𝐴𝐴 e 𝐴𝐴𝑃𝑃�𝐴𝐴 também são congruentes, pois são opostos pelo vértice. Assim, os triângulos APC e DPB são semelhantes, de modo que 𝐴𝐴𝐴𝐴����𝐷𝐷����𝐴𝐴 = (^) 𝐵𝐵����𝐶𝐶����𝐴𝐴𝐴𝐴. Logo, 𝐴𝐴���� ∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃 ����𝐴𝐴^ = 𝐴𝐴𝑃𝑃���� ∙ 𝑃𝑃����𝐶𝐶.
  5. 𝑥𝑥 = 3√3.
  6. 𝑥𝑥 = 6
  7. 𝑥𝑥 = 4
  8. 𝑥𝑥 = 9