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Neste artigo vamos buscar métodos de construção para quadrados mágicos de algumas ordens baseados em matrizes conhecidas como quadrados latinos e em duas importantes estruturas algébricas. O artigo está dividido em duas partes. Na Parte 1 apresentaremos nosso problema e utilizaremos os grupos para construirmos quadrados mágicos regulares de ordem n ímpar. Para o caso par precisaremos de outra estrutura algébrica, os corpos finitos, que será apresentada na Parte 2, onde ainda será feita uma extensão do conceito de quadrados mágicos para k dimensões.
Tipologia: Notas de aula
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VÍDEO
Amuleto Mágico
Série Matemática na Escola
Objetivos
VÍDEO
Série Matemática na Escola
Conteúdos Simetria; propriedade comutativa da soma; progressão aritmética simples; valor médio.
Duração Aprox. 10 minutos.
Objetivos
Sinopse Uma jovem recebe um belo amuleto de presente de um amigo que explica algumas propriedades do quadrado mágico que o amuleto ostenta.
Material relacionado Vídeos: Para correr a São Silvestre; Experimento: Padrões no plano, Quadrado mágico aditivo, Quadrado mágico multiplicativo;
VÍDEO
O vídeo mostra a construção de um quadrado mágico de ordem 3 e mostra que essa disposição é a única possível para os números um a nove, a menos de variações por rotação e espelhamento. Isto é, há várias possibilidades de disposição na matriz, mas todas elas são equivalentes do ponto de vista algébrico (comutatividade da soma). Para mostrar que essa disposição é única, são feitos diversos somatórios, mostrando essa equivalência algébrica, isto é considerando a propriedade comutatividade da soma.
Tendo como motivação a gravura de Albrecht Durer chamada "Melancolia", na qual um quadrado mágico de ordem quatro faz parte do desenho, outros conceitos e curiosidades são apresentados: a constante mágica e como obtê-la; um modo de construir esse quadrado através de operações semelhantes à da construção do de ordem 3, isto é por inversões das diagonais e troca de simétrica de colunas; o detalhe genial de Dürer mostrando ano do desenho (1514) inserido na gravura; a grande quantidade de quadrados de ordem maior que 4 e não equivalentes que se pode obter; e a simetria por inversão.
Para obter a constante mágica são utilizados os seguintes conteúdos: progressão aritmética simples e o cálculo de um valor médio.
Algumas curiosidades dos quadrados mágicos de ordens superiores são citadas, como por exemplo, a grande quantidade de quadrados não equivalentes de ordens maiores que 3, que os astrólogos europeus da idade média descobriram vários destes quadrados mágicos e os associavam aos astros: de ordem 3, Saturno; de ordem 4, Júpiter; de ordem 5, Marte; de ordem 6, Sol; de ordem 9, Lua.
VÍDEO
Existem alguns algoritmos para se obter quadrados mágicos de uma infinidade de ordens. O jovem do vídeo apresentou um algoritmo para colocar os números de um a nove no quadrado de ordem três e outro para colocar os números de um a 16 no de ordem quatro.
O cálculo da chamada Constante Mágica é facilmente obtida, pensando-se em termos de média aritmética da,seguinte maneira. Os quadrados mágicos normais de ordem n têm os números de 1 a n^2 para serem colocados no quadrado. Este quadrado tem n linhas, n colunas e duas diagonais com n elementos cada uma que somam exatamente o mesmo valor. Em outras palavras deve haver 2n+ somas iguais.
A soma total da P.A. {1,2, ...,n^2 } é
total
1 2
n n S
=.
O valor médio para cada célula do quadrado mágico será
VÍDEO
Estimular os alunos a construir quadrados mágicos com outras seqüências de números.
No caso de um quadrado mágico de ordem 3, os experimentos Quadrado mágico aditivo e Quadrado mágico multiplicativo, devem ter mostrado, antes do vídeo, que a construção do quadrado por tentativa e erro pode ser demorada, mesmo o mais simples de ordem 3 com números de um a nove.
Exercício. Mostre que um quadrado mágico normal de ordem três não pode ter o número 1 nos cantos.
Solução. Basta observar que os números dos cantos devem entrar em três somas, a saber, a da linha, da coluna e da diagonal. No entanto a decomposição da constante mágica 15 em três números de um a nove só tem o número 1 em duas somas: 9+5+1=15 e 8+6+1=15. Desta forma sabemos que o número 1 não pode estar nos cantos. Pelo mesmo motivo, não pode estar no centro, pois o número central participa da soma da sua linha, da sua coluna e das duas diagonais, isto é de mais de duas somas.
Podemos preencher um quadrado mágico com os termos de uma P.A. qualquer. Vejamos o de ordem 3. Sejam a 1 , a 2 , até o último termo a 9 os números da P.A. A soma dela vale S 9 =9(a 1 +a 9 )/2. O termo central da P.A. (o quinto termo) também deve ocupar o centro do quadrado mágico. E a constante mágica deverá ser, pela demonstração apresentada acima, C=3(a 1 +a 9 )/2. Assim, o quadrado mágico será equivalente ao seguinte:
a 4 a 9 a 2
a 3 a 5 a 7
a 8 a 1 a 6
VÍDEO
Observe que os índices dos termos são exatamente os números do quadrado mágico de ordem 3. Daí fica bem fácil construir as outras disposições equivalentes do quadrado mágico de ordem 3.
Quadrado mágico normal de ordem 4 Para um quadrado mágico normal de ordem 4, a dificuldade é ainda maior. O professor pode dar um tempo para os alunos tentarem outro quadrado mágico que não seja o mostrado no vídeo. Se conseguirem, provavelmente é uma variação de disposição do visto no vídeo.
Em seguida o professor deve aproveitar para fazer algumas tentativas ele mesmo para enfatizar que não é uma tarefa simples obter um quadrado mágico normal de ordem quatro. Ou seja, não existe um método simples geral (um algoritmo geral) para se obter qualquer quadrado mágico. No entanto as observações abaixo podem ajudar nesta tarefa. Vamos considerar o caso do quadrado normal de ordem 4.
Temos os números 1,2,3,...,15,16 para colocar no quadrado. A soma total destes números (soma de uma P.A.) é 8x17 e as somas de cada linha, coluna ou diagonais devem ser 8x17/4=34. Esta é a constante mágica. Isto significa que devemos pegar quatro números distintos de 1 a 16, tais que a soma é 34.
Quantos arranjos de quatro números podemos formar a partir dos dezesseis números?
4 16
16! (^16 15 14 13 ) 12!
A = = × × × =
Obviamente só precisamos de quatro arranjos (um para cada linha) e nem todos estes 43680 somam exatamente 34. A ordem dos números é importante no quadrado mágico, mas para a soma não, pois a ordem dos fatores não altera a soma. Por isto calculamos a combinação de 16, 4 a 4.
164 16!^16 15 14 13 12!4! 4 3 2 1
C = = ×^ ×^ × = × × ×
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Pronto! Agora todas as linhas e colunas também somam 34. O quadrado mágico da gravura Melancolia tem as colunas internas trocadas, o que não altera as somas. Aliás, há várias outros quadrados mágicos obtidos a partir do acima fazendo transformações como a troca de quadrantes, de linhas etc.
Exercício. Verificar que os sub quadrados de ordem 2 dos quatro quantos e do centro têm células que somam 34, a mesma constante mágica do quadrado normal de ordem 4. Esta é uma propriedade particular deste quadrado mágico, isto é, nem todos os quadrados mágicos de ordem quatro têm esta propriedade.
Quadrado mágico normal de ordem 5 O quadrado mágico normal de ordem 5 tem um procedimento (algoritmo) descoberto por de La Loubére em 1687 para quadrados de ordem ímpar. Começando pelo número 1 no topo central do quadrado, visualizamos o quadrado como se fosse um toro, identificando a fronteira de cima com a de baixo e a fronteira direita com a esquerda e preenchemos um percurso (1-->2-->3....-->25) em diagonal. Ao encontrar uma célula já preenchida, recomeçar a diagonal na célula abaixo. Veja a quadrado abaixo. Alguns números ao redor do quadrado mágico servem para mostrar as identificações de fronteiras:
18 25 2 9 11 17 24 1 8 15 17 16 23 5 7 14 16 23 22 4 6 13 20 22 4 3 10 12 19 21 3 10 9 11 18 25 2 9 17 24 1 8
Este procedimento pode ser feito para qualquer quadrado mágico de ordem ímpar com os números em progressão aritmética. Observe que o termo central da P.A., 13, está no centro deste quadrado mágico.
Exercício. Verificar que todos os números deste quadrado mágico diametricamente opostos ao centro somam exatamente 26.
VÍDEO
Bibliografia
H. EVES, Introdução à História da Matemática, Editora da Unicamp, 1995.
R.M. BARBOSA, Aprendendo com padrões mágicos, SBEM-SP, Nº 1, 2000.
E. Lucas, Quadrados mágicos de Fermat (Jogos Matemáticos III), Editec, 2008.
M. TAHAN, As maravilhas da matemática, Bloch Editoras, 2ª edição, 1973.
Ficha técnica
Autores: Waldeci Ribeiro do Nascimento, Gilberto José Soares e Samuel Rocha de Oliveira Revisão Adolfo Maia Jr. Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
