!
!
Engenharia! ! ! ! Cálculo!IV!
!
! !!!
!
!
1)! Considere! uma! população ! de! ratos! do! campo! que! habitam! certa! áre a! rural.! Vamos! supor! que,! na !
ausência!de!predadores,!a!população!de!ratos!cresce!a!uma!taxa!proporcional!à!população!atual.!
Essa!hipótese!é!uma!lei!física!que!não!está!muito!bem!estabelecida,!mas!é!uma!hipótese!inicial!
usual!em!um!estudo!de!crescimento!populacional.!Se!denotarmos!o!tempo!por!t!e!a!população!
de!ratos!por!p(t),! en tão! a! hip ótese !d e! cresc imento ! popula cional ! pode! ser ! expres sa! por! um a!
equação!diferencial,!onde!o!fator!de!proporcionalidade!r&é!chamado!de!taxa!constante!ou!taxa!
de!crescimento.!Especificamente,!suponhamos!que!o!tempo!é!medido!em!meses!e!que!a!taxa!r&
tem!o! valor! de!½!por!mês.! Considere!também!uma! vizinhança!de!predadores! que!matam!22!
ratos! por! dia.!Nestas! condições! determine! a! equação! diferencial!que! descreve! tal! modelo!e!
encontre!a!solução!de!equilíbrio.!
!
!
!
!
!
!
!
2)!Resolva!as!!seguintes!equações!diferenciais!dado!
cada!valor!inicial.!(Problema&do&valor&inicial).!
!
a)
!"
!# =%#&'(# ')
)("+,)
!!!!!!
𝑦
(
0
)
= −1
!
!
b)
2#
%𝑦′ − %#
2𝑦 = 0
!!!!!!
𝑦
(
0
)
= 5
!
!
c)
𝑦′ + 5𝑥(= 3𝑥𝑒+#9
!!!!!!
𝑦
(
2
)
= 4
!
!
!
!
3)!Obtenha!a!solução!geral!para!as!equações!diferenciais!a!seguir:!
!
a)
!#
!< =𝑥𝑠𝑒𝑛𝑡
!
!
b)
!@
!A = −5(𝜔 − 1)
!!
!
c)
!#
!< = 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
!
Resposta:!
Respostas:!
Respostas:!