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Minist´erio da Educa¸c˜ao Funda¸c˜ao Universidade Federal do Vale do S˜ao Francisco - UNIVASF Pr´o-Reitoria de Ensino - PROEN Secretaria de Registro e Controle Acadˆemico - SRCA Colegiado de Engenharia de Produ¸c˜ao (CEPROD)
Geometria Anal´ıtica
1 a^ Prova Semestre: 2024.1 Turma: M
Professor: Beto Rober Bautista Saavedra Lugar e Data : Juazeiro, 09/09/
- (2,5 pontos)Sejam os v´ertices A = (1, 2), B = (− 2 , 1) e C = (2, 3) do triˆangulo ABC.Calcular o per´ımetro, a ´area e os 3 pontos m´edios dos lados do triˆangulo.
Solu¸c˜ao:
Solu¸c˜ao: Sejam os vetores
AB = (− 3 , −1),
AC = (1, 1) e
BC = (4, 2). O Perimetro ´e |
AB| + |
AC| + |
BC| =
20 .; O ´area ´e 1 2
AB|^2 |
AC|^2 − (
AB
AC)^2 =
e os pontos medios dos lados s˜ao
(
), (0, 2) e (
- (2,5 pontos) Sejam os v´ertices A = (1, 2), B = (− 2 , 1) e C = (2, 3) do triˆangulo ABC. Seja a reta rA, que passa por A, perpendicular ao segmento BC; seja reta rB , que passa por B, perpendicular ao segmento AC; e, a reta rC a reta, que passa por C, perpendicular ao segmento AB. Achar o ponto de encontro das 3 retas.
Solu¸c˜ao: Ja que rA passa por A =(1,2) e ´e perpendicular ao vetor
BC = (4, 2)||(2, 1), tem o formato 2 x + y + c = 0. O valor c ´e c = − 2. 1 − 2 = − 4. Logo,
rA : 2x + y − 4 = 0.
Ja que rB passa por B =(-2,1) e ´e perpendicular ao vetor
AC = (1, 1), tem o formato x + y + c = 0. O valor de c ´e c = 2 − 1 = 1. Logo,
rB : x + y + 1 = 0.
Ja que rC passa por C =(2,3) e ´e perpendicular ao vetor
AB = (− 3 , −1)||(3, 1), tem o formato 3 x + y + c = 0. O valor de c ´e c = − 3. 2 − 1 .3 = − 9. Logo,
rC : 3x + y − 9 = 0.
Resolvendo o sistema (^)
2 x + y = 4
x + y = − 1 nos fornece o ponto Q = (5, −6). O ponto Q satisfaz a equa¸c˜ao 3 x + y − 9 = 0
- (2.5 pontos) Sejam o triˆangulo ABC. Sejam M,N e P os pontos medios dos segmentos AB, BC e CA. Provar que
(a) As medianas AN, BP e CM do triˆangulo ABC se intersectam num mesmo ponto G, chamado Baricentro. (b)
AG = 23
AN ,
BG = 23
BP e
CG = 23
CM.
Solu¸c˜ao: Seja G 1 a interse¸c˜ao dos segmentos AN e CM. Observa-se que existe um x ∈ R tal que
(1)
AG 1 = x
AN =
x 2
AB +
AC),
e existe um y ∈ R tal que − CG−→ 1 =^ y
− CM−→ = y 2 (− CB−→ + − CA→) = y 2
(− AB−→ − 2 − AC→).
Agora,
(2)
AG 1 =
CG 1 −
CA =
y 2
AB + (1 − y)
AC.
J´a que os vetores
AB e
AC s˜ao linearmente independentes, comparando (1) e (2), obtemos: x = y e x 2 = 1 − y ⇔ x = y =^2 3
Ou seja,
(3) − AG−→ 1 =^2 3
− AN−→
Seja G 2 a interse¸c˜ao dos segmentos AN e BP. Por similaridade com o anterior caso do ponto G 1 , resula
(4)
AG 2 =^2
AN
De (3) e (4) , conclui-se que G 1 = G 2. Isto ´e, as medianas AN, BP e CM do triˆangulo ABC se intersectam num mesmo ponto G, chamado Baricentro, e vale o item (b)
