Propriedades Geométricas de Áreas Planas, Resumos de Mecânica

Baixe Propriedades Geométricas de Áreas Planas e outras Resumos em PDF para Mecânica, somente na Docsity!

UNI BAHI A

MECÂNICA GERAL I

Salvador

ÍNDICE

• 1. Introdução ..................................................................................................................
• 2. Forças Sobre uma Partícula .....................................................................................
• 2.1. Forças no plano sobre uma partícula ...................................................................
  • 2.1.1. Resultante de duas forças sobre uma partícula (triângulo de forças) ..............
  • 2.1.2. Resultante de forças sobre uma partícula (componentes ortogonais) ...........
  • 2.1.3. Equilíbrio de uma Partícula no plano ...................................................................
• 2.2. Forças no espaço sobre uma partícula ..............................................................
  • 2.2.1. Vetor força definido por seu módulo e dois pontos de sua linha de ação .....
  • 2.2.2. Equilíbrio de uma partícula no espaço.................................................................
• 3. Corpo Rígido............................................................................................................
• 3.1. Momento de uma Força (Torque) ........................................................................
  • 3.1.1. Vetor do Momento de uma Força .........................................................................
  • 3.1.2. Resultante do momento de forças aplicadas em um mesmo plano ...............
  • 3.1.3. Binário .......................................................................................................................
• 3.2. Principio da Transmissibilidade..........................................................................
• 3.3. Sistema Equivalente.............................................................................................
• 3.4. Equilíbrio de Corpos Rígidos no Plano ..............................................................
  • 3.4.1. Apoios para Corpos Rígidos..................................................................................
• 4. Estruturas Isostáticas Simples e Planas ...............................................................
• 4.1. Treliças ..................................................................................................................
  • 4.1.1. Aplicações das Treliças..........................................................................................
  • 4.1.2. Premissas do Projeto de uma Treliça ..................................................................
  • 4.1.3. Métodos de Análise.................................................................................................
• 5. Cargas Distribuídas Sobre Vigas ...........................................................................
• 5.1. Centróides de Superfícies Planas .......................................................................
  • 5.1.1. Centro de Gravidade e Centro de Massa............................................................
  • 5.1.2. Centróides de Superfícies Planas ........................................................................
• 5.2. Cargas Pontuais Equivalentes a um Sistema de Cargas Distribuídas ............
• 6. Momento de Inércia de Áreas.................................................................................
• 6.1. Momento de Inércia ..............................................................................................
• 6.2. Momento de Inércia de Áreas Elementares........................................................
• 6.3. Momento Polar de Inércia de Área ......................................................................
• 6.4. Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área ....................................................
• 6.5. Raio de Giração de uma Área..............................................................................

2. FORÇAS SOBRE UMA PARTÍCULA

Antes de iniciarmos o estudo propriamente dito de força sobre uma partícula, apresentaremos algumas definições gerais.

Grandezas Escalares

Grandezas que são perfeitamente caracterizadas por um valor numérico são denominadas escalar. Como exemplos de grandezas escalares comumente utilizadas na estática podemos citar massa, volume, área e comprimento.

Grandezas Vetoriais

Grandezas que necessitam de um vetor, ou seja, módulo, direção e intensidade, são ditas vetoriais. Como exemplos de grandezas vetoriais comumente utilizadas na estática podemos citar força e momento.

Vetor Força

Uma força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela, como todo vetor, é caracterizada por seu ponto de aplicação , sua intensidade , direção e sentido. A intensidade de uma força terá como unidade do SI o newton (N) e seu múltiplo, o quilonewton (KN), igual a 1000N.

fig. 01 – Vetor Força

2.1. FORÇAS NO PLANO SOBRE UMA PARTÍCULA

fig. 02 – Forças no plano sobre uma partícula.

A aplicação de forças no plano sobre uma partícula como apresentada na figura 02 pode gerar apenas dois efeitos; translação ou repouso.

2.1.1. Resultante de duas forças sobre uma partícula (triângulo de forças)

Geometricamente a resultante de duas focas sobre uma partícula, assim como visto desde o ensino médio, poderá ser determinada a partir dos métodos do paralelogramo e do polígono.

- Método do Paralelogramo - Método do Polígono

fig. 03 – Métodos de Composição Vetorial

Determinação do módulo da Resultante de duas forças sobre uma partícula

Partindo dos métodos anteriormente apresentados podemos determinar o módulo da força resultante através das leis dos senos e dos cossenos.

- Lei dos senos

fig. 04 – Lei dos senos

C

c B

b h b C c B sen sen 1 =^ .sen = .sen ⇒ = (I)

A

a B

b h b A a B sen sen 2 =^ .sen = .sen ⇒ = (II)

De I e II concluímos

C

c A

a B

b sen sen sen

Solução:

sen 0 , 69 43 , 90

sen

sen 120

sen

sen 120

16 100 2. 4. 10 .cos 120

4 10 2. 4. 10 .cos 120

2

2

(^222)

A A

A

A

F

F kN

F

F

F

R

R

R

R

R

Exercício resolvido 02:

Determine os módulos das componentes da força de 600 N nas direções das barras AC e AB da treliça abaixo.

Solução:

Por lei dos senos FCA = 820 N e FAB = 735 N

Exercício resolvido 03:

A viga da figura é suspensa por meio de dois cabos. Se a força resultante é de 600 N, direcionada ao longo do eixo y positivo, determine FA e FB e a direção θ de modo que FB seja mínimo. A força de módulo FA atua a um ângulo de 30° com o eixo y, conforme ilustração.

Solução:

Para que FB seja mínimo a componente deverá ser perpendicular a força FA (conforme a ilustração). Assim, θ = 60°. Assim, os valores de FA e FB são facilmente encontrados pela lei dos senos.

2.1.2. Resultante de forças sobre uma partícula (componentes ortogonais)

Na seção anterior, estudamos dois métodos para determinação da força resultante da soma de dois vetores; método do paralelogramo e o método do polígono. Estes métodos são pouco eficientes em casos que envolvem mais de duas forças. Nestes casos, determinaremos a força resultante a partir da soma das componentes ortogonais. Para entendermos como funciona esta soma vetorial, devemos rever o processo de decomposição vetorial.

Abaixo está ilustrado um vetor de módulo F com um ângulo θ em relação ao eixo horizontal x e suas componentes ortogonais obtidas por relações trigonométricas.

fig. 06 – Decomposição vetorial. Fx e Fy correspondem aos módulos das componentes nas direções dos eixos positivos de x e y.

Na figura 07 mostramos a soma de três vetores e a sua resultante obtida a partir da soma das componentes ortogonais.

fig. 07 - Resultante obtida a partir da soma das componentes ortogonais.

→ ∧ ∧

→ ∧ ∧

→ ∧ ∧

F F i F j

F F i F j

F F i F j

x y

x y

x y

(^333)

(^222)

1 1 1 ( ) ( )

( ) ( )

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

→ ∧ ∧

x

y

R x y

R x y

F

F

F F F

F F i F j

arctan

2 2

θ

Exercício resolvido 04:

Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.

Solução:

Exercício resolvido 05:

Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.

Solução:

⎟ ∴ =− ° ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ −

=

=− + ∴ = − + ∴ =

= + °+ ° + + °+ °

= (^) ∑ + ∑

61 , 34

1. 198 , 08

2. 192 , 82 arctan

3. 198 , 08. 2. 192 , 82. 1. 198 , 08 2. 192 , 82 2. 498 , 77

( 1. 000 800 .cos 60 3. 000 .cos 150 ). ( 0 800 .sen 60 3. 000 .sen 150 ).

( ). ( ).

2 2

θ θ

FR i j FR FR N

FR i j

FR Fx i Fy j

r r r

r r r

r r r

Solução:

arctan

)). ( 800 .cos 60 200 180. 13

( 800 .sen 60 0 ( 180.

2 2

α anguloemrelaçãoaoeixoxpositivo θ

F N

F i j i j

FR F F F F FR F F

r r r r r

r r r r r r r r

Exercício proposto 03:

Uma força de 2,5 kN está aplicada a um cabo ligado a um suporte. Quais as componentes horizontal e vertical desta força?

Resposta: - 2,35 kN (horizontal) e 0,855 kN (vertical)

Exercício proposto 04:

A tração no cabo de sustentação AB é 650N. Determine as componentes horizontal e vertical da força atuante no pino A.

Resposta: +250N, - 600N

2.1.3. Equilíbrio de uma Partícula no plano

Dizemos que uma partícula está em equilíbrio toda vez em que ela se encontra com a sua velocidade vetorial constante, ou seja, quando a partícula está em repouso (estático) ou em movimento retilíneo uniforme. Desta maneira podemos concluir que uma partícula está em equilíbrio quando satisfizer a primeira lei de Newton ; para manter um equilíbrio a força resultante sobre a partícula é nula.

∑ FR =^0

r

Assim para o caso de forças no plano temos:

∑ FX^ =^0 e ∑ FY =^0

r r

Se comparada a segunda lei de Newton a equação acima também se confirma suficiente para a manutenção do equilíbrio de uma partícula.

∑ FR = m.^ a =^0 ∴ a =^0

r r r

Diagrama de Corpo Livre

Este diagrama é tão somente um esquema que mostra a partícula, com todas as forças que atuam sobre ela, livre de sua vizinhança.

fig. 08 – Diagrama de corpo livre do nó A.

Para encontrar as forças envolvidas no diagrama de corpo livre iremos adotar os métodos para determinação de força resultante até aqui estudados.

Exercício resolvido 08:

Determine os módulos F1 e F2 de modo que a partícula da figura fique em equilíbrio.

Exercício resolvido 10:

A viga mostrada na figura tem um peso de 7kN. Determine o comprimento do menor cabo ABC que pode ser utilizado para suspendê-la, considerando que a força máxima que ele pode suportar é de 15 kN.

Solução:

L m L L

AssimocomprimentoLserá

Fy

Nacondiçãocrítica F F kN

Porsimetria Fx

BA BC

cos( 13 , 49 ) 0 , 5.

cos

0 2. 15 .sen 7 0 13 , 49

∑

∑

r

r

Exercício proposto 05:

Um bloco de 3kN é suportado pelos dois cabos AC e BC. a) Para que valor α a tração no cabo AC é mínima? b) Quais os valores correspondentes das trações nos cabos AC e BC?

Resposta: a) 30º; b) TAC = 1500N; TBC = 2600N

Exercício proposto 06:

Duas cordas estão amarradas em C. Se a tração máxima permissível em cada corda é de 2,5 kN, qual é a máxima força F que pode ser aplicada? Em que direção deve atuar esta máxima força?

Resposta: F = 2,87 kN; α = 75º

2.2. FORÇAS NO ESPAÇO SOBRE UMA PARTÍCULA

Até o presente momento abordamos exemplos que envolviam partículas submetidas à aplicação de forças coplanares. Para chegarmos as soluções dos problemas estudamos diversos métodos de composição vetorial. Entre os métodos, destacou-se o método de soma das componentes ortogonais obtidas por decomposição vetorial. Para estudarmos resultante de varias forças concorrentes no espaço utilizaremos deste método acrescido apenas de mais uma direção (eixo z). Assim, quando tratada no espaço ( três dimensões) a força deverá ser representada

como composição de três vetores nas direções dos vetores unitários i , jek.

r r r

fig. 09 – Componentes ortogonais de uma força tridimensional

.cos

.cos

.cos

F F^2 F^2 F^2 módulodeF

F Fxi Fyj Fzk notaçãovetorial

entreFeoseixosdereferencia

x y z ângulosdiretores ângulos formados

Fz F z

Fy F y

Fx F x

x y z

r

r r r r

r

A soma de vários vetores no espaço ficará definida como apresentada abaixo.

F F F F Fx i Fy j Fz k

n n n n

r r r r r r r ....... 1 1 1

• • • • = ∑ ∑ ∑

2.2.1. Vetor força definido por seu módulo e dois pontos de sua linha de ação

Em várias situações os ângulos diretores são apresentados de maneira implícita em sistemas tridimensionais de força. Nestes casos há a necessidade de se representar a força a partir de coordenadas cartesianas. Assim, a força estará sendo representada por seu módulo e dois pontos de sua linha de ação dispostos no espaço. A seguir veremos como obter os cossenos dos ângulos diretores a partir das coordenadas dos dois pontos (na ilustração “A e B”) da linha de ação da força.

fig. 10 – Componentes cartesianas de um vetor de módulo “d”.

d

dz Fz F d

dy Fy F d

dx Fx F

Assimtemos

d

dz z d

dy y d

dx x

d dx dy dz

cos ;cos ;cos

2 2 2

2.2.2. Equilíbrio de uma partícula no espaço

1 1 1

1 1 1

1 2 3

⎟^ =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

n n n

n n n n

Fx Fy Fz

temosnoequilíbrio

seja F F F F F Fx i Fy j Fz k

r r r r r r r r

Exercício resolvido 12:

Determine a força em cada um dos cabos de maneira que a carga de 5000N fique em equilíbrio.

Solução:

Diagrama de corpo livre do ponto C

Da ilustração obtemos a seguinte tabela:

Esforço Fac Fbc Fdc Externo dx (xfinal- xinicial) (0-6) = -6 (0-6) = -6 (12-6) = 6 ----- dy(yfinal- yinicial) (0-0) = 0 (0-0) = 0 (8-0) = 8 - dz(zfinal- zinicial) (2-0) = 2 (-2-0) = -2 (0-0) = 0 ----- d 6,32 6,32 10 -----

AC AC BC

AC BC CD BC BC AC

AC BC AC BC DC

CD BC

BC AC

AC

CD CD DC

CD BC

BC AC

AC

AC BC CD DC

CD BC

BC AC

AC

F F N F

F F F F F F

AplicandoIIeIIIemI temos

F F F F III

d

F

d

F

d

Fz F

F F N II

d

F

d

F

d

Fy F

F F F I

d

F

d

F

d

Fx F

∑

∑

∑