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Curso Mentor
Turma: Primeiro Ano Tema: Progress˜oes Aritm´eticas Professor: Leonardo Santos Data: 25 de setembro de 2012
Q1. Determinar x de modo que (x, 2 x + 1, 5 x + 7) seja uma P.A.
Q2. Determinar a de modo que (a^2 , (a + 1)^2 , (a + 5)^2 ) seja uma P.A.
Q3. Obter uma P.A. de trˆes termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.
Q4. Obter uma P.A. crescente formada por n´umeros inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.
Q5. Obter 3 n´umeros em P.A. sabendo que sua soma ´e 18 e a soma de seus inversos ´e 2330.
Q6. Uma P.A. ´e formada por 3 termos com as seguintes propriedades: I) seu produto ´e igual ao quadrado de sua soma; II) a soma dos dois primeiros ´e igual ao terceiro. Obter a P.A.
Q7. Obter 3 n´umeros em P.A. de modo que sua soma seja 3 e a soma de seus quadrados seja
Q8. Obter uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos ´e 32 e o produto ´e 3465.
Q9. (USP) A soma de quatro termos conse- cutivos de uma progress˜ao aritm´etica ´e −6, o produto do primeiro deles pelo quarto ´e −54. Determinar esses termos.
Q10. Obter uma P.A crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o dos meios seja 77.
Q11. Obter 4 n´umeros reais em P.A. sabendo que sua soma ´e 22 e a soma de seus quadrados ´e 156.
Q12. Obter uma P.A. de 5 termos sabendo que sua soma ´e 25 e a soma de seus cubos ´e 3025.
Q13. Obter uma P.A. decrescente com 5 ter- mos cuja soma ´e −10 e a soma dos quadrados ´e 60.
Q14. Obter 5 n´umeros reais em P.A., sabendo que sua soma ´e 5 e a soma de seus inversos ´e 56363.
Q15. Achar 5 n´umeros reais em P.A. sabendo que sua soma ´e 10 e a soma dos cubos dos dois primeiros ´e igual `a soma dos cubos dos dois ´ultimos.
Q16. Mostrar que se (a, b, c) ´e uma P.A., ent˜ao (a^2 bc, ab^2 c, abc^2 ) tamb´em ´e.
Q17. Provar que se ( (^) x+^1 y , (^) y+^1 z , (^) z+^1 x ) ´e uma P.A., ent˜ao (z^2 , x^2 , y^2 ) tamb´em ´e.
Q18. Provar que se (a, b, c) ´e uma P.A., ent˜ao (a^2 (b + c), b^2 (a + c), c^2 (a + b)) tamb´em ´e.
Q19. Sabendo que (a, b, c) e ( (^1) b , (^1) c , (^1) d ) s˜ao P.A., mostrar que 2ad = c(a + c).
Q20. Sabendo que (α, β, γ, δ) ´e P.A., provar que: (δ + 3β)(δ − 3 β) + (α + 3γ)(α − 3 γ) = 2(αδ − 9 βγ).
Q21. Calcular o 17 o.^ termo da P.A. cujo pri- meiro termo ´e 3 e cuja raz˜ao ´e 5.
Q22. Obter o 12o.^ , o 27o.^ e o 100o.^ termos da P.A. (2, 5 , 8 , 11 ,.. .).
Q23. Obter a raz˜ao da P.A. em que o pri- meiro termo ´e −8 e o vig´esimo ´e 30.
Q24. Obter a raz˜ao da P.A. em que a 2 = 9 e a 14 = 45.
Q25. Obter o primeiro termo da P.A. de raz˜ao 4 cujo 23o.^ termo ´e 86.
Q26. Qual ´e o termo igual a 60 na P.A. em que o 2o.^ termo ´e 24 e a raz˜ao ´e 2?
Q27. Obter a P.A. em que a 10 = 7 e a 12 = −8.
Q28. Determinar a P.A. em que o 6 o.^ termo ´e 7 e o 10o.^ ´e 17.
Q29. Qual ´e a P.A. em que o 1o.^ termo ´e 20 e o 9o.^ termo ´e 44?
Q30. Determinar a P.A. em que se verificam as rela¸c˜oes:
a 12 + a 21 = 302 e a 23 + a 46 = 446
Q31. Na P.A. em que ap = α e aq = β com p 6 = q, calcular o termo ap+q.
Q32. (IME) Determine a rela¸c˜ao que deve existir entre os n´umeros m, n, p e q, para que se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mesma progress˜ao aritm´etica:
am + an = ap + aq
Q33. Qual ´e o primeiro termo negativo da P.A. (60, 53 , 46 ,.. .)?
Q34. Provar que se (a 1 , a 2 , a 3 ,... , an) ´e P.A., com n > 2, ent˜ao
(a^22 − a^21 , a^23 − a^22 , a^24 − a^23 ,... , a^2 n − a^2 n− 1 )
tambem ´e.
Q35. Provar que se uma P.A. apresenta am = x, an = y e ap = z, ent˜ao verifica-se a rela¸c˜ao:
(n − p)x + (p − m)y + (m − n)z = 0
Q36. Provar que os termos de uma P.A. qualquer onde 0 n˜ao participa verificam a rela¸c˜ao:
1 ala 2
a 2 a 3
a 3 a 4
an− 1 an
n − 1 alan
Q37. Intercalar 5 meios aritm´eticos entre −2 e 40.
Q38. Quantos meios aritm´eticos devem ser interpelados entre 12 e 34 para que a raz˜ao da interpola¸c˜ao seja 12.
Q39. Inserir 12 meios aritm´eticos entre 100 e
Q40. Quantos n´umeros inteiros e positivos,
formados com 3 algarismos, s˜ao m´ultiplos de 13?
Q41. De 100 a 1000 quantos s˜ao os m´ultiplos de 2 ou 3?
Q42. Ouantos n´umeros inteiros e positivos, formados de dois ou trˆes algarismos, n˜ao s˜ao divis´ıveis por 7?
Q43. (ITA) Ouantos n´umeros inteiros existem, de 1000 a 10000, n˜ao divis´ıveis nem por 5 e nem por 7?
Q44. (MAPOFEI) Inscrevendo-se nove meios aritm´eticos entre 15 e 45, qual ´e o sexto termo da P.A.?
Q45. Calcular a soma dos 25 termos iniciais da P.A. (1, 7 , 13 ,.. .).
Q46. Obter a soma dos 200 primeiros termos da sequˆencia dos n´umeros ´ımpares positivos. Calcular tamb´em a soma dos n termos iniciais da mesma sequˆencia.
Q47. Qual ´e a soma dos n´umeros inteiros de 1 a 350?
Q48. Qual ´e a soma dos 120 primeiros n´umeros pares positivos? E a soma dos n primeiros?
Q49. Obter a soma dos 12 primeiros termos da P.A. (6, 14 , 22 ,.. .).
Q50. Obter a soma dos n elementos iniciais da sequˆencia: ( 1 − n n
2 − n n
3 − n n
Q51. Determinar a P.A. em que o vig´esimo termo ´e 2 e a soma dos 50 termos iniciais ´e 650.
Q52. Qual ´e o 23o.^ elemento da P.A. de raz˜ao 3 em que a soma dos 30 termos iniciais ´e 255?
Q53. Quantos termos devem ser somados na P.A. (− 5 , − 1 , 3 ,.. .) a partir do 1o.^ termo, para que a soma seja 1590?
Q54. Qual ´e o n´umero m´ınimo de termos que se deve somar na P.A. (13, 454 , 192 ,.. .) a partir
