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8ª Edição – 2013
PROCESSO DE CROSS
1-Introdução
O processo de cross foi idealizado e desenvolvido por Hardy-Cross em 1930 e
introduzido no Brasil pelo professor Cândido Holanda de Lima em 1941.
É um processo destinado a resolver estruturas hiperestáticas (vigas contínuas e
pórticos) por meio de aproximações sucessivas e de fácil execução por envolver
somente as quatro operações fundamentais.
Vejamos alguns conceitos necessários ao seu desenvolvimento.
2-Coeficiente de rigidez
Seja a barra monoengastada AB abaixo:
MA
Sendo MA um momento aplicado em A e ΘA a rotação provocada neste apoio,
chamamos coeficiente de rigidez, KBA a relação:
Valores usuais dos coeficientes de rigidez
Barra monoengastada
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Barra biengastada
Onde:
E = módulo de elasticidade do material constituinte da barra
I = Momento de inércia baricêntrico
EI = Rigidez a flexão
3-Coeficiente de distribuição
Chama-se coeficiente de distribuição d a parcela de contribuição de uma barra
qualquer ligada a um nó, a fim de equilibrá-lo sob o efeito de um momento externo M.
ΣK
K
d =
4-Concepção do processo
Seja o nó A ligado às barras retas AB , AC e AD , submetida a um momento M :
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Levando 4 em 3 temos:
M d M ΣK
K
AB
AB MAB =− × = ×
M d M ΣK
K
AC
AC MAC =− × = ×
M d M ΣK
K
AD
AD MAD =− × = ×
Os valores ΣK
K
− são chamados de coeficientes de distribuição, (geralmente
colocados sem o sinal negativo nos quadros de cálculo).
A concepção do processo de Cross pode ser explicada da seguinte maneira:
“O momento atuante M se equilibra pelo aparecimento do momento
resistente –M , que apareceu nas barras que concorrem no nó A , dividindo-se
proporcionalmente à rigidez de cada uma delas L
EI
.”
Deve-se notar que a soma dos coeficientes de distribuição das barras que
concorrem em um nó será:
ΣK
ΣK
ΣK
K
Σd = Σ = =
5-Convenção de Grinter
Adota-se a seguinte convenção de sinais para os momentos que as barras
introduzem nos nós:
“O momento será positiva quando tende a girar o nó no sentido horário e
negativos em caso contrário.”
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6-Aplicação numérica detalhada
Resolver a viga contínua pelo processo de Cross, traçando os diagramas de
cortantes e fletores. Considerar duas casas decimais.
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Verificação de equilíbrio:
ΣRv =RA +RB+RC=1,25+7,50+3,25= 12t
ΣCA = 1 x 4 + 2 x 4 =12t (Ok)
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7- Roteiro para resolução de viga contínua de dois vãos pelo processo de
Cross.
A) Considerar todo apoio intermediário engastamento perfeito; apoio B na figura
acima
B) Calcular os coeficiente de rigidez K :
Na figura acima:
“ Observar o valor de EI em cada vão ”
C) Calcular ΣΣΣΣ K e posicioná-la debaixo do apoio B.
D) Calcular os coeficientes de distribuição d.
ΣK
K
d =
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J) Cálculo de V 0 (V0(p) e V0(P) ) reação de apoio das cargas atuantes, considerando
vigas isostáticas em separado, vão à vão, de acordo com o tipo de
carregamento:
K) Calcular (V0(T)) : V0(T) = V0(p) + V0(P)
L) Cálculo de ∆V0 ( Reação de apoio devido aos momentos obtidos no processo “ X ” ):
∆V 0 = XB – XA XB > XA em módulo
L
“Observar que o sinal “ – “ deverá ser colocado debaixo do menor X em módulo em
cada vão.”
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M) Cálculo de V ( Força Cortante): V = V0(T) + ∆V 0 (Soma algébrica)
N) Cálculo de R ( Reação de Apoio): R = ΣV
O) Diagrama de força cortante ( D.F.C.).
P) Diagrama de Momento Fletor ( D.M.F.).
“Observar a análise dos sinais dos momentos “X”.
Q) Verificar o equilíbrio = ΣRV = ΣCA
ΣRV = Soma das reações verticais.
ΣCA = Soma das cargas atuantes.
8-Aplicações numéricas. Vigas de dois vãos: Exercícios propostos.
8.1 – Página 12
8.2 – Página 13
8.3 – Página 14
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tm
pl x 10 , 56 12
= − (CB)= = =
e (BC)
e M M
tm
pl x 8 , 32 8
(CD)= = =
e M
(DC)=^0
e M
tm
pl x 3 , 13 8
= − (BA)= = =
e (AB)
e M M
tm
x x
l
Pab 5 , 22 6 , 5 ²
(BC)= = =
e M
tm
x x
l
Pa b 4 , 47 6 , 5 ²
(CB)=− =− =−
e M
tm
Pl x x 4 , 54 16
(CD)= = =
e M
(DC)=^0
e M
tm
pl x 5 , 21 12
= − (BA) = = =
e (AB)
e M M
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Na figura acima:
“ Observar o valor de EI em cada vão ”
C) Calcular ΣΣΣΣ K e posicioná-la debaixo dos apoios B e C.
D) Calcular os coeficientes de distribuição d.
ΣK
K
d =
“ Observar que dBA+ dBC=1,00 e que dCB + dCD=1,00 na figura acima.”
E) Marcar a convenção de Grinter.
Na figura acima:
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F) Calcular (^) (p)
e e M (M carga distribuída e (^) (P)
e M carga concentrada) e
(P)
e (p)
e (T)
e M = M +M , consultando a tabela, sem levar em consideração os
sinais. Considerar apenas a conversão marcada no item anterior.
“ Observar que o apoio fixo ou móvel tem
e M = 0”
G) Calcular M (MB eMc): Soma-se algebricamente os
e M à esquerda e à direita
do apoio B e C.
H) Uma vez obtido o desequilíbrio dos apoios B e C (M B e M C), efetuar a
operação – d. M (observar o sinal “ - ”), a fim de equilibrá-los. Equilibrados os
apoios B e C, transmitidos as influências dos equilíbrios à direita de B e à
esquerda de C, repetindo as operações, até que a 2ª casa decimal zere.
“Observar se há engastes nas extremidades A e D e também transmitir as
influências dos equilíbrios obtidos.”
I) Soma-se a partir de (^) (T)
e M , um debaixo do outro, algebricamente todos os
valores de - d.M e as metades transmitidas para se obter XB e XC (momentos
nos apoios ou momentos hiperestáticos). Marcar os momentos conforme os
sentidos de Grinter
