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PROBLEMA DE TRANSPORTE: MODELO
E MÉTODO DE SOLUÇÃO
Luciano Pereira Magalhães - 8º - noite lpmag2@hotmail.com Orientador: Prof Gustavo Campos Menezes Banca Examinadora: Prof Reinaldo Sá Fortes, Prof Eduardo Bhering, Prof Gustavo Campos Menezes UNIVERSIDADE PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS – UNIPAC FACULDADE DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO E COMUNICAÇÃO SOCIAL - FACICS
Resumo : O objetivo deste trabalho é apresentar modelos matemáticos para resolução do
problema de transporte, afim de determinar o carregamento de uma rede que possibilite minimizar o custo total do transporte.
1. Introdução
Com base em [3] e [4] ; no mundo de hoje, o avanço tecnológico, a globalização e o aumento constante da competitividade, entre outros fatores, tornam os problemas mais complexos em praticamente todas as áreas do mercado, obrigando as empresas a serem cada vez mais eficientes. Elas precisam cada vez mais rápido, decidir como disponibilizar seus produtos no local onde o mercado o exige, de forma a obter o máximo retorno com o mínimo custo possível, ou seja, precisam otimizar seus processos. Alguns problemas práticos de operação no cotidiano das empresas, como a análise de decisões que se preocupa exatamente com a avaliação de alternativas para "escolher a melhor solução dentre as finitas maneiras de realizá-la", ou seja, enumerar as soluções possíveis e escolher a melhor. Durante o processo geral de produção, comercialização e distribuição de um determinado produto, as empresas devem cumprir com os prazos de entrega estabelecidos, para que não venha trazer insatisfação nos clientes e com isso perda de mercado. A programação linear é um dos recursos matemáticos usados para maximizar ou minimizar funções lineares sujeita a algumas restrições pré-determinadas, e está intimamente direcionada para a resolução de situações complexas. Por meio dela, poderemos escolher a melhor alternativa, consideradas as variáveis para a obtenção de um resultado previamente
definido.
1.1 Formas de Programas Lineares
O modelo a seguir extraido de [10] apresenta uma forma geral de problemas de programação linear. O problema de Programação Linear esta direcionado para a resolução de situações complexas com inúmeras variáveis, mas com objetivos definidos. A Programação Matemática consiste na determinação do valor de n variáveis X1 , X 2 ,... , Xn
que tornam mínimo ou máximo, dependendo do objetivo, valor da funcão: f ( x 1 ,
x 2 ,... , xn )
sujeito a m restrições
gi ( x 1 , x 2 ,... , xn ) ≥ bi, i = 1 , 2 ,... ,m
podendo ainda ter-se xj ≥ 0 , j = 1 , 2 ,... , n. Em programação linear quando as restrições de um modelo são apresentadas na forma de inequações, diz-se que esse modelo está na Forma Canônica: Minimize Z = C 1X1 + C2X2 +****... + C nXn Sujeito à restrições: a 11 X 1 + a 12 X 2 +****... + a 1 nXn ≥ b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 +****... + a 2 nXn ≥ b 2 . . . am 1 X 1 + am 2 X 2 +****... + amnXn ≥ b 2 Função a minimizar: função objetivo. Inequações: restrições. Conjunto de soluções que satisfazem as restrições: soluções admissíveis. Solução admissível que minimiza a função objetivo: solução otima. Coeficientes C j : coeficientes de custo. Coeficientes aij : coeficientes tecnológicos. Coeficientes bi : termos independentes.
FIGURA 1 Sistema de transporte com três fontes e três destinos
2. Formulação Matemática do Problema
Com base no livro [1] e [4] podemos dizer que, o objetivo do problema é determinar o número de unidades que devem ser transportadas de cada fonte para cada destino de maneira a minimizar o custo total de transporte. Para conseguir atingir os resultados esperados o modelo será formulado com base na função objetivo abaixo, que é de fundamental importância para resolução do problema:
Minimizar Z =
Onde: Z = Custo total de transporte; Cij = Custo de transporte do produto que vai da fonte i para o destino j ; X ij = Representa o número de unidades a serem transportadas da fonte i para o destino j ; sendo:
obedecendo às seguintes restrições:
- o número total de unidades transportadas, a partir da fonte i, deve ser igual à capacidade de fornecimento a i da fonte:
- O número de unidades transportadas para o destino j , deve ser igual à sua capacidade de absorção bj :
Para que o problema seja possível de ser resolvido é necessário que a quantidade de produtos a ser transportada da fonte seja igual à que chega aos destinos, ou seja,
3. Aplicação Pratica do Problema de Transporte
Vejamos o exemplo a seguir extraido de [9]. Suponhamos que uma empresa possui dois armazéns A 1 e A 2 com 100 e 50 unidades de um determinado produto, a qual deve ser transportado para três mercados M 1, M 2 e M 3 que consomem respectivamente 80, 30 e 40 unidades. Além disso os custos de transporte dos armazéns Ai para os mercados Mj são dados pela TABELA 1 abaixo:
M 1 M 2 M 3
A 1 5 3 2
A 2 4 2 1
TABELA 1 - Custos de transporte O grafo que representa este problema é a FIGURA 2 abaixo, sistema de transporte com duas fontes e três destinos:
FIGURA 2 - Sistema de transporte com duas fontes e três destinos A formulação matemática deste problema é a seguinte: Minimizar Z = 5. x 11 + 3. x 12 + 2. x 13 + 4. x 21 + 2. x 22 + 1. x 23 ;
inicial de menor custo total. O procedimento é o seguinte:
- Atribuir o maior valor possível à variável que tenha o menor custo de transporte e cortar a linha ou coluna satisfeita. No exemplo acima, devemos fazer X23 = 40, já que C23 = 1, eliminando-se a terceira coluna da demanda, que se encontra satisfeita.
- Ajustar os elementos da linha ou coluna não ajustada, a partir da variável que tem o menor custo. Assim, no exemplo, temos que fazer X22 = 10, já que C22 = 2, o que satisfaz a segunda linha da oferta.
- Repetir o processo para as variáveis que tenham outros custos, em ordem crescente. Sendo assim, devemos fazer X 12 = 20, já que C 12 = 3, eliminando a segunda coluna da demanda e ajustando a primeira linha com o valor X 11 = 80, completando o quadro. Vejamos como fica a TABELA 2 ao aplicarmos o método do custo minimo:
Solução esta representada abaixo pela TABELA 3: x11 = 80 , x12 = 20 , x22 = 10 , x23 = 40 x13 = 0, x21 = 0 Z = 805 + 203 + 02 + 04 + 102 + 401 = 520
Origens
Destinos Oferta 1 2 3 1
5 80
3 20
2 nb (^) 100 2
4 nb
2 10
1 (^40) 50 Demanda 80 30 40 TABELA 3 Nota-se que as variáveis X21 e x13 assumem valor nulo, ou seja, elas não fazem parte da expressão e são ditas variáveis não básicas(nb). Facilmente se constata neste quadro que as somas dos valores das variáveis em cada linha (coluna) são iguais ao valor de oferta (procura) referente a essa linha (coluna). Isto significa que a solução dada neste quadro satisfaz as relações de igualdade do problema de transportes.Como além disso todos os valores das variáveis são não negativos, trata-se de
uma solução admissível do problema.
3.1.2 Método do Canto Noroeste
Veremos abaixo os procedimentos que são realizados pelo método do canto noroeste para obtenção da solução básica inicial: Começa-se por dar um valor não negativo à variável situada na entrada a noroeste ( x 11). Este valor é atribuido de modo a não violar nenhuma das restrições de igualdade e ao mesmo tempo esgotar uma das ofertas ou procura. Assim x 11 = min {a 1 , b 1 } Primeiro Caso: Se a 1 < b 1. A oferta na linha 1 é esgotada, mas a procura na coluna 1 fica por satisfazer e terá o valor b 1 - a 1. Portanto todas as variáveis dessa linha serão nulas (não básicas) e essa linha deixa de ser considerada. Segundo Caso: Se b 1 < a 1. É a situação inversa da anterior. A procura na coluna 1 é esgotada enquanto a linha 1 passa a ter uma oferta de a 1 - b 1. A coluna 1 deixa de ser considerada em futuros desenvolvimentos, ou seja, as restantes variáveis dessa coluna são não básicas com valor nulo. Terceiro Caso: Se a 1 = b 1. Neste caso tanto a oferta quanto a procura são esgotadas. Este tipo de processo é repetido até que m + n - 1 iterações conduzirão a uma solução básica admissível. Vamos aplicar o método do canto noroeste ao nosso exemplo: x 11 = min { 80 , 100 } = 80 e esgota-se a procura na coluna 1. Então a outra variável dessa coluna, x 21 será nula e não básica. A oferta na linha 1 passará a ser 100 - 80 = 20. Portanto após a primeira iteração teremos a TABELA 4 abaixo:
Origens
Destinos Oferta 1 2 3 1
5 80
3 2 20 2
4 nb
2 1 50 Demanda 0 30 40 TABELA 4 - Após primeira iteração
5 80
3 20
2 nb (^) 0 2
4 nb
2 10
1 (^40) 0 Demanda 0 0 0 TABELA 7 – Após a quarta iteração por coincidência corresponde à mesma solução admissível encontrada pelo método do custo minímo que apresentamos anteriormente.
3.2 Obtenção Da Solução Ótima
O método a seguir foi extraido do livro [2]. Para testar a otimização da solução encontrada e determinar a variável que deve entrar na base, caso exista alguma, vamos utilizar o seguinte método:
- Método dos Multiplicadores
Primeiro passo: Definir as variáveis Ui e Vj
- A cada fonte i è associada uma variável Ui.
- A cada destino j é associada uma variável Vj. Para o exemplo teremos: u1, u2, v1, v2, v Segundo passo: Desenvolver as equações
- A cada variável básica Xij da solução inicial, deve-se associar a seguinte equação: ui + vj = cij Para o exemplo teremos: para x11: u1 + v1 = 5; para x12: u1 + v2 = 3; para x22: u2 + v2 = 2; para x23: u2 + v3 = 1; Para resolver o sistema, devemos tomar uma variável qualquer e igualá-la a zero, fazendo u1 = 0, encontramos: u1 = 0, v1 = 5, v2 = 3, u2 = -1, v3 = 2
Terceiro passo: Encontrar o ganho ou perda de inserir uma varíavel não básica (não incorporada à solução) na base
- A cada variável não básica(xij) deve-se calcular: Pij = Cij – ui – vj;
- Se Pij ≥ 0 a solução é ótima.
- Se Pij < 0 a solução não é ótima, ou seja, existe outra melhor. para o exemplo teremos: Para x21: P21 = 4 + 1 - 5 = 0 Para x13: P13 = 2 + 0 +2 = 4 Como não há avaliação negativa, a solução é ótima, entretanto a avaliação de x21 é nula, existe outra solução ótima.
4. Conclusão
O modelo apresentado neste trabalho é de fundamental importância para resolução de problemas reais, muito frequente e de enorme aplicação no processo de distribuição dos produtos que são comercializados por parte das empresas(fabricas e consumidor) envolvidas, oferecendo um retorno desejável tanto para o cliente quanto para a empresa. A otimização de custos e recursos, voltado ao atendimento dos requerimentos dos clientes cria diferenciais para empresas com relação aos concorrentes aliado a rápidos retornos de investimento. O modelo pode ser expandido para um quantidade maior de fontes, destinos e rotas, visando encontrar rotas alternativas e tornando o problema a ser resolvido mais flexível. Com auxilio do processamento computacional podemos rapidamente encontrar soluções viáveis e testar se elas são ótimas, podendo até mesmo acarretar um aumento da competitividade da empresa frente a outras. Algumas ferramentas(softwares) que podem ser utilizadas para resolver o problema de transporte estão descritas abaixo e podem ser encontradas em http:// geocities.yahoo.com.br/algomesjr2004:
- LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer) é uma conveniente, mas poderosa ferramenta para resolver Problemas de Programação linear, inteira e quadrática.
