Probabilidade
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PROBABILIDADE(resumo completo com exemplos), Notas de estudo de Probabilidade
Neste documento temos os principais tópicos de Probabilidade para ensino superior com exemplos e exercícios.O material foi feito a partir de aulas teóricas da disciplina 0303200-Probabilidade da Escola Politécnica da USP e também do livro texto da disciplina “Probabilidade:Um curso introdutório” de Carlos Dantas.Dentre os tópicos presentes nas notas estão: 1.Noções Básicas de Probabilidade(Experimentos aleatórios,Espaço amostral e eventos) 2.Definições de Probabilidade 3.Técnicas de Contagem 4.Probabilidade Condicional,Regra da Multiplicação e Independência 5.Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade 6.Esperança e Variância 7.Funções de variáveis aleatórias discretas 8.Covariância e Correlação 9.Distribuições contínuas(Uniforme,exponencial e normal)
Tipologia: Notas de estudo
2025
1 / 14
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Probabilidade
AULA
Probabilidade
1..
Noções
básicas de Probabilidade
- 1
Experimentos
aleatórios
· São
experimentos
que
ao serem
repetidos
nas mesmas
condições
S
produzem resultados
diferentes I
↑
* Determinísticos
produzem
o mesmo resultado
.
- 2
Espaço
amontral e Evento
Espaço
amoltral
é um
conjunto
s
,
cujos
elementos
não
chamados
de
eventos
. Cada
vez
que
um
experimento
é realizado 1 e SOMENTE
1 evento
poderá
ocorrer
.
Ex .
2
. 1
Ao
lançarmos
um dado o
espaço
amostral é o
conjunto
S
= [
,
2
3
,
,
5
.
63
Ex .
1 .
2 .
2 uma moeda é
lançada
duas vezes sobre uma
super-
fície
plana
. Em cada um
dos
lançamentos pode
ocorrer
cara (c) ou coroa
.
O
espaço
amostral é o
conjunto
:
S
=
[C
, C ,
[2]
·
Nos
Exemplos
acima
S é
finito
porem
ele
pode
ser
infinito
.
Inno ocorre
quando
o
experimento apresenta
condições
para
terminar.
S
correnEmepaolamostrar
infinito
podemo colocar
ol
eventoee se
portanto
ele
é
infinito porém
enumerável .
Ex.
.
2 .
3
Ao considerar
o número de
chamadas
telefônicas
que
chegam
a uma
central
durante um determinado intervalo de
tempo
.O
espaço
amontral
é o
conjunto
S
: [
,
1
,
2
,
3
,
... 3
Ex .
4 Ao observar o
tempo
de
vida de uma
lâmpada
,
temos
que
o
espaço
amontral
é o
conjunto
dos reais
não
negativos
ou
seja
: S
=
[X : X R
,
x 03
·
O
exemplo
1
. 2 . 3
é um
exemplo
de
espaço
amontral
infinito
corém enumerável
. O
exemplo
2 .
é
um
caso
de
espaço
amostral
I
infinito
e
não enumerável .
·
Exemplos
com
aplicação
:
EXEMPLO 3
n
=
52 Cartal
a P(reil
=
P
b)
(copan)
=
- P(reiU
copan)
=
P(rei) +
P(copan)
-Creincopan)
·
· Exercicion :
a
. R
= 2
b. PLAUB)
=
(cara
,
caral
C . (a)
= 1
2) n
= 65 1
,
2
,
3
,
,
,
63
a
.
p(
=
2
=
4
b
.AUB)
:
·.
PlanB)
=3.
n
= 10
a P(verde)
1
b) Plazul)
=
1-
102
4) LINGUAGEM
SIMBÓLICA E PROPRIEDADES
P(e)
= 1 P(1)
= 0
,
6 P(B)
= 0
.
4 PanB)
= 0
.
2
P(AUB)
=
P(A) + P(B)
P(AB)
=
0
,
6 + 0
,
4
0
.
2
= 0
,
8
b
·
P(A1B)
=
,
4
= 0
,
16X
=
P(B)
P(AB)
[
Pa
0
,
,
6 - 02
=
,
87)1- P(ANB)
O
Probabilidade de
B ocorrer
quando
A
não
o corre
A união
dos
complementos pode
ser vista
como o
comple
mento da interseção
.
5) Problema de
prova
:
espaço
amostral não
óbvio
a
. P(Beatriz)
=
1
b. P(carion) =
3
C. IP(carlos)
3
2
6) Cartan e
complemento
a
.
P(figura
(copan)
= 13 P(AMB) =
52 52 52
[
b. ↑
(AVB)
=
1
115
Nx-1DX
= 2
a
. 2/
5
b
.
1/
PAUB)
=
P
(AUB)
=
Técnicas de
contagem
·
Multiplicação
: ne uma
tarefa pode
ser
feita
em
m etapas
,
com
Ni
,
na
,
...
um
opçõe
o
total
é
no
. 12
. · No
* Fatorial :
n
= n. (n -1) .....
&
Permutação
simples
(nem
repetição
: P(n)
= n(ordenar
nelemento
· Permutação com
repetição
:
P = No
S
N
N
S
·
Arranjorjordem
importal
: A(n
, p)
=
n
(n-p(
·
combinações
lordem não
importal
: (In
, pl
= n
8
p
.
(n
-p)
%
ExercicioS
- A(
,
=
Probabilidade Total
↑ (A)
D(AlB1). P(B)
+ P(AlBa). P(Be)
...
P(AlBn).
P(Bn)
#X : M = 30 % Mz = 50 % M = 20 % 3 P(defeito) = i Mildel = 1 % Melde) = 2
Molde)
5 %
(defeito = 0 . 3 . 0 , 01
- 0 , 5 . 0 , 02 + 0 ,
- 0 , 05 = 0 ,
Variáveis
Aleatória e Distribuições
de Probabilidade S
* Variável aleatória
contínua : É uma
variável
que pode assumir infiniton
valores
reais dentro de um intervalo.
Exemplo : tempo, altura , temperatura · 1 Diferente
dan variáveis discretas
(que tem
valores contáveis)
, nas
continuan a
probabilidade de um valor específico é zero. Exemplo : P(X =
,
=
- Função Densidade de
Probabilidade :
S · f paratodorea total do gráfico .
P(a =
X
(b)
= Sa f(x)dx
Função
Distribuição
acumulada : S S #(x) =
P(X[X)
Ela é
obtida
por
: F(x)
= 1 .% fltdt Exemplo : f(x) = 32xse0X 9 .p(0 = X =
= So f(x)dx = (02xdx o caso contrário P( = X (1) = (x = 1 E válida
engloba todo conjunto b . Calcule
P(
,
2X
,
,
2 X
,
= So2xX = (x)( = ( ,
( ,
= 0 .
C.
F(x)
/o
fitidt
/o
2tdt
(t))
X
limite inferior
temos
, F(x) = ( Le X
19 x 7
EXERCÍCIO 1
f(x)
=
(3x21e02x
O
Caso contrário
9
P(0 =
X (1)
= (03xdx
=
(x)/
=
1
é
uma
função
densidade
b.
P(
,
5[X1)
=
Sos
3XdX
=
(xs
=
(
10
,
,
C
P(x < 0
,
= F(x)
=
(
f(t)d
= (
3)(g
= 0
,
0156
EXERCÍCIO 2
a F(x)
=
(
f(t)d
=
Jo
3 dt
= (3) = X 0
=
x-
b
.
.
P(x[
,
=
F(x)
= X
=
,
=
0343
S
· P(
,
2X 10
,
= 10
,
97" - (
,
0
,
=
0
.
P
1 .
Esperança
- Variância
· Variável
aleatória
(V .
A
.) é uma
regra que
atribui números a
resultados
de um
experimento
aleatório .
Esperança
: a
esperança
ou valor
esperado
é
uma média
ponderada
don
valores
da variável
aleatória
,
levando em conta as
probabilidades
.
· Variávein discretar
: E(X)
=
Exi
. P(X
=
Xi)
você
multiplica
cada
valor
da
variável
pela
sua
probabilidade
e
comatudo .
(Ex :
dado
junto
E(X)
=
1
.
2
.
3
.
4
- 5
.
6
.
!
. Variávein continuan : E(X)
=
/
f(dx
> Você
integra
o
produto
de x
pela função
densidade de
probabilidade f(x)
.
Ex :
f(x)
= 2x
,
no
intervalo <
.
17 E
=S XXX
= (2xdx
=
:
Variância :
a variância mede o
quanto
on valores se
afastam
da
média
cesperança)
.
Quanto
maior a variância
,
main
"espalhados"
on valores
estão.
Var(x)
= E((X-
E(x)(2]
= Var(X)
= E(X
?
)
(E(x)]
. Or
seja
:
ra
Probabilidade
e
Calcula E(X)
:
para
isso
,
una X
P(X
=
X) (discreto) or
X
f(x)
contínuo
S
Depois
subtrai o
quadrado
da
esperança
.
= 2
Continuação
Uniforme
F(x)
= 0
,
X
S
X
,
0
= X
= 1
1
,
X-
↑
EXERCICIOS
EX. 1
Verifique
ne a
função
abaixo
é uma
f
.
d .
4
:
f(x)
=
(kx"02x42cano contrário
18kxdx
=
1
w(
!
Xdx
=>
k(x3))
.
=
=
> k
=
e
ra
função
é
fid
.
pre
Ki
3
2
=
P(
= X
=
=
?
P(12X(2)
=
S "
xdx
=
/, xdx
())
P(1x2)
= 4
.:
EX
.
Dada
a
fid
.
p
de
Ex. 1
,
calcule a
função
distribuição
S
acumulada
F(x)
.
:Sabemos
que
quando
limxex
F(x)
=
e
limxo
F(x)
então em
F(0)
=
0 e F(2)
=
2
:
F(x)
=
(
%
f(t)dt
=
/
tdt
=
3
:
Temos
,
F(x)
=
X
[
,
o
Is
X
Distribuiçõe
continuan
1
Distribuição uniforme
continua [r(a
,
b)]
- a variável aleatória X-ula
,
b)
tem uma
fid
.
p
constante
no
intervalo [a ,
b]
:
f(x)
=
lax
trário
Propriedaden
:
· E(X)
=
a
b ·
Var(x)
= (b
a)
F(x)
=
X
- a
,
a(X
b
2
12 b
a
Exemplo
:
XvV(
,
(a) Qual
f(x)
de
X? (b)
Calcule
P(X(4)
f(x)
=
(
X
P(x(4)
=
S
dX
==
0
o
cano contrário
(c)
Calcule
P(3[X = 5)
id)
Determine
F(x)
P(31X13)
=
dx
=
15-)
=
S
·
,
X
F(x)
:
2
,
2X
=
X
(e)
Calcule E(X)
e Var(X)
(x)
=
+b
Var(x)
=
Distribuição
Exponencial
[Exp(a)]
· Uma
distribuicao
exponencial
é
um
processo que
S
ocorre de
forma
aleatória e continua .
Ou
reja
o
processo
ocorre
de
forma
constante ao
longo
do
tempo
.
·
fdp
:
f(x)
=
(xexx
,
x
X
I
d é
o
parâmetro
de
taxa :
quanto
eventos ocorrem
por
unidade
de
tempo
(ex
: 2
chegadas
por
horal
·
FDA
: F(x)
=
P(X(x)
=
(tyex
dt
=
- e
x
E(x)
. Varix)
=
·
Exemplos
:
Seja
XIN(
,
,
ou
Reja
:
·
M
= 100
.
=
25
=
6
= 5
(a) Qual a
probabilidade
de X110?
· Panno 1
:
padronizar
: z
=
M
·
Passo 2
: consultar
a
tabela
:
P(z(2) = 0
.
5 + 0
,
4772
= 0
,
9772
Responta
: P(X(110) = 97
,
72 %
(b)
Qual
a
probabilidade
de
90 = X ?
·
Passo 1
:
padronizar
:
2010
=
100
·
Parla
: consultar a
tabela
:
P(z (1)
= 0
,
5
p( = z
=
=
0
,
5
- 0
,
3413
= 0
,
8413
4(z(
= 0
.
5
p(0z
=
=
0
,
5
0
,
4772
= 0
,
0228
· Subtrair : P(901X <105)
= 0
,
,
0228
=
0
.
8185
= 81
,
85 %
EXERCÍCIOS
Seja
X-V(
,
18). Calcule :
a)
P(X(6)
f(x)
=
(dx=
(62)
=
b)
(5[x[9)
=
(9dx
=
1
.
19-
d F(x)
=
(0xx
1
,
X
10
d) E(X)
=
=
1
Var(x)
=
O
tempo
de
vidaem anon) de um
equipamento
segue
XuExplo
,
X = 0
,
2 anos
f
.
d .
p
de
X
?
f(x)
=
[
,
22-
. X
XX
O
b) P(x)4)
= 1
- e
drX
a) E(x)
=
= se
Ver
d) P(X
<
=
1
- é 5 . 0
,
2
=
1
- e
I