Baixe probabilidade mario azocar e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Teoria Ejemplos Resueltos (60) Ejercicios Propuestos | (100) Anexo: Combinatoria Ing. Mario Raúl Azocar (Master of Science - New York University - New York) PROBABILIDADES 4.1 INTRODUCCIÓN Los primeros estudios sobre probabilidades tuvieron su origen en algunos problemas implícitos en juegos de azar. En el sigio diecisiete un entusiasta jugador de dados y naipes, el sefior Chevalier de Mére, consultó a Blaise Pascal (1623-1662) sobre algunas inquietudes técnicas referentes a juegos de dados. Esta consulta motivó una correspondencia sobre el tema, entre Pascal y Pierre Fernat (1601-1665). Los historiadores de la matemática están generalmente de acuerdo en considerar este hecho como el origen del estudio de las probabilidades. Las ideas de probabilidades permanecen circunscritas a los problemas de juegos de azar hasta que Pierre Laplace (1749-1827) y Friedrich Gauss (1777- 1855) hacen notar que las teorias desarroltadas son aplicables también a otras actividades diferentes de los juegos de azar. En el afio 1900, durante el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París , el doctor David Hilbert (1826-1943) sefialó como uno de los problemas matemáticos más importantes: la necesidad de una rigurosa fundamentación de los conceptos básicos del cálculo de probabilidades. De esta tarea se preocuparon muchos matemáticos, pero fue Andrei Nikolaevich Kolmogorov (matemático soviético, nacido en 1903) quien en 1933 publicó una teoria axiomática del cálculo de probabilidades basada en la teoria de la medida desarrollada por H. Lebesgue (1875-1941) a principios de síglo veinte. () y () anteriormente sefialados. Estos experimentos de resuitado único se ilaman deterministicos, deseando expresar con esta denominación, que es posible predecir su resultado. Además de estos experimentos determinísticos hay otros cuyo resultado varia aún cuando las condiciones en que se realiza permanezcan invariables. Entre ellos podemos mencionar: a.- Lanzamiento de un dado. b.- Estatura de una persona tomada arbitrariamente en un grupo dado. c- Número de artículos defectuosos que produce una máquina en 8 horas de trabajo. Estos experimentos que ejecutados en las mismas condiciones dan resultados diferentes se llaman experimentos aleatorios. Por ejemplo al lanzar un dado puede salir cualquiera de los números; 1, 2,3,4,5,0 6 y realmente no se sabe cual de ellos saldrá hasta no ejecutar el experimento. Resumiendo lo dicho sobre experimento determinístico y aleatorio, podemos expresar: Si S es el conjunto de los resultados de un experimento, éste es un aleatorio si y sofo si S tiene más de un elemento. Contrariamente si S tiene un solo elemento el experimento correspondiente se llama determinístico. De especial importancia en el cálculo de probabilidades es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, por eilo tomaremos la definición siguiente: DEFINICIÓN 1.4. Se flama espacio muestra de un experimento aleatorio al conjunto S de todos sus resultados. Ejemplo 1.1 Consideremos el experimento aleatorio: lanzo una moneda. Su espacio muestra es: S = (cara, sello) = (c, s) Ejempio 1.2 Consideremos et experimento afeatorio: tomo arbitrariamente un punto en el círculo: + y?
el número que da at dado azul, entonces: S=((4x)/X=1,2,3,4,5,6yx=1,2,3,4,5,6) Tomando el experimento: lanzo un dado, podemos estar interesados en obtener resultados tales como: a) Sacar as: (f) b) Sacar un número par: (2, 4, 6) c) Sacar un número divisible por 3: (3, 6) Estos resultados esperados son sub-conjuntos del espacio muestra: S=(1,2,3,4,5,6) suceso, pues si S = R hay sub-conjuntos de R que no son medibies y por lo tanto no se puede definir para elios ta noción de probabilidad. Cuando el espacio S sea infinito (no numerable) tomaremos como S' un conjunto de sub-conjuntos de S que aceptaremos verificar las hipótesis siguientes: a- DeSt b.- Para todo suceso A de S*, su complemento respecto de S. O sea: Aº=S- Atambién es elemento de S*, o sea: AesS* implica A test c.- Para cualquiera sucesión: Ay, Az, Aki de elementos de S*, también es elemento de S* el conjunto: AU AU As. Una colección de conjuntos que verifica las condiciones: (a), (b) y (c) se conoce en álgebra abstracta con el nombre de: sigma-álgebra. Veamos ahora algunas propiedades inmediatas del sigma-álgebra : S* TEOREMA 1.1 El espacio muestra S de un experimento aleatorio pertenece a: S*,o sea: Ses Dm: De inmediato como: DeStenemos:Dº=SesS TEOREMA 1.2 Si Ar Ap Às ci , An es un conjunto finito de elementos de S, también es elemento de S' e! conjunto: k=n MAUA UAU... um=[Vajes Dm. Como S, definamos: Ane = Am2 E ui =9 Y entonces Us, = UA, es n=1 nel TEOREMA 1.3 SI As, Ap io Ap es una sucesión de elementos de S*, también es elemento de S*el conjunto: (hs) s k=] Dm. 1º AesS > A4es Açes > Uges » Qg4es - (04) es n=l pero Us n=1 ATT ; —— n AT, 3: >: E — DS ] D» Es Si con D designamos el acontecimiento sale a lo menos tres caras. Como este hecho es imposible, tomamos: D=Des* Finalmente tomaremos la siguiente definición: DEFINICIÓN 1.4 Dado un espacio medible (S, S*) se lama acontecimiento simple (elemental) todo elemento: w e S. Ejemplo 1.6 En el experimento lanzo una moneda, tenemos: S=l(es) Donde: (c) y (s) son acontecimientos simples o elementales. DEFINICIÓN 1.5 Todo acontecimiento no simple se dirá compuesto. Ejemplo 1.7 En el experimento: lanzo un dado se tiene: S=(1,2,3,4,5,6) Y son entre otros acontecimientos compuestos, los acontecimientos: A= Sale un número par: 42,4,6Je S B= Sale un número divisible por 3:(3, 6) e S' DEFINICIÓN: 1.6 Un acontecimento A e S' ocurre si y solo si uno de sus elementos aparece como resultado del experimento. Dicho de otra manera, si À se compone de los elementos acontecimientos simples Wi : 10 AS Wi, Wo, W3, is Wi) El suceso A ocurre si y solo si: w e À es resultado del experimento. Si el resultado del experimento es wo y Wo € À, diremos que A no ocurre. Ejemplo 1.8 En el ejemplo 1.7 el acontecimiento A = sale un número par = (2,4,6) ocurre si al lanzar el dado se obtiene como resultado uno de los números: 2, 4, 6. Ejemplo 1.9 En el ejemplo 1.3 donde se lanza dos dados, uno rojo y el otro azul, consideremos ei suceso: A = la suma de los números obtenidos es 7. Entonces: A=((1,6). (2,5), (3,4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) Y el acontecimiento A ocurre si los dados presentan, al ser lanzados, uno cualquiera de los elementos de A. 1.3 ALGEBRA DE SUCESOS. Más adelante, y con motivo de las aplicaciones de la probabilidad, será necesario expresar las proposiciones del lenguaje ordinario, mediante un lenguaje matemático. De aquí la necesidad de introducir una simbologia apropiada a estos fines. Como los sucesos o acontecimientos son conjuntos, el lenguaje matemático natural que aparece como indicado es la simbologia del álgebra de Boole, es decir la simbologia usual de! Álgebra de Conjuntos. 12 Respecto al simbolismo intesección de conjuntos, es bien sabido que: () AnB=G AnAFA; AnS=A (i) AnB=BnA Gi) (AnNBIAC=AN(BAC) Si Ay, Ag, ci Ab ue son sucesos de un espacio medible (S, S%), Nas (n finito o no) el suceso que ocurre si y solo si ocurre cada uno de los A. En un espacio medible (S, Ss) dos acontecimientos A y B se dirán excluyentes o incompatibles si: AnB=9 Con elo deseamos expresar que la ocurrencia simultánea de ambos es imposible, o sea, si ocurre À no ocurre B y contrariamente si ocurre B no ocurre À. En un espacio medible (S, S*) diremos que un suceso A implica el suceso B, si y solo si: al ocurrir A debe necesariamente ocurrir B. Esta implicancia la expresaremos por AcB Pues si w es un resultado del experimento, como: we A y AcB: > wesB. 10.- 13 Respecto a esta noción de implicancia, desde el álgebra de conjuntos se sabe que: (i) AcBaBcCentonces: Ac Cl (ii) GcÃcS (ii) AnBcAcAUB En un espacio medible (S, S), dados dos sucesos A y B, el acontecimiento ocurre A y no ocurre B, to expresaremos por: AnBº Dados dos sucesos A y B de un espacio medible (S, Ss) e! acontecimiento: ocurre À o B pero no ambos lo expresaremos por: ANB=(ANBº) U (BnAº) Terminaremos estas ideas sefialando que con la introducción de las definiciones precedentes hemos logrado construir una álgebra de sucesos que es isomorfa con e! álgebra de conjuntos. 1.- En efecto recordamos que en álgebra de conjuntos esta formada por un conjunto S de elementos y dos operaciones: Unión e intersección en S, tales que: AUB=BUA AU(BUC)=(AUBJUC AU(BAC)=(AUB)A(AUC) An(BUC)=(ANB)JU(ANC) Existe: 2y Q en S tales que: AnB=BnA An(BnC)=(AnB)nC 15 DEFINICIÓN 1.9 Sea P(*) una probabilidad definida en el espacio medible (S,S*) y A un suceso. El número P(A) será la probabilidad de ocurrencia del acontecimiento A. DEFINICIÓN 1.10 Un espacio de probabilidades es una terna (S, S*, P) donde (S, S*) es un espacio medible y P una probabilidad definida en él. Partiendo de la axiomática de la probabilidad obtendremos algunos resultados importantes. TEOREMA 1.5 En todo espacio de probabilidades (S, S', P) se tiene: P(2)=0 Dm. 1º Consideremos la sucesión de acontecimientos mutuamente excluyentes definida por: A=s y Ap= Ag AgES a =0 Entonces por el axioma (A3), tenemos: Aa) - Era) PS) = P(A) + x P(2) im 16 P(S)=P(S)+ 5 P(9) Fes luego: > P(o)=0 ia y como: P(2) > 0, concluimos que: P(g)=0 TEOREMA 1.6 En todo espacio de probabilidades (S, S*, P) para cada conjunto finito (A;) de n acontecimientos excluyentes, se tiene: 0n,)- Sets) Dm. 1º Tomaremos en S*, además de los sucesos: Ay, Ag - Ay, los acontecimientos: Apm = Amz= Ang =. = Se tiene así, una sucesión infinita de acontecimientos excluyentes. 2º De acuerdo al axioma (A3), tenemos: n TUA) = (Ds, =SP(s)=5 P(a,)) = fo TEOREMA 1.7 En todo espacio de probabilidades (S, S', P) y para cada suceso À, se tiene: PAJ=1-P(A) A PAJ=1-P(A) 18 Dm. Como loa A; constituyen una partición de S, resulta de inmediato que: 2a) : (UA) =P(S)=1 Ejemplo 1.12 Para et ejemplo anterior del fanzamiento de un dado, se tendrá: , P(w,) =1 a 1 si suponemos el dado no cargado, se tendrá: P(wi) = Plwa) =... =P(w)=zp De donde: 6p=1y p=P(we)= 1/6 Ejemplo 1.13 En el experimento: lanzo una moneda, los acontecimientos (c) y (s) constituyen una partición del espacio muestra: S = (c, s), luego: P(o)+P(s)=1 Ahora si la moneda no está cargada, se tendrá: P(c) = P(s), luego: P(c) = P(s) = “4. Teorema 1.9 En un espacio de probabilidades (S, S,PjsiAc B, entonces: P(A) < P(B) 19 Dm. 1º Tenemos: B=BnS=-BA(AUA?) luego: 2 B=(BAAU(BOAS) pe Pd! L N PAD 2º Como: Ac B, tenemos: BnA=A / TA X Po 1) A , N rd luego: 5 Ci B=AU(BOA?) 3º Como los sucesos: A y (B n A?) son excluyentes, resulta: PB=P(A)+PMBnAS Y como: P(B n A?) > 0, tenemos: P(B) > P(A) TN / Corolario. SiADB, entonces P(A — B) = P(A) — P(B) rá PO TEOREMA 1.10 | En todo espacio de probabilidades (S, S*, P) para cada suceso S, se tiene: O0 vAes 2º Como siempre: Ac: S, resulta: 
