Distribuição Gama: Conceitos, Propriedades e Aplicações em Probabilidade II, Notas de estudo de Probabilidade

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Probabilidade II

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Distribuição Gama

Distribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de Probabilidade

A variável aleatória contínua X tem distribuição gama quando sua função densidade de probabilidade é dada por:

x

x

( ) 0 ,

( )^1 ,

=

Γ

= − −

f x

f x x α e^ β x

α α

β

NOTAÇÃO:

X~Gama(α,β)

Distribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de Probabilidade 1

Onde α é o parâmetro de forma (α > 0) e β é o parâmetro de escala (β > 0).

Observação: Quando α = 1, tem-se a distribuição exponencial. Quando α= n/2, n inteiro e β=1/2, tem-se distribução qui- quadrado com n graus de liberdade.

f ( x )= 0 ,

Esperança, Variância e F.G.M.

Distribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de Probabilidade

Há uma relação estreita entre a distribuição exponencial e a distribuição gama.

Se α = 1 a distribuição gama se reduz à distribuição exponencial.

Isso segue da definição geral de que se a variável aleatória X é a

Distribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de Probabilidade 1

Isso segue da definição geral de que se a variável aleatória X é a soma de α variáveis aleatórias independentes, distribuídas exponencialmente cada uma com parâmetro β, então X tem uma densidade Gama com parâmetros α e β.

Vamos obter então a esperança, variância e função geradora de momentos da distribuição gama, através dessa relação com a distribuição exponencial.

Esperança, Variância e F.G.M

Distribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de Probabilidade

Seja Yi∼Exp(β), com i=1,...,α sendo α inteiro positivo.

Considerando os Yi´s independentes, temos que X=Y 1 +Y 2 +...+Yα.

∑ ∑ ∑ = = =

α α α β

α 1 1 1 β

i i

i i

EX E Y i EY

Distribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de ProbabilidadeDistribuições Contínuas de Probabilidade 1

∑ ∑ ∑ i = 1 i = 1 i = 1 β^ β

∑ ∑ ∑ = = =

α α α β

α 1 1 1 β^22

i i i i

Var X Var Yi VarY

∏ ∏ ∏ = = =

α α α α β

β β

β 1 1 1

j j j

M (^) X t MXj t t t

RELAÇÃO ENTRE AS DISTRIBUIÇÕES POISSON E GAMA:

Teorema 7.1: Se o número de ocorrências de um processo de contagem segue

distribuição de Poisson( λ ), então a variável aleatória "Tempo até a n-ésima

ocorrência" do referido processo tem distribuição Gama(n, λ ).

Exemplo 1: As falhas em CPU’s de computadores usualmente são modeladas por processos de Poisson. Isso porque, tipicamente, as falhas não são causadas

por desgaste, mas por eventos externos ao sistema. Assuma que as unidades que falham sejam imediatamente reparadas e que o número médio de falhas por

hora seja 0, 0001. Determine as probabilidades de que:

a) o tempo entre falhas sucessivas exceda 10.000 horas; b) o tempo até a quarta falha exceda 40.000 horas; c) ocorram mais qe 3 falhas em 20.000 horas.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3: Mostre que a função densidade de uma variável aleatória gama satisfaz as condições de uma função densidade.

Exemplo 5: Encontre a Esperança e a Variância da distribuição gama, utilizando a definição de valor esperado.