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Introdução à Probabilidade: Conceitos Básicos e Distribuição Binomial, Resumos de Probabilidade

Conceitos básicos sobre probabilidade, incluindo a noção de probabilidade, distribuição binomial e o modelo de bernoulli. O texto aborda conceitos como eventos impossíveis, mutuamente exclusivos, independentes e a distribuição de probabilidades binomial. Além disso, é apresentado o modelo de probabilidade bernoulli e seu uso para descrever variáveis aleatórias discretas.

Tipologia: Resumos

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Jacirema68
Jacirema68 🇧🇷

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JMPSouza, DPBergamaschi 2017
01_probabilidade,doc 1 | 24
e Noções de probabilidade e distribuição Binomial
PROBABILIDADE
É UMA AFIRMAÇÃO NUMÉRICA SOBRE A POSSIBI-
LIDADE DE QUE ALGUM EVENTO OCORRA.
QUANTIFICA O GRAU DE POSSIBILIDADE DA
OCORRÊNCIA DO EVENTO, VARIANDO DE 0 (0%) A
1 (100%).
UM EVENTO IMPOSSÍVEL DE OCORRER TEM PRO-
BABILIDADE 0 (ZERO).
UM EVENTO CERTO DE OCORRER TEM PROBABI-
LIDADE 1(UM).
QUANDO SE JOGA UMA MOEDA, NÃO SE SABE SE
VAI SAIR CARA. MAS SABE-SE QUE A PROBABILI-
DADE DE SAIR CARA É 0,5= 50%= 1/2.
A PROBABILIDADE DE SE OBTER UMA CARTA COM
O NAIPE OUROS É 0,25= 25%= 1/4.
DIZER QUE A EFICÁCIA DE UMA VACINA É 70%
CORRESPONDE A DIZER QUE CADA INDIVÍDUO
VACINADO TEM PROBABILIDADE 0,7 DE FICAR
IMUNE.
pf3
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Baixe Introdução à Probabilidade: Conceitos Básicos e Distribuição Binomial e outras Resumos em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

e Noções de probabilidade e distribuição Binomial

PROBABILIDADE

 É UMA AFIRMAÇÃO NUMÉRICA SOBRE A POSSIBI-
LIDADE DE QUE ALGUM EVENTO OCORRA.
 QUANTIFICA O GRAU DE POSSIBILIDADE DA
OCORRÊNCIA DO EVENTO, VARIANDO DE 0 (0%) A
 UM EVENTO IMPOSSÍVEL DE OCORRER TEM PRO-
BABILIDADE 0 (ZERO).
 UM EVENTO CERTO DE OCORRER TEM PROBABI-
LIDADE 1(UM).
 QUANDO SE JOGA UMA MOEDA, NÃO SE SABE SE
VAI SAIR CARA. MAS SABE-SE QUE A PROBABILI-
DADE DE SAIR CARA É 0,5= 50%= 1/2.
 A PROBABILIDADE DE SE OBTER UMA CARTA COM
O NAIPE OUROS É 0,25= 25%= 1/4.
 DIZER QUE A EFICÁCIA DE UMA VACINA É 70%
CORRESPONDE A DIZER QUE CADA INDIVÍDUO
VACINADO TEM PROBABILIDADE 0,7 DE FICAR
IMUNE.

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

PROBABILIDADE EM ESPAÇOS FINITOS CONTÁVEIS

ESPAÇO AMOSTRAL

 É O CONJUNTO DE TODOS OS RE-

SULTADOS POSSÍVEIS DE UM EX-

PERIMENTO.

 NO LANÇAMENTO DE UMA MOEDA,

O ESPAÇO AMOSTRAL É O SEGUIN-

TE:

CARA COROA

 HÁ DOIS PONTOS NESSE ESPAÇO AMOS-

TRAL, SENDO UM FAVORÁVEL AO EVENTO

CARA.

 A PROBABILIDADE DE SAIR CARA É O

QUOCIENTE:

NUMERO DE PONTOS CARA 1
NUMERO TOTAL DE PONTOS 2

 PROBABILIDADE(OUROS):

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

PROBABILIDADE DE EVENTOS

INDEPENDENTES

 OS EVENTOS “A” E “B” SÃO INDEPENDENTES
QUANDO O RESULTADO DE UM NÃO INFLUI NO
RESULTADO DO OUTRO. O RESULTADO DE UMA
MOEDA, NO LANÇAMENTO SIMULTÂNEO DE DUAS
MOEDAS, NÃO INTERFERE NO RESULTADO DA
OUTRA.
 A PROBABILIDADE DA OCORRÊNCIA DE EVENTOS
INDEPENDENTES “A” E “B” É O PRODUTO DE S U-
AS PROBABILIDADES.

P(“A” E “B”)= P(“A”) x P(“B”)P(“FACE 2 no primeiro dado” E “FACE 3 no segundo dado”) NO LANÇAMENTO SEQÜENCIAL DE DOIS DADOS= P(2 E 3) = P(2)xP(3)= 1/6 x 1/6= 1/36= 0,0278= 2,78%.  NO LANÇAMENTO DE DOIS DADOS, QUAL É A PROBABILIDADE DE ““SAIR 2 NO 1º DADO E 3 NO 2º” OU “SAIR 3 NO 1º DADO E 2 NO 2º””?  NO LANÇAMENTO DE DOIS DADOS, QUAL É A PROBABILIDADE DE ““SAIR 2 OU 3 NO 1º DADO” E “SAIR 3 OU 2 NO 2º DADO””?

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

 ESPAÇO AMOSTRAL NO LANÇAMENTO DE DOIS
DADOS
DADO 1

DADO 2 1 2 3 4 5 6

1 ^ 

2 ^ ^ ^ ^ ^ 

3 ^ ^ ^ ^ ^ 

4 ^ 

5 ^ 

6 ^ 

{P(2)xP(3)}+{P(3)xP(2)}= 1/36+1/36= 2/36= 1/

DADO 1

DADO 2 1 2 3 4 5 6

1 ^ 

2 ^ ^ ^ ^ ^ 

3 ^ ^ ^ ^ ^ 

4 ^ 

5 ^ 

6 ^ 

{P(2)+P(3)}x{P(3)+P(2)}= 2/6x2/6= 4/36= 1/

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

VARIÁVEL ALEATÓRIA É QUALQUER FUNÇÃO

DE NÚMERO REAL, DEFINIDA NO ESPAÇO

AMOSTRAL.

NO LANÇAMENTO DE 1 MOEDA, “ Nº DE CA-

RAS ” É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA.

 NO LANÇAMENTO DE 10 MOEDAS (OU DE

UMA MOEDA 10 VEZES), “ Nº DE CARAS

TAMBÉM É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA.

 NO LANÇAMENTO DE 10 MOEDAS, A V.A. Nº

DE CARAS PODE ASSUMIR OS VALORES 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, QUE SÃO RESULTADOS

MUTUAMENTE EXCLUDENTES.

 A PROBABILIDADE DE CARA EM CADA MOE-

DA É 0,5: P(CARA)= 0,5= 1/2.

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

 O PARTICULAR RESULTADO DE CADA MOE-

DA É INDEPENDENTE DO RESULTADO DE

CADA UMA DAS OUTRAS NOVE, NO LANÇA-

MENTO DA MOEDA 10 VEZES.

 É POSSÍVEL CALCULAR AS PROBABILIDADES

DOS ONZE RESULTADOS POSSÍVEIS DA VA-

RIÁVEL ALEATÓRIA EM QUESTÃO.

 O CONJUNTO DOS VALORES DA VARIÁVEL

ALEATÓRIA E DAS PROBABILIDADES OBTI-

DAS DEFINE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBA-

BILIDADES, NESTE CASO A DISTRIBUIÇÃO DE

PROBABILIDADES BINOMIAL, POIS O RESUL-

TADO PARA CADA MOEDA É UM, EM DOIS

POSSÍVEIS.

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

Graficamente:

Exemplo 2: Uma droga cura 15% dos pacientes. Administra-se a droga a um paciente. Qual a probabilidade do paciente ficar curado? Qual a probabilidade do paciente não ficar curado? X: 0,1 (X será 0 se o paciente não se curar e 1 se houver cu- ra)

P(X=1) =p(1)=p= 0,15 ; P(X=0) =p(0)= q=0,

0

0,

0,

0,

0,

1

0 1 x

p(x)

p=0,

0

0,

0,

0,

0,

1

(^0 1) x

p(x)

p=0,

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

Os exemplos pertencem a mesma família de distribuições, mas têm parâmetros diferentes.

A distribuição de Bernoulli pode ser escrita como P(X=1) = p(1)=p e P(X=0) =p(0) =1-p; ou, de forma mais genérica,

p( x)px^ ( 1 p)^1 x , x=0, Isto significa que para x=0, p(^0 )^ P(X^0 )p^0 (^1 p)^1 ^0 ^1 p ,

para x=1, p(^1 )^ P(X^1 )p^1 (^1 p)^1 ^1 p

Resumindo,

Modelo de probabilidade Bernoulli

Uma variável aleatória discreta X que pode assumir valores 0 e 1, com função de probabilidade dada por

p( x)px^ ( 1 p)^1 x

, x=0, segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p , 0<p<1.

p é a probabilidade de obter o resultado X=

Isto pode ser escrito como X~Bernoulli(p).

O símbolo ~ lê-se “tem distribuição”

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

Média de uma variável aleatória discreta: ^ E(X)x xp(x^ )

Na distribuição de Bernoulli:

E( X) xp(x) 1 p(x 1 ) 0 p(x 0 ) p x

       

Média da distribuição Bernoulli é p (probabilidade de ocor- rer o sucesso)

Variância de uma variável aleatória discreta:

x

(^2) V(X) E[(X ) (^2) ] (x ) (^2) p(x)

Desvio padrão: SD(X)^ V(X) 

Desvio padrão da distribuição Bernoulli é

( 0 p)^2 .p(x 0 )( 1 p)^2 .p(x 1 ) =

( p)^2 .( 1 p)( 1 p)^2 p ( 1 p)p(p( 1 p)) p( 1 p) pq

Resumindo: Distribuição Bernoulli possui média p e

desvio padrão p(^1 p)

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

Distribuição binomial: Soma de n distribuições Bernoulli

População: 2 categorias Ex: sexo (masculino, feminino), faces de uma moeda (cara, coroa), desfecho de um tratamento (cura, não cura)

Lançamento de uma moeda  



p+q= 1 q= 1 - p

Coroa(C) probabilidade(C)=q

Cara(K) probabilidade(K)=p

p = probabilidade de sucesso; q= probabilidade de fracasso

Realiza-se o experimento n vezes, onde cada ensaio é inde- pendente do outro e os resultados são mutuamente exclusi- vos.

X: Número de vezes que sai cara

A moeda é lançada uma vez (n=1)X: 0, X resultado P(X=x) 0 C P(X=0) = q 1 K P(X=1) = p

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

Probabilidade (X=x) é calculada pelo produto de 3 fatores:

1 o^ - número (combinação de n elementos combinados x a x)

2 o^ - probabilidade de sucesso elevado a um expoente (valor de x)

3 o^ - probabilidade de fracasso elevado a um expoente (valor de n-x)

x n x pxqn x x n x

n p q x

n P X x      

  

   !( )!

! ( )

Resumindo Modelo de probabilidade Binomial

Seja E um experimento com 2 resultados (mutuamente exclusivos): S (sucesso) e F (fracasso) p = probabilidade de ocorrência de S q= probabilidade de ocorrência de F p+q=

Se E for repetido n vezes, de forma independente, mantendo-se p e q, a probabilidade da variável aleatória X= número de vezes que S ocorre é dada por

P X (  x )  (^) x !( n n ! x )! p qx^ n^^  x

X~B(n,p) onde n e p são os parâmetros da distribuição. média = m = n.p , variância = n.p.q desvio padrão = npq

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

Exemplo:

 n= número de ensaios (nº de lançamentos)= 10

 X= variável aleatória (nº de caras)

 x= resultado particular de X (0, 1, 2, ...)

 p= probabilidade do evento elementar

[(P(cara)]= 0,

x n x p p x

n P X x

 ^  

  

 (  )  ( 1 )

Distribuição de probabilidade B(n=10; p=0,5)

X= nº de caras P(X=x)

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

0

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

probabilidade

nº de caras

JMPSouza, DPBergamaschi 2017

Exemplo UM PROGRAMA DE INCENTIVO À AMAMENTAÇÃO EXCLUSIVA AO SEIO NOS PRIMEIROS 3 MESES ESTÁ SENDO EXECU- TADO EM UM HOSPITAL UNIVERSITÁRIO. A EFICÁCIA DO PROGRAMA É DE= 60%. PARA UMA AMOSTRA n DE 20 MÃES QUE DERAM À LUZ NESTE HOSPITAL, A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DA VARIÁVEL ALEATÓRIA nº de mães amamentando ex- clusivamente ao seio É A SEGUINTE:

X= nº de mães amamentando P(X=x|p=0,6) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 ,