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Pontos notáveis de um triãngulo
Sadao Massago
Maio de 2010 a Fevereiro de 2014
Sumário
1 Incentro 1
2 Circuncentro 2
3 Baricentro 3
4 Hortocentro 4
5 Exincentro 4
6 Observação adicional 5
Referências Bibliográ cas 5 Neste texto, estudaremos os pontos notáveis de um triângulo.
1 Incentro
Antes do teorema, prove o seguinte exercício
Exercício 1.1. Dado um triângulo, mostre que duas bissetrizes cruzam no interior do triângulo.
Teorema 1.2 (incentro). As bissetrizes (dos ângulos) de um triângulo intercepta em um único ponto no seu interior na qual é equidistante dos seus lados.
Signi cado. Seja 4 ABC. Então os bissetrizes de ∠A, ∠B e ∠C interceptam num ponto P interior do 4 ABC. Além disso, distância de P até AB, AC e BC são iguais.
Demonstração. Considere o triângulo 4 ABC e bissetriz de ∠B e ∠C. Então eles cruzam no interior do triângulo (exercício 1.1) que denotaremos por O (Figura 1). Como O está sobre a bissetriz de ∠B, ele é equidistante de AB e BC. Mas também está na bissetriz de ∠C de forma que O é equidistante de AC e BC. Assim, O é equidistante aos três lados. Agora considere AO. Como AO divide o ângulo ∠BAC e passa no ponto (fora da vértice) equidistante de AB e AC, será bissetriz de ∠BAC.
A circunferência com centro em O que passa num dos pontos entre D, E e F passa em todos os outros. Como OM , ON e OP são raios desta circunferência e são ortogonais aos lados do triângulo, a circunferência tangencia todos os lados do triângulo. A circunferência que tangencia todos os lados de um polígono é denominado de circunferência inscrita. Logo, a intersecção das bissetrizes determina o centro da circunferência inscrita de um triângulo (Figura 2).
B C
A
O
E
F
D
|| || | |
Figura 1: O incentro
B C
A
O
|| || | |
||| |||
Figura 2: A circunferência inscrita
2 Circuncentro
Antes do teorema, prove o exercício seguinte.
Exercício 2.1. Dadas duas retas concorrentes, as retas ortogonais a elas também são concor- rentes.
Teorema 2.2 (circuncentro). As mediatrizes (dos lados) de um triângulo intercepta em um único ponto na qual é equidistante dos seus vértices.
Signi cado. Seja 4 ABC. Então os mediatrizes AB, AC e BC interceptam num ponto P. Além disso, P A = P B = P C.
Demonstração. Dado 4 ABC com M, N e P , pontos médios dos lados AB, BC e AC respec- tivamente. Como as mediatrizes de AB e BC cruzam (exercício 2.1), denotaremos este ponto por O (Figura 3). Como O está na mediatriz de AB, é equidistante de A e B, tendo OA = OB. Analogamente, OB = OC e consequentemente, O é equidistante dos vértices.
B C
A
O
M
N
P
|
| || ||
Figura 3: O circuncentro
B C
A
G
F E
H
|
|
||
||
Figura 5: O baricentro
O baricentro é o centro de massa. Se o triângulo apresentar densidade uniforme, qualquer reta que passa no baricentro divide o triângulo em dois momentos iguais, signi cando que se pendular o triângulo neste ponto, ele cará na posição horizontal. Não confundir momento com a massa. O triângulo determinado pela reta paralela a um dos lados passando pelo baricentro tem a área 49 do original e não o 12.
4 Hortocentro
Teorema 4.1 (hortocentro). O prolongamento das alturas de um triângulo intercepta em um único ponto.
Signi cado. Seja 4 ABC e r, s e t, as retas determinadas pelas alturas relativamente a A , B e C respectivamente. Então r, s e t interceptam em um único ponto P.
Demonstração. Considere as retas paralelas aos lados, passando pelos vértices opostos. Estas retas não são paralelas dois a dois, pois os lados dos triângulos não são paralelos dois a dois. Logo estas retas cruzam dois a dois, formando um triângulo. Considerando D, E e F , as intersecções das retas paralelas a AB e AC, BC e AB, BC e AC respectivamente, podemos considerar 4 DEF. Então temos que DE, EF e F D são paralelos aos lados BA, CB e AB respectivamente (Figura 6). Veremos que 4 BAF é congruente a 4 ABC. Como AF é paralelo a BC, ∠ABC = ∠BAF por ser alternos internos. Da mesma forma, BF ser paralelo a AC implica que ∠BAC = ∠ABF. Como BC é comum, pelo critério ALA, 4 BAF e 4 ABC são congruentes. Da mesma forma, podemos mostrar que 4 CEA e 4 DCB também são congruentes a 4 ABC. Assim, F A = AE, F B = BD e EC = CD. Logo, o prolongamento das alturas de 4 ABC são mediatrizes de 4 DEF e eles interceptam, pelo Teorema 2.2.
5 Exincentro
Exercício 5.1. Dado um triângulo, a bissetriz de um ângulo e bissetriz de um dos ângulos externos não adjacentes interceptam.
Teorema 5.2 (exincentro). A bissetriz de um triângulo e a bissetriz dos ângulos externos não adjacentes interceptam em um único ponto na qual é equidistante dos prolongamentos dos seus lados.
D
F E
B C
A
|||^
|||
|| ||
|
|
M
N
P
O
Figura 6: O hortocentro
Signi cado. Seja 4 ABC e sejam D e E, os pontos sobre os prolongamentos de BA no lado de A e BC no lado de C, respectivamente (Figura 1). Então os bissetrizes de ∠B, ∠DAC e ∠ECA interceptam num ponto P , exterior ao 4 ABC. Além disso, distância de P até prolongamentos de BA, BC e AC são iguais.
Idéia da demonstração. A demonstração é similar ao caso do incentro (Teorema 1.2) e é deixado como exercício (Figura 1).
A
B C
O
||
|| ||
D
E
F
| | || ||
Figura 7: O exincentro
O exincentro é o centro da circunferência que tangencia um lado e o prolongamento de outros dois lados (Figura 8).
6 Observação adicional
O incentro, circuncentro e baricentro costumam ser chamados de três pontos notáveis de um triângulo. Os três pontos notáveis mais o hortocentro e o exincentro é denominado de cinco pontos notáveis de um triângulo. Ainda existem outras propriedades interessantes do triângulo tais como a reta de Euler e o círculo de nove pontos (Veja [?]) que não foram discutidos aqui.
