Polinômio de Taylor e aplicações, Notas de estudo de Cálculo

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Polinômio de Taylor

e aplicações

Aluna: Nathália do Nascimento Teodosio

Orientadora: Begoña Alarcón Cotillas

Roteiro:

 Definição 1-Polinômio de Taylor 2-Resto de Lagrange 3-Teorema de Taylor 4-Prova de que o lim do erro/x-x 0 = 0

● Pré Cálculo: *Polinômio de Taylor usado em diversas áreas do conhecimento

 Outras aplicações :

• Aproximação de funções
• Cálculo de Limites ( infinitésimos equivalentes)
• Propriedades das curvas *Teorema do valor intermediário e de Rolle

DEFINIÇÃO

 Seja f uma função diferenciável n vezes em x 0 , então definimos o enésimo polinômio de Taylor para f em torno de x=x 0 como sendo :

Ou ainda:

 O Erro de Lagrange é a diferença entre um x em torno de x 0 na função original e no Polinômio de Taylor. Depois de calculado o resultado pelo Polinômio, é necessário calcular o erro para se verificar o quanto aquela resposta encontrada é confiável.

 Fala-se em Estimativa do Erro pois a fórmula depende de um X entre x e x 0 o qual não se sabe o valor exato.

 Teorema: Se f for diferenciável até ordem

n+1 em um intervalo I que contém x e xo,

então existe um X entre x e x0 tal que:

Polinômio Resto

 Há fórmulas do ensino médio que são na verdade Polinômios de Taylor

 Exemplos:

Física : MU e MUV-> Equação da posição Química: Velocidade da reação química Matemática: função de 1º grau, 2º grau e demais polinônimos

P 1 (x) P 2 (x)

P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P 4 (x) P 5 (x) P 6 (x)

Outras aplicações

 Achar algumas propriedades gráficas das curvas:

1)Achar máximos e mínimos locais: Seja f n vezes diferenciável e

mas , (^) tenho dois casos:

a) Se n é par e então x 0 é ponto de máximo local, porém se então x 0 é ponto de mínimo local. b)Se n for ímpar, então x 0 não é máximo nem mínimo local

2) Achar a derivada máxima ou mínima locais:

Achar os valores de x 0 para os quais

e aplicar na primeira derivada primeira derivada,

para saber que valores correspondem aos má-

ximos e mínimos locais. Aplicar na função para

Achar o par ordenado.

 Cálculo de limites com a indeterminação 0/0:

Sejam f e g diferenciáveis, e g(x)diferente de 0:

Bibliografia

 Curso de Análise - Elon Lages, vol.1, pág. 283  Cálculo - Howard Anton, vol.1 e 2  Livro em espanhol  Apostila de Introdução aos Métodos Numéricos-UFF-parte

Vídeos: Cálculo II- Aula 1 Cálculo II – Aula 2, parte 1,2, e 3