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C ´alculo III – Poli

Teoremas de Stokes e Gauss (ou da Diverg ˆencia)

Edson de Faria

Departamento de Matem ´atica

IME-USP

15/07/

Introduc¸ ˜ao

Nesta aula apresentaremos os seguintes t ´opicos:

Operadores diferenciais: gradiente, laplaciano, divergente e

rotacional

Teorema de Stokes

Teorema de Gauss, tamb ´em conhecido como Teorema da

Diverg ˆencia

Algumas aplicac¸ ˜oes

Operador divergente. Se F = ( F 1 , F 2 ,... , Fn) e um campo de´

vetores, onde cada Fi e uma func´ ¸ ˜ao diferenci ´avel em n vari ´aveis, seu

divergente ´e a func¸ ˜ao escalar denotada por div ( F ) ou ∇ · F e

definida assim:

div ( F ) = ∇ · F =

∂ F 1

∂ x 1

∂ F 2

∂ x 2

∂ Fn

∂ xn

A notac¸ ˜ao ∇ · F e mais sugestiva, pois indica que o divergente ´´ e o

produto escalar (simb ´olico) do operador ∇ = (∂ x 1

,... , ∂ x n

) pelo

campo F. (Aqui, usamos a abreviac¸ ˜ao ∂ x i

= ∂/∂ xi .)

Operador rotacional. Este ´ultimo s ´o est ´a definido em dimens ˜ao tr ˆes

(n = 3). Se F = P i + Q j + R k e um campo de vetores, onde cada´

componente P, Q, R e uma func´ ¸ ˜ao diferenci ´avel a tr ˆes vari ´aveis, seu

rotacional ´e a func¸ ˜ao vetorial denotada por rot ( F ) ou ∇ × F e

definida assim:

rot ( F ) = ∇ × F =

Ry − Qz

i + ( Pz − Rx ) i +

Qx − Py

i.

A notac¸ ˜ao ∇ × F e mais sugestiva, pois indica que o rotacional ´´ e o

produto vetorial (simb ´olico) do operador ∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z ) pelo

campo F.

De fato, ´e f ´acil verificar que, simbolicamente,

∇ × F =

i j k

∂ x ∂ y ∂ z

P Q R

Observac¸ ˜oes:

Os quatro operadores diferenciais introduzidos acima s ˜ao

extremamente ´uteis na formulac¸ ˜ao sint ´etica de algumas das

equac¸ ˜oes fundamentais da F´ısica.

Entre os exemplos, citamos as equac¸ ˜oes de Maxwell do

eletromagnetismo, a equac¸ ˜ao do calor, a equac¸ ˜ao da onda, as

equac¸ ˜oes b ´asicas da mec ˆanica dos flu´ıdos (entre as quais as

equac¸ ˜oes de Navier-Stokes).

Considere agora o campo vetorial F = ∇φ (um campo com esta

propriedade ´e chamado de campo gradiente). Um c ´alculo direto mostra

que

∇ × F (x, y, z) =

i j k

∂ x ∂ y ∂ z

− x

( x

2

• y

2

• z

2 )

3 / 2

− y

( x

2

• y

2

• z

2 )

3 / 2

− z

( x

2

• y

2

• z

2 )

3 / 2

ou seja, o rotacional de F e identicamente nulo. Um campo com esta´

propriedade ´e denominado um campo irrotacional.

Observac¸ ˜oes:

O que ocorre com o campo F no exemplo acima ´e geral: todo campo

gradiente de classe C

1 e irrotacional (exerc´´ ıcio!).

Outro fato geral que est ´a por tr ´as desse exemplo ´e a identidade

2 φ = ∇ · (∇φ), ou seja, o laplaciano de uma func¸ ˜ao (de classe C

2 )

e o divergente de seu gradiente. Para mais identidades deste tipo,´

veja o livro de T.M.Apostol, C ´alculo, vol. II, §12.14.

Teorema de Stokes

O teorema de Stokes e uma generalizac´ ¸ ˜ao do teorema de Green:

relaciona a integral de superf´ıcie do rotacional de um campo de

vetores ao longo de uma superf´ıcie limitada por uma curva com a

integral de linha do campo ao longo desta curva.

Teorema

Sejam F : Ω → R

3 um campo de vetores de classe C

1 e S ⊂ Ω uma

superf´ıcie param ´etrica orientada cujo bordo ∂ S ⊂ Ωe uma curva suave. ´

Seja n : S → R

3 a normal unit ´aria, e suponha que a curva ∂ S est ´a

orientada com a orientac¸ ˜ao induzida por n. Ent ˜ao temos:

∂ S

F · dr =

S

(∇ × F ) · n dA (1)

Observac¸ ˜ao: O teorema ainda ´e v ´alido se o bordo ∂ S e uni ˜´ ao de duas ou

mais curvas fechadas; neste caso o lado esquerdo de (1) ´e a soma das

integrais de linha sobre cada curva, com a orientac¸ ˜ao induzida.

Basta demonstrar a primeira das igualdades em (2); as outras duas s ˜ao

totalmente an ´alogas. Seja σ : W → R

3 a parametrizac¸ ˜ao da superf´ıcie S,

onde W ⊂ R

2 e uma regi ˜´ ao do plano, e escrevamos σ em termos de suas

componentes:

σ( u, v) = X ( u, v) i + Y ( u, v) j + Z( u, v) k.

Assumiremos que X , Y , Z s ˜ao func¸ ˜oes de classe C

2

. Com essa notac¸ ˜ao,

temos

S

−Py dx ∧ dy + Pz dz ∧ dx =

W

[

− Py

∂( X , Y )

∂( u, v)

• Pz

∂( Z, X )

∂( u, v)

]

dudv.

(3)

A id ´eia da prova ´e aplicar o teorema de Green a esta ´ultima integral dupla.

Mas para tanto, precisamos reescrever o integrando. Observe que as

derivadas parciais Py e Pz s ˜ao calculadas no ponto σ( u, v). Isto nos

motiva a considerar a func¸ ˜ao de duas vari ´aveis

φ( u, v) = P( X ( u, v) , Y ( u, v) , Z( u, v)).

Afirmamos que o integrando na integral dupla acima ´e igual a

∂ u

(φ Xv ) (^) −

∂ v

(φ Xu) (^).

Utilizando a regra da cadeia (e a regra de Leibniz), temos

∂u

(φXv ) = φ uXv + φ Xuv =

[

Px Xu + Py Yu + Pz Zu

]

Xv + φ Xuv. (4)

∂v

(φXu) = φ v Xu + φ Xvu =

[

Px Xv + Py Yv + Pz Zv

]

Xu + φ Xvu. (5)

Subtraindo (5) de (4) e tendo em conta que Xuv = Xvu (pois X e de classe´

C

2 ), conclu´ımos que

∂u

(φXv ) −

∂ v

(φ Xu) = − Py [ XuYv − Xv Yu] + Pz [ ZuXv − Zv Xu]

= − Py

∂( X , Y )

∂( u, v)

• Pz

∂( Z, X )

∂( u, v)

o que estabelece nossa afirmac¸ ˜ao.

Al ´em disso, temos φ( u( t), v( t)) = P( x( t), y( t), z( t)). Juntando esses

fatos, podemos escrever

,

∂W

(φXu) du + (φ Xv ) dv

b

a

φ( u( t), v( t))

[

Xu( u( t), v( t))

du

dt

• Xv ( u( t), v( t))

dx

dt

]

dt

b

a

P( x( t), y( t), z( t))

dx

dt

dt =

∂ S

P( x, y, z) dx. (8)

Substituindo (8) em (7) e a express ˜ao resultante em (6), deduzimos que

"

W

[

− Py

∂( X , Y )

∂( u, v)

• Pz

∂( Z, X )

∂( u, v)

]

dudv =

∂ S

P dx. (9)

E finalmente, substituindo (9) em (3), obtemos

"

S

− Py dx ∧ dy + Pz dz ∧ dx =

∂ S

P dx.

Isto estabelece a primeira f ´ormula em (2). Como observamos antes, a

demonstrac¸ ˜ao das outras duas f ´ormulas ´e inteiramente an ´aloga. E como

tamb ´em observamos antes, somando as tr ˆes f ´ormulas em (2), obtemos a

f ´ormula (1) do enunciado. Isto conclui a demonstrac¸ ˜ao do teorema de

Stokes.

Observac¸ ˜oes:

A integral de linha no lado esquerdo de (1) ´e `as vezes chamada de

circuitac¸ ˜ao do campo F ; j ´a a integral de superf´ıcie no lado direito de

(1) ´e o fluxo do campo ∇ × F. Portanto, o teorema de Stokes diz que

a circuitac¸ ˜ao de um campo ao longo de uma curva fechada que ´e

fronteira de uma superf´ıcie orientada S e igual ao fluxo do rotacional´

do campo atrav ´es de S. (Aqui, assume-se que a orientac¸ ˜ao da curva

∂S e a induzida pela orientac´ ¸ ˜ao de S.)

Em particular, o teorema de Stokes possui como corol ´ario imediato,

enunciado no slide a seguir, um crit ´erio bastante ´util no c ´alculo de

certas integrais de superf´ıcie.

Exemplo 2: Seja F : R

3 → R

3 o campo dado por

F ( x, y, z) = ( x

2 z , − xy

2 , yz sin z).

Seja S a parte do parabol ´oide z = x

2

• y

2 que fica abaixo do plano

z = y + 4 (veja a figure 1 no slide a seguir), orientada pela normal unit ´aria

n cuja componente z e positiva. Queremos calcular o fluxo de´ ∇ × F

atrav ´es de S. O primeiro passo ´e, naturalmente, calcular o rotacional de

F. Temos:

∇ × F (x, y, z) =

i j k

∂ x

∂ y

∂ z

x

2 z − xy

2 yz sin z

= ( z sin z , x

2 , − y

2 ).

No entanto, calcular diretamente a integral de superf´ıcie deste rotacional

sobre S e uma tarefa um tanto ingl ´´ oria...

Figura 1: O parabol ´oide z = x

2

• y

2 e o plano z = y + 4.

Temos:

n

′

∂ r

∂x

×

∂ r

∂ y ∥ ∥ ∥ ∥ ∥

∂ r

∂x

×

∂ r

∂ y

1

√

2

( 0 , − 1 , 1 ) ; dA

′

∂ r

∂ x

×

∂ r

∂ y

dxdy =

2 dxdy.

A primeira dessas igualdades nos diz em particular que

(∇ × F ) · n

′ = −

1

√

2

( x

2

• y

2 ).

Portanto, temos:

S′

(∇ × F ) · n

′ dA

′ = −

D

( x

2

• y

2 ) dxdy ,

onde D e o disco´ x

2

• ( y −

1

2

2 ≤

17

4

.

Para calcular esta ´ultima integral dupla, usamos a mudanc¸a de

coordenadas r = r cos θ , y =

1

2

• r sin θ, onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤

1

2

Obtemos ent ˜ao:

D

(x

2

• y

2 ) dxdy =

√ 17 2

0

2 π

0

r

2 cos

2 θ +

1

2

• r sin θ

dθ rdr

√ 17 2

0

2 π

0

[

r

3

• r

2 sin θ

]

dθ dr

= 2 π

√ 17 2

0

r

3 dr =

289 π

32

Portanto, temos finalmente:

S

(∇ × F ) · n dA =

S

′

(∇ × F ) · n

′ dA

′ = −

289 π

32

[Disto tamb ´em segue que

C

x

2 z dx − xy

2 dy + yz sin z dz = − 289 π/32,

cujo c ´alculo direto seria bem mais trabalhoso.]