PESQUISA OPERACIONAL Análise de Sensibilidade, Notas de estudo de Direito

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PESQUISA OPERACIONAL

Análise de Sensibilidade

Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

 Interpretação geométrica de análise de sensibilidade

 Os preços-sombra – variáveis duais

 Alterando na função objetivo o coeficiente de uma variável

 Alterar o vetor do lado direito (b)

 Alterando a coluna de uma variável

 Adicionando uma nova atividade

(Capítulo 6 do livro de Bazaraa, Jarvis, and Sherali.)

A análise de sensibilidade está interssada em estudar os efeitos na solução ótima se

ocorrerem mudanças nos parâmetros de um pl.

maximize z = 3x 1 + 2x 2 (Função objetivo)

sujeito a

2x 1 + x 2  100 (Restrição de acabamento)

x 1 + x 2  80 (Restrição de carpintaria)

x 1  40 (Limite de soldadores)

x 1  0 (Restrição de sinal)

x 2  0 (Restrição de sinal)

Solução ótima: z = 180, x 1 = 20, x 2 = 60

Quais os efeitos na solução ótima será afetada se ocorrerem alterações nos

coeficientes na função objetivo, ou alterações em alguns valores do vetor b, ou

alterações nos aij?

maximize z = 3x 1 + 2x 2 (Função objetivo)

sujeito a

2x 1 + x 2  100 (Restrição de acabamento)

x 1 + x 2  80 (Restrição de carpintaria)

x 1  40 (Limite de soldadores)

x 1  0 (Restrição de sinal)

x 2  0 (Restrição de sinal)

Quadro inicial Base x z - 31 - x 22 x^3 x^4 x^5 b x 3 2 1 1 100 x x 4 1 1 1 80 5 1 0 1 40 Quadro ótimo (após 4 iterações) Base x z 1 x^2 x 1^3^ x 1^4^ x^5 180 b x 2 1 - 1 2 60 x x 5 - 1 1 1 20 1 1 1 -^1

Preços-sombra -> valor das variáveis duais

Mudanças no vetor b

Restrição de carpintaria (b 2 = 80)

Restrição de acabamento (b 1 = 100)

Curva de nível da função z (inclinação = -1.5)

x 1

x 2

Função Objetivo: z = 3x 1 + 2x 2

Como mudança em b 1 afetará

a solução ótima e o valor

ótimo da função objetivo?

Como mudança na b 2 afetará

a solução ótima e o valor

ótimo da função objetivo?

Preços-sombra (variáveis

duais) indicam como o valor

da função objetivo mudará se

ocorrerer mudanças em bi

Preços-sombra

Os preços-sombra são associados com as restrições de um pl.

O preço-sombra da i-ésima de um pl é o montante em que o valor ótimo de z (isto é,

o valor da função objetivo) melhora se o lado direito da i-ésima restrição aumenta

em uma unidade.

Esta definição pressupõe que alterar o lado direito da i-ésima restrição mantem a

base atual ótima.

Qual é o preço sombra para a restrição de acabamento: o preço-sombra da restrição

de acabamento é 1 (y 1 = 1). Isso indica que se a quantidade de horas destinadas ao

acabamento subir de 100 para 101 horas, o valor da função objetivo aumentará de

180 para 181.

maximize z = 60x 1 + 30x 2 + 20x 3 sujeito a 8x 1 + 6x 2 + x 3  48 4x 1 + 2x 2 + 1,5x 3  20 2x 1 + 1,5x 2 + 0,5x 3  8 x 1 , x 2 , x 3  0

xB f 1 ,x 3 ,x 1 

xN x 2 ,f 2 ,f 3 



 

 

 

 



   0 1/2 3/

0 2 4

1 2 8 B 1

Exemplo

Ax  b  NxN  BxB  b  BxB  b  NxN  B ^1 ^ BxB ^  B ^1  b^  NxN  IxB  B ^1 b^  B ^1 NxN  xB  B ^1 b  B ^1 NxN

Z  cB xB  cNxN  cB  B ^1 b^  B ^1 NxN   cNxN  cBB ^1 b  c (^) N  cBB ^1 N  x (^) N Coeficientes atualizados das variáveis não básicas

x x ,f,f  c  30,0,0 c 0, 20, 60  1,5 0 1

2 1 0

6 0 0 N 0 1/2 3/

0 2 4

1 2 8 B (^1) N 2 2 3 N  B   

 

 

 

  

 

 

 

 



  

Mudanças em coeficientes da função objetivo

i) Variável Não Básica: c 2 = c 2 ’ (z = 60x 1 + c 2 ’x 2 + 20x 3 )

Z cBB^1 bc (^) NcBB^1 N xN cNcNcBB^ ^1 N

    0 5/4 1/2 3/

2 2 4

2 2 8 c (^) N c 2 ',0,0 0, 20, 60  

 

 

 

 

 

      

    0 1,5 0 1

c (^) N cN cBB^1 N c 2 ',0,0 0, 20, 60  

c (^) N  c 2 ',0,0  35,10, 10   0 c 2 ' 35  0 c 2 ' 35

Conclusão: se c 2 ‘ ≤ 35, então a base ótima não muda.

Mudanças em coeficientes do lado direito

i) Faixa de variação de um único coeficiente para não mudar a base

b

b B^1 b' 2

Conclusão: se 16 ≤ b 2 ‘ ≤ 24, então a base ótima não muda.

b

b' 8

b 2 '

16 b ' 24 b ' 24

b ' 16

b ' 8 1/2b ' 12

2b ' 32

2b ' 16 0 1/2b ' 12 0

0 2b ' 32 0

48 2b ' 64 0 2 2

2

2 2

2

2 2

2

2   ^  

14

Mudanças em coeficientes do lado direito

ii) Mudança em um (ou mais) coeficientes

Z'' 520 x

x

f 38

88

168 32

20

48 0 1/2 3/

0 2 4

1 2 8 b'' B b'' 1

3 1 1  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 



    

b'' 8

b z = 60x 1 + 30x 2 + 20x 3 Quadro ótimo Base x 1 x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 b z 5 10 10 520 f 1 - 2 1 2 - 8 - 168 x 3 - 2 1 2 - 4 - 88 x (^1) max 1 1,25-2,5 - 0,5 (^) - 1,25 1,5 38 Base x 1 x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 b z 2,5 1,25 12,5 310 f 3 0,25 - 0,125 - 0,25 1 21 x 3 - 1 1 - 0,5 1 - 4 x (^1) max 1 0,875 - 2,5 0,188-2,5 - 0,125 6, Base x 1 x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 b z 2,5 0 15 300 f 3 0,25 - 0,25 0 1 20 x 2 1 - 1 0,5 - 1 4 x 1 1 0,875 - 0,25 0,75 3

Método Dual Simplex

Solução Inviável!!!!!!

Adicionando uma nova atividade – novo produto com preço de venda definido

Suponha que a empresa está considerando fabricar banquinhos.

Um banquinho é vendido por R$ 15,00 e requer uma placa de madeira, 1 hora de

acabamento, e uma hora de carpintaria. Caso a empresa fabricar qualquer fezes?

Novo pl

Como resolver o problema modificado a partir do quadro ótimo?

maximize z = 60x 1 + 30x 2 + 20x 3 + 15x 4

sujeito a

8x 1 + 6x 2 + x 3 + 1x 4  48

4x 1 + 2x 2 + 1,5x 3 + 1x 4  20

2x 1 + 1,5x 2 + 0,5x 3 + 1x 4  8

x 1 , x 2 , x 3 , x 4  0

Adicionando uma nova atividade – novo produto com preço de venda definido

Precisamos verificar se x 4 entra na base.



 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 



    

 

 

 

   1

2

5 1

1

1 0 1/2 3/

0 2 4

1 2 8 A B A 1

1

1 A (^4414)

  

c 4 c 4 cBB^1 A 4 15 0, 20, 60

  5 1

c 4 15 0, 20, 60  

Conclusão: como, , x 4 não entra na base e portanto o produto não será fabricado.

c 4  0

(z = 60x 1 + 30x 2 + 20x 3 + 15x 4 )