4 – O que significa os vetores serem linearmente dependentes e linearmente independentes?
Resolva um exemplo de cada caso
R: Um conjunto de vetores será linearmente dependente (LD) se tiver pelo menos um vetor
nesse conjunto que pode ser escrito como uma combinação linear dos demais vetores. Caso
isso não aconteça então os vetores serão linearmente independentes.
Ex1: Verifique se os vetores u1 = (1,0,3), u2 = (-1,2,4) e u3 = (3,-2,5) são linearmente
independentes.
S1: Para que os vetores u1, u2, u3 sejam linearmente independentes é necessário que au1 +
bu2 + cu3 = 0 se, e somente se, a = b = c = 0.
au1 + bu2 + cu3 = 0 a(1,0,3) + b(-1,2,4) + c(3,-2,5) = (0,0,0)
a – b + 3c = 0
2b – 2c = 0
-a + 4b + 5c = 0
L1
L2
L3 – 3L1
L1 + (1/2)L2
L2/2
L3 – (7/2)L2
L1 – (2/3) L3
L2 + (1/3)L3
L3/3
Portanto, a combinação linear só existe se a = b = c = 0. Desse modo, esses vetores são
linearmente independentes (LI).
Ex2: Verifique que v1 = (1, 3, 2), v2 = (−2, −2, 1) e v3 = (−3, −1, 4) de R3 são Linearmente
Dependentes
S2: Seguindo a equação, α1v1 + α2v2 + α3v3 = e ⇒ α1(1, 3, 2) + α2(−2, −2, 1) + α3(−3, −1, 4) =
(0, 0, 0)
1 -1 3| 0
0 2 -2| 0
3 4 5| 0
1 -1 3| 0
0 2 -2| 0
0 7 -4|0
1 0 2|0
0 1 -1|0
0 0 3|0
1 0 0 | 0
0 1 0 |0
0 0 1 |0
