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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – Departamento de Engenharia Mecânica
PME3230 – Mecânica dos Fluidos I
Roteiro de experiência de laboratório:
Perdas de carga distribuída e localizada em
escoamento turbulento e medidores de vazão
1 Introdução
Nesta experiência, serão medidas e analisadas as perdas de carga que ocorrem num escoamento turbulento forçado no interior de um tubo. Técnicas de medição de pressão e vazão serão empregadas para caracterizar tanto a parcela de perda de carga distribuída e quanto a parcela de perda de carga localizada, e determinar como variam com a vazão e o diâmetro do tubo. Além disso, será feita a caracterização de um medidor de vazão instalado na bancada. O funcionamento deste medidor é baseado na equação da energia, que possibilita relacionar uma diferença de pressões medidas em diferentes pontos do medidor com a vazão volumétrica.
1.1 Perdas de carga em escoamento turbulento
O estudo de um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo circular é de substancial interesse, pois é este tipo de escoamento que é observado na maioria das aplica- ções práticas. O escoamento turbulento é aquele caracterizado pelo movimento desordenado das partículas fluidas; em tubulações industriais, quando o número de Reynolds é superior a 4000 considera-se que o escoamento seja turbulento. Devido a este movimento desordenado, no escoamento turbulento não é possível avaliar a queda de pressão analiticamente; devemos recorrer a resultados experimentais e utilizar a análise dimensional para correlacioná-los. Comparado com o que é observado para escoamentos laminares, a perda de carga distri- buída em escoamentos turbulentos apresenta três diferenças importantes. A primeira é o valor da perda de carga, que é significativamente maior para os escoamentos turbulentos, devido principalmente às tensões turbulentas advindas das flutuações aleatórias das velocidades. A segunda é a forma da dependência da perda de carga com a vazão – enquanto para escoamentos laminares esta dependência é linear, para escoamentos turbulentos a perda de carga varia com uma potência maior que um da vazão. A terceira e última diferença é relativa aos efeitos da rugosidade da superfície interna do tubo, que podem ser muito importantes no escoamento turbulento enquanto que no escoamento laminar não têm influência alguma na perda de carga. Além da perda de carga distribuída, será caracterizada a perda de carga localizada devido a uma ampliação ou redução brusca do diâmetro da tubulação. Perdas extras aparecem sem- pre que componentes adicionais, tais como válvulas, cotovelos e conexões, estão presentes na tubulação. Estas perdas são causadas principalmente pela separação do escoamento que ocorre nestes acessórios.
1.2 Medidores de vazão
A vazão volumétrica, Q, é uma grandeza de suma importância em escoamentos internos e por isso em muitas aplicações é essencial que ela seja medida de forma apropriada. Medidores de vazão são dispositivos que permitem determinar o volume de fluido que passa através de uma dada seção de escoamento por unidade de tempo.
A medição da vazão pode ser feita de forma direta ou indireta. Na medição direta, uma certa quantidade de fluido é pesada ou tem seu volume medido em um incremento de tempo conhecido. Em geral, os dispositivos de medição direta são grandes e possuem características de resposta em frequência pobres. Entretanto, fornecem alta precisão e exatidão e, por isso, são frequentemente usados como padrões primários para a calibração de dispositivos de medida indireta. Os medidores indiretos consistem de duas partes: a parte primária, que está em contato com o fluido, e a parte secundária, que converte a reação da parte primária em uma quantidade mensurável. Os medidores indiretos tem custo relativamente baixo e tamanho reduzido e, justamente por isso, são habitualmente encontrados em laboratórios e instalações industriais. Abaixo, estão listados alguns métodos e equipamentos de medição de vazão e em seguida uma breve descrição dos mesmos é feita.
Métodos de medição direta:
- Pesagem;
- Medição volumétrica;
- Equipamentos de deslocamento positivo.
Métodos de medição indireta:
- Por diferencial de pressão;
- Por efeito da força de arrasto (rotâmetro, alvo);
- Medidor de turbina;
- Medidor de vórtice;
1.2.1 Pesagem e medição volumétrica
Estes métodos consistem em simplesmente desviar temporariamente o fluxo do fluido para um recipiente e cronometrar o tempo de enchimento total ou parcial deste recipiente. No método das pesagens, a diferença entre a massa inicial e a massa final (após o enchimento) é aferida e dividida pelo tempo cronometrado e a massa específica do fluido para chegar à vazão volumétrica. Já na medição volumétrica, o recipiente utilizado é graduado de forma a tornar possível a medição direta do volume coletado. As principais restrições destes métodos são: (a) a necessidade de se desviar o fluxo; e (b) a medição não é instantânea, isto é, requer tempo para que uma amostra de fluido seja coletada.
1.2.2 Equipamentos de deslocamento positivo
Nestes dispositivos, o fluido move uma componente tal como um pistão alternativo ou um disco oscilante à medida que ele passa através do medidor. Estes equipamentos são comumente utilizados como medidores residenciais de água e gás e em bombas de combustíveis em postos automotivos.
1.2.3 Medição por diferencial de pressão
Os medidores de vazão montados nas bancadas do laboratório, objetos desta experiência, encaixam-se nesta categoria. O princípio de funcionamento destes medidores baseia-se em alterar a seção de escoamento, conforme mostrado esquematicamente na figura 1, para que se- jam verificadas variações nos termos da equação da energia aplicada entre as seções de entrada
(a) Rotâmetro (b) Alvo
Figura 2 – Medidores de vazão baseados em força de arrasto. Extraído de (Potter & Wiggert, 2010).
Figura 3 – Medidor de vazão do tipo turbina. Extraído de Fox et al. (2011).
pode ser relacionada à descarga.
1.2.5 Medidor de turbina
O medidor de turbina (figura 3) consiste em uma hélice montada dentro de um duto, que é girada pelo escoamento do fluido. A velocidade angular da hélice está correlacionada à descarga e pode ser medida usando um detetor magnético ou modulado externo ao medidor. Este tipo de sensor de medida não requer perfurações ou selos no duto e podem ser empregados com segurança na medição de vazões de fluidos corrosivos ou tóxicos.
1.2.6 Medidor de vórtice
O funcionamento deste medidor baseia-se no fato de que quando um escoamento uniforme ocorre ao redor de um corpo rombudo, uma esteira de vórtices alternados é formada a jusante do corpo. A frequência de emissão destes vórtices, f , pode ser agrupada com a velocidade do escoamento, V , e um comprimento característico do corpo, L, para formar um adimensional conhecido com número de Strouhal, St = f L/V. Para boa parte dos corpos rombudos (por exemplo, o cilindro colocado transversalmente ao escoamento), o número de Strouhal é aproximadamente constante para uma larga faixa de vazões. Desse modo, temos um dispositivo para o qual
Figura 4 – Esquema de funcionamento de um medidor de vazão de vórtice com medição através de sensor ultrassônico. Extraído de www.instrumart.com.
V ∝ f , e medindo-se a frequência de emissão dos vórtices pode-se calcular a velocidade e a partir dela a vazão. Como os vórtices são regiões de baixa pressão, sua emissão é manifestada por uma força oscilatória sobre o corpo. Assim, utilizam-se sensores de força, tais como strain gauges. Alter- nativamente, pode-se medir a passagem dos vórtices diretamente com o uso de transdutores de pressão ou sensores ultrassônicos, como ilustrado na figura 4.
2 Objetivos
Esta experiência tem os seguintes objetivos:
a) medir e caracterizar a perda de carga distribuída em um escoamento turbulento;
b) determinar o fator de atrito para diversas condições de escoamento;
c) determinar a rugosidade equivalente dos tubos utilizados a partir das medidas de perda de carga distribuída;
d) medir e caracterizar a perda de carga localizada devida a uma ampliação ou redução brusca do diâmetro da tubulação;
e) relacionar a diferença de pressões nas tomadas do medidor com a vazão obtida através de um método direto (pesagens);
f) determinar o valor do coeficiente funcional do medidor de vazão.
3 Fundamentos
3.1 Aplicação da equação da energia e o conceito de perda de carga
Define-se carga em uma seção como a energia mecânica do escoamento por unidade de peso. Para escoamento incompressível e considerando que a pressão e a cota tenham variação despre- zível ou nula ao longo da seção, a expressão da carga Hi numa seção i é:
Hi =
pi γ
αiV (^) i^2 2 g
(a) (b)
Figura 5 – (a) Perfis de velocidade de escoamentos no interior de tubos, laminar e turbulento com diversos valores de n, (b) Subcamada viscosa e efeito de elementos de rugosidade. Extraído de Munson et al. (2004).
A função φ 1
Re, (^) D
é definida como fator de atrito, f ,
f ≡ φ 1
Re,
D
e, portanto,
hL = f
L
D
V^ ¯ 2
2 g
A equação (3) é chamada de fórmula universal de perda de carga de Darcy-Weisbach.
3.2.1 Efeito da rugosidade na perda de carga distribuída
A influência da rugosidade superficial na perda de carga distribuída num escoamento turbulento está diretamente ligada à forma do perfil de velocidades encontrada neste escoamento. O perfil de velocidades observado num escoamento turbulento no interior de um tubo é mais “achatado” do que o perfil para escoamento laminar, pois a turbulência intensifica fortemente a mistura no plano perpendicular ao escoamento. Para determinar o perfil de velocidades no escoamento turbulento é necessário recorrer a dados experimentais e empregar técnicas de análise dimensional. Uma correlação muito utilizada para o perfil de velocidade em escoamentos turbulentos é o de potência u Vc
r R
) (^) n^1 ,
onde Vc é a velocidade no centro do tubo e n é uma função do número de Reynolds, cujos valores típicos vão de 6, para Re ≈ 2 × 104 a 10, para Re ≈ 3 × 106. A figura 5(a) mostra os perfis obtidos para diversos valores de n e o perfil de escoamento laminar, para comparação. Considerando os perfis típicos dos escoamentos turbulentos, podemos concluir que as tensões viscosas são dominantes apenas numa região muito próxima à parede do tubo, onde há gradiente significativo de velocidades. Esta região é chamada de subcamada viscosa, e tem espessura δs. Dentro desta subcamada, a dissipação viscosa é capaz de amortecer as perturbações provocadas
pelos elementos de rugosidade. Por conseguinte, se a subcamada viscosa for espessa o suficiente para cobrir os elementos de rugosidade, eles não causarão nenhuma perda adicional significativa, além daquelas já decorrente das dissipações viscosa e turbulenta. Nesta condição, dizemos que o escoamento está em regime hidraulicamente liso. Entretanto, a espessura da subcamada viscosa é sensivelmente influenciada pelo número de Reynolds, pois o aumento deste parâmetro faz com que o perfil de velocidades se torne cada vez mais achatado. Como mostra a figura 5(b), para pequenos valores de Re, a espessura da subcamada viscosa pode ser suficiente para cobrir os elementos de rugosidade da parede do conduto. À medida que Re aumenta, δs diminui e, para um dado Re suficientemente elevado, alguns dos elementos de rugosidade emergem do filme laminar e penetram no núcleo turbulento, intensificando o caráter aleatório do escoamento e influenciando o atrito de forma bastante significativa. A partir deste momento, o fator de atrito torna-se uma função do número de Reynolds e também da rugosidade relativa. Para número de Reynolds ainda maiores, a maioria dos elementos de rugosidade na parede do tubo emerge através da subcamada viscosa, dominando completamente a natureza do esco- amento na região próxima à parede. O arrasto e, por conseguinte, a perda de pressão, passa a depender somente do tamanho dos elementos de rugosidade. Tal situação é chamada de regime de escoamento hidraulicamente rugoso ou completamente turbulento. Neste regime, o fator de atrito depende apenas de /D. Nikuradse (1933) realizou experimentos em que procurou quantificar a dependência do fator de atrito em relação à rugosidade e à variação do número de Reynolds. Para tanto, ele utilizou condutos com rugosidade uniforme controlada, colando na parte interna de diversos condutos areia de granulosidade uniforme, obtendo assim um conjunto de condutos com diferentes valores de /D. Utilizando estes condutos, ele mediu os valores de perda de carga distribuída para diversas velocidades do fluido, isto é, diferentes números de Reynolds. Os resultados obtidos estão no gráfico apresentado na figura 6, no qual podem ser distinguidas 5 regiões diferentes, identificadas com algarismos romanos:
(I) Re < 2000 : nesta faixa de Reynolds o escoamento é laminar, o diagrama é uma reta e nota-se que o fator de atrito é função somente do número de Reynolds, havendo uma única reta para todos os valores de rugosidade relativa testados. Verifica-se que nesta região f = 64/Re.
(II) 2000 < Re < 4000 : região de transição entre os regimes laminar e turbulento.
(III) Reta na parte inferior da região de escoamento turbulento: nesta região, o escoamento é hidraulicamente liso, ou seja, os elementos de rugosidade estão imersos na subcamada viscosa. Quando isto acontece, o fator de atrito só depende do número de Reynolds e as curvas relativas aos diferentes valores de rugosidade relativa são coincidentes. Com o aumento do número de Reynolds, a subcamada viscosa fica cada vez mais delgada e as curvas acabam por deixar a região (III) para uma dado número de Reynolds. Note que quanto maior o valor de rugosidade relativa, menor é número de Reynolds para o qual as curvas começam a se distanciar desta região.
(IV) Região entre a reta (III) e a linha tracejada que delimita a região (V): nesta região, as curvas relativas às diferentes rugosidades relativas se afastam do regime hidraulicamente liso. O fator de atrito depende tanto do número de Reynolds quanto da rugosidade relativa.
(V) Região de curvas paralelas ao eixo das abcissas: esta região é delimitada pela linha tra- cejada no gráfico e corresponde à condição de escoamento hidraulicamente rugoso. Nesta região, o fator de atrito é função exclusiva da rugosidade relativa.
Figura 7 – Diagrama de Moody (1944).
LE LP
V
LE
LP
D 1 D 2
1
1
2
2
1 V 2
hs
Figura 8 – Linha piezométrica (LP) e linha de energia (LE), com as perdas distribuídas e locali- zadas indicadas.
3.3 Perda de carga singular
O escoamento em uma tubulação pode exigir a passagem do fluido através de uma variedade de acessórios, curvas ou mudanças de área. Ao passar por estes dispositivos, perdas de carga adicionais, chamadas de perdas de carga localizadas ou singulares, são encontradas, sobretudo como resultado da separação do escoamento. Essas perdas variam de dispositivo para disposi- tivo e, devido à complexidade do escoamento no interior destes, esta perda de carga adicional normalmente é determinada experimentalmente e, para a maioria dos componentes, são forne- cidas na forma adimensional. A expressão mais comumente utilizada para modelar uma perda de carga localizada, hs, é
hs = Ks
V^ ¯ 2
2 g
onde Ks é o coeficiente de perda de carga singular, função da geometria da singularidade e do número de Reynolds característico do escoamento. Ou seja,
Ks = Ks(Re, geometria da singularidade) =
2 ghs V^ ¯ 2.^ (5) Em muitas situações reais, o número de Reynolds é grande o suficiente para que o escoamento através do componente seja dominado pelos efeitos de inércia e a dependência do coeficiente de perda de carga localizada em relação ao número de Reynolds seja muito pequena. Dessa forma, na maioria dos casos práticos, Ks é função somente da geometria do dispositivo considerado. Outra informação relevante para esta experiência é que no caso da perda de carga singular ser causada por uma redução ou ampliação de diâmetro, a velocidade média, V¯ , que deve ser utilizada nas expressões (4) e (5) é a maior, ou seja, aquela que ocorre na tubulação de menor diâmetro.
3.4 Linhas piezométrica e de energia
Os conceitos de linha piezométrica (LP) e linha de energia (LE) nos permitem realizar uma interpretação geométrica do escoamento e podem ser utilizados para propiciar um melhor en- tendimento do mesmo. Estas linhas estão ilustradas na figura 8. A pressão estática, medida pelos tubos piezométricos, é igual a soma da carga de pressão e de elevação, e esta soma é denominada carga piezométrica. A linha piezométrica de um
aproximação, desprezamos as perdas de carga entre as seções 1 e 2, e podemos então aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente,
p 1 ρ
V 12
p 2 ρ
V 22
Isolando a queda de pressão,
p 1 − p 2 =
ρ 2
(V 22 − V 12 ) =
ρV 22 2
[
V 1
V 2
) 2 ]
Da equação da continuidade, −ρV 1 A 1 + ρV 2 A 2 = 0,
ou
V 1 A 1 = V 2 A 2 ⇒
V 1
V 2
A 2
A 1
Substituindo, obtemos
p 1 − p 2 =
ρV 22 2
[
A 2
A 1
) 2 ]
⇒ V 2 =
2(p 1 − p 2 ) ρ[1 − (A 2 /A 1 )^2 ]
Multiplicando por A 2 , obtemos uma expressão para a vazão volumétrica teórica, Qt,
Qteór. = A 2
2(p 1 − p 2 ) ρ[1 − (A 2 /A 1 )^2 ]
Alguns fatores limitam o emprego desta equação para calcular a vazão volumétrica real através de um medidor. Primeiramente, a área real do escoamento na seção 2 é desconhecida quando a vena contracta é pronunciada, como comumente acontece em placas de orifício. Além disso, os perfis de velocidade aproximam-se do escoamento uniforme somente para números de Reynolds altos e as perdas podem tornar-se importantes quando há separação do escoamento. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura da pressão diferencial. Para ajustar a equação teórica para um dado número de Reynolds e razão de diâmetros D 0 /D 1 , definimos um coeficiente de descarga, C. Fazendo β = D 0 /D 1 , de forma que (A 0 /A 1 )^2 = (D 0 /D 1 )^4 = β^4 , podemos escrever a equação utilizada para a obtenção da vazão real:
Q =
CA 0
1 − β^4
2(p 1 − p 2 ) ρ
Como as variáveis que intervém no escoamento através da placa de orifício são: ∆p = (p 1 − p 2 ) ; D 1 ; D 0 ; V 1 ; μ e ρ, pressupõe-se a existência de uma função dimensionalmente homogênea representativa do fenômeno do tipo f (∆p, D 1 , D 0 , V 1 , μ, ρ) = 0 ou a função de argumentos adimensionais equivalente, resultante da aplicação do Teorema de Buckingham da Análise Dimensional: ∆p 1 2 ρ^ V¯ 12 =^ φ
ρ V¯ 1 D 1 μ
D 0
D 1
Esta relação e a equação da vazão obtida anteriormente deixam claro a dependência do valor do coeficiente funcional da geometria (D 0 /D 1 ) e das condições de escoamento (Re), conforme mostram as relações abaixo:
C = C
ρ V¯ 1 D 1 μ
D 0
D 1
= C
Re,
D 0
D 1
de volta à medida do conduto, conforme mostrado na Figura 4.
Fig. 4 Esquema do Tubo Venturi
Figura 10 – Esquema de um medidor do tipo tubo de Venturi.
3.5.2 Tubo Venturi
O tubo venturi é um dispositivo composto por:
- um trecho de tubulação de entrada com seção igual à do conduto ao qual está acoplado e onde está instalado um anel piezométrico para medir a pressão estática nesta seção;
- uma tubeira convergente que tem por objetivo uniformizar a distribuição de velocidade na seção circular reduzida, chamada garganta, também munida de um anel piezométrico para medição de pressão estática;
- uma tubeira divergente que, gradualmente, leva a seção circular da garganta de volta à medida do conduto, conforme mostrado na figura 10.
O equacionamento do medidor Venturi á análogo àquele da placa de orifício, sendo que para o tubo Venturi a seção de escoamento mínima praticamente coincide com a seção da garganta, resultando uma perda de carga menor que a obtida no caso anterior para uma mesma vazão.
3.5.3 Bocal
É um medidor semelhante ao tubo Venturi, porém sem a tubeira divergente, sendo também chamado tubo Venturi curto. Seu equacionamento fornece resultados bastante próximos aos obtidos para o tubo Venturi.
4 Aparato experimental
A instalação do laboratório, esquematizada na figura 12, é constituída por:
a) Uma bomba centrífuga
b) Um trecho de tubulação com diâmetro D 1 conhecido.
c) Uma redução ou uma ampliação concêntrica da seção de escoamento (depende da ban- cada)
d) Um trecho de tubulação com diâmetro D 2 conhecido.
e) Seis piezômetros graduados sendo três em cada trecho de tubulação, conectados a uma linha de ar comprimido.
Figura 12 – Instalação do laboratório.
f.2) Registrar a diferença de cotas entre os meniscos do mercúrio nos dois ramos do manômetro diferencial ligado às tomadas de pressão do medidor de vazão.
g) Reduzir gradativamente a vazão, de modo a se obter cinco valores intermediários entre a vazão máxima e a nula, repetindo, em cada condição, os itens ‘e)’ e ‘f)’.
6 Questões propostas
Onde necessário, utilize o valor de g = 9,79 m/s^2 para a aceleração da gravidade^1.
- Determine a viscosidade dinâmica e a massa específica da água a partir da temperatura medida. Isto pode ser feito usando, por exemplo, as tabelas encontradas nos apêndices dos livros indicados na bibliografia deste curso de Mecânica dos Fluidos ou aquelas afixadas na sala de túneis de vento.
- Para cada uma das vazões:
a) Determine a vazão volumétrica no sistema e a velocidade média e número de Rey- nolds para cada um dos trechos de tubulação. Forneça numa tabela os resultados obtidos. (^1) www.iag.usp.br/geofisica/geodesia/laboratorio.htm
b) Trace a linha piezométrica (LP = p/γ + z) e a linha de energia (LE = αV 2 / 2 g + p/γ + z) no mesmo gráfico e em escala conveniente. Justifique o comportamento das curvas. c) Calcule, para cada um dos trechos de tubulação, o valor de h′ L = hL/L e do fator de atrito f. Mostre os resultados numa tabela. d) Calcule a perda de carga devida à singularidade hs e o respectivo coeficiente de perda Ks. Mostre os resultados numa tabela.
- Trace, para cada um dos trechos de tubo, o gráfico da função h′ L = h′ L(Q), onde h′ L = hL/L é a perda de carga por unidade de comprimento do tubo e Q é a vazão volumétrica, e justifique analiticamente o comportamento das curvas.
- Determine, usando a equação de Colebrook, a rugosidade equivalente relativa (/D) dos dois trechos de tubo para cada uma das vazões e mostre os resultados numa tabela. A partir desses dados, calcule a média e o desvio padrão de /D para cada trecho.
- Num gráfico bilogarítmico de f = f (Re), plote os pontos referentes aos valores de fator de atrito de cada trecho de tubo obtidos na questão 2c) e as curvas obtidas usando a equação de Colebrook com os valores médios de /D calculados na questão 4. Comente. Qualitativamente, os pontos obtidos seguem os resultados obtidos por Nikuradse? Em caso afirmativo, em quais das regiões assinaladas na figura 6 os pontos se encontram?
- Trace o gráfico da função: Ks = Ks(Re), ou seja, o coeficiente de perda de carga singular da redução (ou ampliação) dos diâmetros e compare os resultados com valores disponíveis na literatura, anexando a tabela ou gráfico utilizado, quando for o caso, citando a fonte bibliográfica.
- Trace o gráfico da função hm = hm(Q), onde hm é a diferença de cotas entre os meniscos do mercúrio do manômetro diferencial. Justificar analiticamente a curva característica de calibração obtida.
- Trace o gráfico da função C = C(Re). Comente e compare com valores encontrados na literatura, normas técnicas ou em catálogos de fabricantes.
- Desenvolva a curva característica do mesmo aparelho quando empregado na medição de vazão de querosene a 20 ℃ e compará-la com a obtida no item 7, justificando as diferenças. Sugestão: usar a mesma faixa de vazão obtida no item 7 e sobrepor as curvas.
- Determine a vazão de álcool etílico, a 36 ℃, empregando o medidor usado na experiência sendo a diferença de cotas dos meniscos 150 mm.
Referências
Colebrook, C. F. 1939. Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between the smooth and rough pipe laws. Journal of the Institute of Civil Engineers, 11 (4), 133–156.
Fox, R. W., Pritchard, P. J., & McDonald, A. T. 2011. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 7a^ ed. Rio de Janeiro: LTC.
Moody, L. F. 1944. Friction factors for pipe flow. Transactions of the ASME, 66 (8), 671–684.
