Particularidades do Teorema de Poncelet, Notas de estudo de Geometria

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Particularidades do Teorema de

Poncelet

por

Marcos Antonio Felix de Almeida

Particularidades do Teorema de

Poncelet †

por

Marcos Antonio Felix de Almeida

sob orientação da

Profa. Dra. Elisandra de Fátima Gloss de Moraes

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Corpo Docente do Curso de Pós-Graduação em Matemática em rede Nacional - PROFMAT - DM - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Agosto/ João Pessoa - PB

† (^) Este trabalho contou com apoio nanceiro da Capes.

Agradecimentos

A Deus, por ter me dado a oportunidade de estar realizando este trabalho, iluminando minha mente e meu caminho durante toda a caminhada; Aos meus pais Mário Felix de Almeida e Maria José de Almeida, que embora não estando mais comigo, iluminaram de forma brilhante e especial os meus passos e pensamentos me levando a vencer esta caminhada e para os quais eu rogo todas as noites a minha existência; A minha família, pelo incentivo e colaboração nas horas difíceis e em especial a minha esposa Osmarina Evaristo de Almeida, que de tal forma me deu forças, conança e coragem para continuar; A todos os meus colegas de curso, que de maneira carinhosa, me encorajaram com palavras de conforto e amigas e que nas horas difíceis souberam me auxiliar nos trabalhos e diculdades e por estarem comigo nesta caminhada tornando-a mais fácil, alegre e agradável, e principalmente a Renart e Mayana; A minha orientadora profa^ Elisandra Gloss pela dedicação com que me orientou durante a elaboração desse trabalho e principalmente pela constante motivação e paciência; A Jean Victor Poncelet; À CAPES pelo apoio nanceiro. iv

Dedicatória

Dedico este Trabalho de Conclusão de Curso a; Deus pela minha existência; A minha família pela fé e conança demonstrada; Aos meus amigos pelo apoio incondicional; Aos meus pais por iluminarem meu caminho e minha mente; Aos professores pelo simples fato de estarem dispostos a ensinar; Enm a todos que de alguma forma contribuíram e tornaram a minha caminhada mais fácil de ser percorrida. v

Abstract

In this work we study some applications of the Poncelet's Theorem for teaching geometry. One of our main motivations for this work is that in some the high school leved math courses the study of geometry is slightly used and in certain circunstances the theorems are not demonstrated to the knowledge of the theories discussed. Finally, a list of exercises is proposed.

Keywords: Triangles, Circles, Ellipses, Tangents.

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Sumário

• Introdução
• 1 Teoremas de Poncelet
  • 1.1 no Triângulo Retângulo
  • 1.2 Teorema de Poncelet na Circunferência
  • 1.3 Teorema de Poncelet nos Quadriláteros
• 2 Teorema de Poncelet na Elipse
  • 2.1 Redução ao caso círculo e elipse
  • 2.2 Prova do Porisma de Poncelet
• 3 Sugestão de Exercícios
• A Algumas Relações Trigonométricas
• Referências Bibliográcas

Introdução

A construção de uma educação de qualidade se dá quando reetimos sobre as necessidades dos professores e alunos e de uma metodologia educacional abrangente. Aprender é vivenciar e adquirir experiências, é enfrentar desaos, descobrir coisas novas, buscar conhecimentos. Esse trabalho foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de facilitar a aprendizagem, para ajudar os alunos e professores com relação à Geometria, no intuito de buscar maior entendimento sobre o teorema de Poncelet, cujo enunciado é: Teorema de Poncelet: Dadas duas elipses disjuntas e uma dentro da outra, se existe um polígono circunscrito à elipse interna e inscrito à externa, de n-lados, então qualquer ponto pertencente a elipse externa é vértice de algum polígono com as mesmas características. Existem várias provas desse notável teorema de Poncelet, a maioria das quais não são elementares. Por isso, nosso objetivo é encontrar uma prova elementar para uma solução não trivial no caso em que n = 3, isto é, quando temos duas elipses e um triângulo. O teorema de Poncelet é um importante resultado da geometria envolvendo cônicas inscritas e circunscritas a um polígono. Por isso vamos mostrar uma abordagem que necessita apenas de ferramentas dos programas de Ensino Médio. Neste Trabalho de Conclusão de Curso apresentaremos as contribuições

cientícas fundamentais de Jean Victor Poncelet (1788-1867) relacionadas a seus trabalhos com a Geometria. Aqui vamos apresentar particularidades do teorema de Poncelet em situacões que permitem perceber a facilidade com que tudo acontece. Mostraremos situações envolvendo triângulos e círculos, quadriláteros e círculos e elipses. Sabemos do Ensino Médio, que dado um triângulo é sempre possível construir uma circunferência inscrita e outra circunscrita ao triângulo. Suponhamos que temos duas circunferências, uma interna a outra. Será que é possível construir um triângulo ao mesmo tempo inscrito na exterior e circunscrito na interior? Apresentamos aqui um resultado bem conhecido que nos dá uma condição necessária e suciente para que tal triângulo exista.

Capítulo 1. Teoremas de Poncelet 1.1. no Triângulo Retângulo

Prova: Tomemos uma circunferência Γ de centro em O e raio r e seja P um ponto qualquer da circunferência Γ. O segmento OP é um raio. Seja t a reta perpendicular ao segmento OP no ponto P. Tomemos um outro ponto Q na reta t e tracemos o segmento OQ, como mostra a Figura 1.1. Como o lado OQ é oposto ao maior ângulo do triângulo ∆OP Q, temos que OQ > OP = r. Daí o ponto Q não pertence a circunferência Γ e portanto t é a reta tangente que procuramos. Concluímos assim

Figura 1.1: Reta tangente

que toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular a um raio no ponto de tangência.

Denição 2 ([1, Denição 3.1]) Dada uma propriedade P relativa a pontos do plano, o lugar geométrico(abreviando LG) dos pontos que possuem a propriedade P é o subconjunto £ do plano que satisfaz as duas condições a seguir: (a)Todo ponto de £ possui a propriedade P. (b)Todo ponto do plano que possui a propriedade P pertence a £. Em outras palavras, £ é o LG da propriedade P se £ for constituído exatamente pelos pontos do plano que têm a propriedade P , nem mais nem menos. No que segue, veremos alguns lugares geométricos elementares.

Denição 3 ([1, Exemplo 3.2]) Dado um número real positivo r e um ponto O do plano, o LG dos pontos do plano que distam r do ponto O é o círculo Γ de centro

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Capítulo 1. Teoremas de Poncelet 1.1. no Triângulo Retângulo

O e raio r: AO = r ⇐⇒ A ∈ Γ(O, r)

.

Figura 1.2: Círculo como LG.

Denição 4 Dados os pontos A e B no plano, a mediatriz do segmento AB é a reta perpendicular a AB e que passa por seu ponto médio.

Proposição 1.2 ([1, Proposição 3.4]) Dados pontos A e B no plano, a mediatriz de AB e o LG dos pontos do plano que equidistam de A e de B.

Figura 1.3: P ∈ (mediatriz de AB)=⇒ P A = P B.

Prova: Sejam M o ponto médio e m a mediatriz de AB como mostra a Figura 1.3. Se P ∈ m, então, no triângulo ∆P AB, P M é mediana pois temos que M é ponto médio de AB e altura devido ao segmento P M ser perpendicular a AB e daí, o

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Capítulo 1. Teoremas de Poncelet 1.1. no Triângulo Retângulo

especial cateto e hipotenusa de congruência de triângulos retângulos. Veja Figura 1.5. Em particular tem-se P A = P B. Agora, como P e O equidistam de A e de B, segue que ← P O→ é a mediatriz do segmento AB, como queríamos. O resultado a seguir é muitas vezes chamado de Teorema de Poncelet no triângulo retângulo, veja por exemplo [5].

Teorema 1.1 Dada uma circunferência Γ de raio r, inscrita em um triângulo ∆ABC retângulo em A, tem-se

AB + AC = BC + 2r. (1.1)

Prova: Considere o triângulo ∆ABC, retângulo em A, circunscrito à circunferência Γ de raio r como mostra a Figura 1.6. Tomando os pontos de tangência P , Q e R

Figura 1.6: Triângulo Retângulo

dos lados BC, AC e AB respectivamente, temos OP = OQ = OR = r, raio da circunferência. Como os lados do triângulo são tangentes à circunferência, segue da Proposição 1.1 que os raios OP, OQ e OR são perpendiculares ao lados BC, AC e AB, nos pontos de tangência P, Q e R respectivamente. Portanto, o quadrilátero

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Capítulo 1. Teoremas de Poncelet 1.2. Teorema de Poncelet na Circunferência

ORAQ é um quadrado de lado r. Já que:

AC = AQ + QC (1.2)

e AB = AR + RB, (1.3)

somando membro a membro as equações (1.2) e (1.3) obtemos

AB + AC = AQ + QC + AR + RB. (1.4)

Segue da Proposição 1.3 que AQ = AR = r, QC = P C e RB = BP. Então a equação dada em (1.4) equivale a

AB + AC = BP + P C + r + r = BC + 2r

como queríamos demonstrar.

1.2 Teorema de Poncelet na Circunferência

Antes de provarmos um resultado que é conhecido como o Teorema de Poncelet na circunferência, precisamos de alguns resultados preliminares.

Proposição 1.4 Sejam Γ um círculo de centro O e AB, CD duas cordas de Γ. Se as cordas AB e CD, se intersectam no ponto P interior a Γ, então

P A.P B = P C.P D.

Prova: Traçando os segmentos BC e AD, como mostra a Figura 1.7, pelo teorema do ângulo inscrito (veja [1, Proposição 3.18]), temos as igualdades para os ângulos

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Capítulo 1. Teoremas de Poncelet 1.2. Teorema de Poncelet na Circunferência

Figura 1.8: Potência de Ponto Interior

Proposição 1.5 ([1, Proposição 3.5]) Seja A OBÒ um ângulo dado. Se P é um ponto do mesmo, então

d(P, − AO→) = d(P, − BO−→) ⇐⇒ P ∈ (bissetriz de A OBÒ ).

Figura 1.9: P ∈ (bissetriz de ∠AOB)

Prova: Suponha que P pertence à bissetriz de A OBÒ e sejam M e N , respectivamente, os pés das perpendiculares baixadas de P às retas ← AO→ e ← BO→ como mostra a Figura 1.9. Como M OPÒ = N OPÒ , O M PÓ = O N P̂ = 90◦^ e OP é comum, segue que os triângulos ∆OM P e ∆ON P são congruentes por LAAo. Daí, P M = P N , ou seja, d(P, ← OA→) = d(P, ← OB→). Reciprocamente, seja P um ponto no interior do ângulo A OBÒ , tal que P M = P N , onde M e N são os pés

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Capítulo 1. Teoremas de Poncelet 1.2. Teorema de Poncelet na Circunferência

das perpendiculares baixadas de P respectivamente às retas ← OA→ e ← OB.→ Então, os triângulos ∆M OP e ∆N OP são novamente congruentes, agora pelo caso CH de triângulos retângulos (P M = P N e OP comum). Mas aí M OPÒ = N OPÒ , donde P está sobre a bissetriz do ângulo A OBÒ , como queríamos provar.

Teorema 1.2 ([1, Teorema 4.31]). Um círculo γ de raio r e centro I é interior a um circulo Γ de raio R e centro O. Se A ∈ Γ e AB e AC são cordas de Γ tangentes a γ, então γ é o círculo inscrito no triângulo ∆ABC se e só se

R^2 − d^2 = 2rR.

com d = OI.

Prova: Se P é o ponto de interseção do prolongamento da bissetriz AI do ângulo B ACÒ com Γ, como mostra a Figura 1.10, segue do Corolário 1 que

AI.IP = R^2 − OI^2 = R^2 − d^2. (1.6)

Agora, sendo X e Y respectivamente os pés das perpendiculares traçadas de O e I

Figura 1.10: A distância OI