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Aula 1 – Variáveis aleatórias contínuas
Objetivos: Nesta aula iremos estudar as variáveis aleatórias contínuas e você aprenderá os seguintes conceitos:
- função de densidade de probabilidade; • função de distribuição acumulada de variáveis aleatórias contínuas;
- esperança e variância de variáveis aleatórias contínuas; • a distribuição uniforme contínua.
Noções básicas No estudo das distribuições de frequência para variáveis quantitativas contínuas, vimos que, para resumir os dados, era necessário agrupar os valores em classes. O histograma e o polígono de frequências eram os gráficos apropriados para representar tal distribuição. Para apresentar os conceitos básicos relativos às variáveis aleatórias contínuas, vamos considerar os histogramas e respectivos polígonos de frequência apresentados na Figura 1.1. Esses gráficos representam as distribuições de frequências de um mesmo conjunto de dados, cada uma com um número
de classes diferente − no histograma superior, há menos classes do que no histograma inferior. Suponhamos, também, que as áreas de cada retângulo sejam iguais às frequências relativas das respectivas classes (essa é a definição mais precisa de um histograma). Pelos resultados vistos anteriormente, sabemos que a soma das áreas dos retângulos é 1 (as frequências relativas devem somar 1 ou 100%) e que cada frequência relativa é uma aproximação para a probabilidade de um elemento pertencer a determinada classe. Analisando atentamente os dois gráficos, podemos ver o seguinte: à medida que aumentamos o número de classes, diminui a diferença entre a área total dos retângulos e a área abaixo do polígono de frequência. A divisão em classes se fez pelo simples motivo de que uma variável contínua pode assumir infinitos (não- enumeráveis) valores. Faz sentido, então, pensarmos em reduzir, cada vez mais, o comprimento de classe δ, até a situação limite em que δ → 0. Nessa situação limite, o polígono de frequências se transforma em uma curva na parte positiva (ou não-negativa) do eixo vertical, tal que a área sob ela é igual a 1. Essa curva será chamada curva de densidade de probabilidade.
Figura 1.1: Histogramas e respectivos polígonos de frequência. Considere, agora, a Figura 1.2, em que é apresentado o histograma superior da figura anterior, mas agora ilustramos um fato visto anteriormente: para estimar a frequência de valores da distribuição entre os pontos a e b, podemos usar a área dos retângulos sombreados de cinza-claro.
Figura 1.2: Cálculo da frequência entre dois pontos a e b.
Conforme ilustrado na Figura 1.3, a diferença entre essa área e a área sob o polígono de frequências tende a diminuir à medida que se aumenta o número de classes. Essa diferença é a parte sombreada de cinza mais escuro. Isso nos permite concluir o seguinte: no limite, quando δ → 0, podemos estimar a probabilidade de a variável de interesse estar entre dois valores A e B pela área sob a curva de densidade de probabilidade, delimitada pelos pontos A e B.
Figura 1.3: Diferença entre as áreas dos retângulos e a área sob o polígono de frequência.
Variável aleatória contínua Embora já visto anteriormente, voltamos a apresentar o conceito de variável aleatória, por ser esse um dos conceitos mais importantes deste curso. Definição
Uma variável aleatória é uma função real (isto é, que assume valores em R) definida no espaço amostral
de um experimento aleatório. Dito de outra forma, uma variável aleatória é uma função que associa a cada evento
de um número real.
Já estudamos também as variáveis aleatórias discretas e agora vamos introduzir as variáveis aleatórias contínuas e para isso apresentamos novamente esses conceitos. Definição Uma variável aleatória é discreta se sua imagem (ou conjunto de valores que ela assume) for um conjunto finito ou enumerável. Se a imagem for um conjunto não-enumerável, dizemos que a variável aleatória é contínua.
Função de densidade de probabilidade Os valores de uma v.a. contínua são definidos a partir do espaço amostral de um experimento aleatório. Sendo assim, é natural o interesse na probabilidade de obtenção de diferentes valores dessa variável. O comportamento probabilístico de uma variável aleatória contínua será descrito pela sua função de densidade de probabilidade. Definição Uma função de densidade de probabilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes propriedades:
- f(x) ≥ 0
- A área total sob o gráfico de f(x) tem de ser igual a 1. Dada uma função f(x) satisfazendo as propriedades acima, então f(x) representa alguma variável aleatória contínua X, de modo que P(a ≤ X ≤ b) é a área sob a curva limitada pelos pontos a e b (veja a Figura 1.4).
Figura 1.4: Probabilidade como área.
Da interpretação de probabilidade como área, resulta que FX(x) é a área à esquerda de x sob a curva de densidade fX. Veja a Figura 1.6:
Figura 1.6: Função de distribuição acumulada - cálculo a partir da área sob a curva de densidade.
Existe uma relação entre a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição acumulada, que é resultante do Teorema Fundamental do Cálculo. Por definição, temos o seguinte resultado:
e do Teorema Fundamental do Cálculo resulta que
isto é, a função de densidade de probabilidade é a derivada da função de distribuição acumulada.
Esperança e variância de variáveis aleatórias contínuas Nas distribuições de frequências agrupadas em classes de variáveis quantitativas contínuas, vimos que a média e a variância da distribuição, medidas de centro e de dispersão, respectivamente, podiam ser calculadas como
e onde fi era a frequência relativa da classe i e xi era o ponto médio da classe i. Continuando com a idéia inicial da aula de tomar classes de comprimento cada vez menor, isto é, fazendo δ → 0, chegamos às seguintes definições de esperança e variância de uma variável aleatória contínua. Definições Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade fX. A esperança (ou média ou valor esperado) de X é definida como
e a variância de X é definida como
O desvio padrão é definido como
Não entraremos em detalhes de cálculo dessas fórmulas; nosso enfoque será na interpretação da média e da variância como medidas de centro e de dispersão. Para algumas distribuições específicas, apresentaremos os valores de E(X) e V ar(X), mostrando a sua influência sobre a distribuição.
As mesmas propriedades vistas para variáveis aleatórias discretas continuam valendo no caso contínuo:
Se interpretamos a função de densidade de probabilidade de X como uma distribuição de massa na reta real, então E(X) é o centro de massa desta distribuição. Essa interpretação nos permite concluir, por exemplo, que se fX é simétrica, então E(X) é o valor central, que define o eixo de simetria.
Exemplo 1.1 — Distribuição uniforme Considere a função fX apresentada na Figura 1.7:
Figura 1.7: Função de densidade de probabilidade para o Exemplo 13.1.
- Encontre o valor de k para que fX seja uma função de densidade de probabilidade de uma v.a. X.
- Determine a equação que define fX.
- Calcule Pr(2 ≤ X ≤ 3).
- Encontre E(X).
- Determine o valor de k tal que Pr(X ≤ k) = 0, 6.
- Encontre a função de distribuição acumulada de X. Solução
- Como a área tem que ser 1, temos de ter 1 = (5 − 1) × k ⇒ k =1/ 4 Temos que
- A probabilidade pedida é a área sombreada na Figura 1.8. Logo, Pr(2 ≤ X ≤ 3) = (3 − 2) × 1 /4=1/ 4
Figura 1.8: Cálculo de Pr(2 ≤ X ≤ 3) para o Exemplo 13.1.
- Por argumentos de simetria, a esperança é o ponto médio, ou seja, E(X) = 3.
Figura 1.12: Função de densidade de probabilidade para o Exemplo 13.2.
- Encontre o valor de k para que fX seja uma função de densidade de probabilidade de uma v.a. X.
- Determine a equação que define fX.
- Calcule Pr(2 ≤ X ≤ 3).
- Encontre a função de distribuição acumulada de X.
- Determine o valor de k tal que Pr(X ≤ k) = 0, 6. Solução
- Podemos decompor a área sob a reta como a área de um triângulo e a área de um retângulo (na verdade, o resultado é a área de um trapézio - veja a Figura 1.13). Então, temos de ter 1 = (6 − 1) × 0, 1 +( 1 / 2 ).(6 − 1) × (k − 0, 1) ⇒0, 5 =( 5 / 2 )(k − 0, 1) ⇒ k = 0, 3
Figura 1.13: Cálculo de k para o Exemplo 13.2.
- fX é uma função linear e a reta passa pelos pontos (1; 0, 1) e (6; 0, 3), o que nos dá o seguinte sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 0, 3 − 0, 1 = 5b ⇒ b = 0, 04
Substituindo este valor na primeira equação, obtemos que a = 0, 1 − 0, 04 = 0, 06. Logo,
- Veja a Figura 1.14, em que a área sombreada corresponde à probabilidade pedida. Vemos que essa área é a área de um trapézio de altura 3 − 2 = 1, base maior igual a fX(3) = 0, 06 + 0, 04 × 3 = 0, 18 e base menor igual a f(2) = 0, 06 + 0, 04 × 2 = 0, 14. Logo, Pr(2 ≤ X ≤ 3) = (0, 18 + 0, 14)/ 2 × 1 = 0, 16
0,
0,
Figura 1.14: Cálculo de Pr(2 ≤ X ≤ 3) para o Exemplo 13.2.
- Veja a Figura 1.15; nela podemos ver que, para x ∈ [1, 6], FX(k) é a área de um trapézio de altura k − 1; base maior igual a fX(k) e base menor igual a fX(1). Logo, FX(k) =[(0, 06 + 0, 04k) + 0, 1]/2 × (k − 1) = (0, 08 + 0, 02k)(k − 1), ou seja,
Figura 1.15: Função de distribuição acumulada para o Exemplo 13.2.
- Queremos determinar k tal que FX(k) = 0, 6. Logo, 0, 6 = 0, 02k^2 + 0, 06k − 0, 08 ⇒ 0, 02k^2 + 0, 06k − 0, 68 = 0 ⇒ k^2 + 3k − 34 = 0 ⇒
A raiz que fornece resultado dentro do domínio de variação de X é
Exemplo 1.3 - Distribuição triangular Considere a função fX apresentada na Figura 1.16:
- Encontre o valor de h para que fX seja uma função de densidade de probabilidade de uma v.a. X (note que o triângulo é isósceles).
Figura 1.16: Função de densidade de probabilidade para o Exemplo 13.3.
- Determine a equação que define fX.
Figura 1.18: Cálculo de k tal que Pr(X ≤ k) = 0, 6. Novamente, vamos usar a regra do complementar: como a área (probabilidade) abaixo de k tem de ser 0,6, resulta que a área (probabilidade) acima de k tem de ser 0,4; então, a área do triângulo superior tem de ser 0, 4. A altura desse triângulo é obtida substituindo-se o valor x = k na equação da segunda reta, o que nos dá h = 1 – k/4. Substituindo na fórmula que dá a área de um triângulo, resulta:
A raiz está fora do domínio de definição da função; logo, essa solução não serve. A solução para o problema, então, é:
- Assim como a fdp, a fda será definida por 2 equações: uma para os valores de x no intervalo [0, 2) e outra para valores de x no intervalo [2, 4]. Para x ∈ [0, 2), temos que FX(x) é a área do retângulo sombreado na Figura 1.19. Logo, FX(x) =(1/2)(x − 0) ×x/ 4 x ∈ [0, 2)
Figura 1.19: Cálculo de FX(x) para 0 ≤ x ≤ 2. Para x ∈ [2, 4], Fx(x) é a área sombreada na Figura 1.20, que pode ser calculada subtraindo-se de 1 (área total) a área do triângulo superior. Logo, FX(x) = 1 – (1/2)(4 − x)( 1 – x/ 4 ).
Figura 1.20: Cálculo de FX(x) para 2 ≤ x ≤ 4. Combinando os resultados obtidos, resulta a seguinte expressão para FX :
Veja a Figura 1.21; para 0 ≤ x < 2, o gráfico de FX é uma parábola côncava para cima; para 2 ≤ x ≤ 4, o gráfico de FX é uma parábola côncava para baixo.
Figura 1.21: Função de distribuição acumulada do Exemplo 13.3.
Distribuição uniforme Uma v.a. contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] (finito) se sua função de densidade é constante nesse intervalo, ou seja, temos de ter f(x) = k ∀x ∈ [a, b] Então, o gráfico da fdp. de X é como o ilustrado na Figura 1.22. Para que tal função seja uma fdp, temos de ter k > 0 e a área do retângulo tem de ser 1, ou seja, (b − a) × k = 1 ⇒ k =1/(b – a)
Figura 1.22: Densidade da distribuição uniforme no intervalo [a, b].
Resumo da Aula Nesta aula você iniciou o estudo sobre variáveis aleatórias contínuas, aprendendo os seguintes conceitos:
- Função de densidade de probabilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes propriedades:
- f(x) ≥ 0
- A área total sob o gráfico de f(x) tem que ser igual a 1.
- Dada uma função de densidade f(x) referente a uma v.a. X, então P(a ≤ X ≤ b) é a área sob a curva limitada pelos pontos a e b.
- A função de distribuição acumulada é definida como F(x) = Pr(X ≤ x) ∀x ∈ R
- A densidade uniforme no intervalo (a, b) é
E (X) = (a + b)/ Var (X) =(b − a)^2 /
Exercícios
- Considere a seguinte função:
(a) Esboce o gráfico de g(x). (b) Encontre o valor de K para que g(x) seja uma função de densidade de probabilidade. (c) Encontre a função de distribuição acumulada. (d) Calcule os quartis da distribuição.
- A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com f.d.p.
(a) Qual é a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido ao acaso? (b) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95% dos dias?
- Seja X uma v.a. com função de densidade de probabilidade dada por
Calcule Pr(X ≤ 1 /2 |1/ 3 ≤ X ≤ 2 / 3 ).
- A quantidade de líquido (x) utilizada em latas de coca-cola tem distribuição uniforme no intervalo 345 ml a 355 ml, ou seja, X ∼ U [345, 355]. São rejeitadas pelo processo de controle de qualidade as latas que possuam menos de 346 ml ou mais de 354 ml. (a) calcule Pr(X > 353); (b) calcule Pr(X < 346); (c) qual é a proporção de latas rejeitadas?
Solução dos Exercícios
- (a) Veja a Figura 1.25. Note que g(0) = 2K e g(1) = K e g(x) é uma função linear.
(b) A área total, que deve ser igual a 1, é a área de um trapézio com altura h = 1, base maior igual a 2K e base menor igual a K. Logo,1 =(K + 2K)/2 × 1 ⇒ K =2/ 3
Figura 1.25: Solução do Exercício 13.1 - gráfico de g(x). (c) Para cada x ∈ [0, 1], FX(x) é a área de um trapézio de altura x, base menor igual a fX(x) = (2/3)(2 − x) e base maior igual a 4/3. Veja a Figura 1.26. Logo,
Figura 1.26: Cálculo da fda para o Exercício 13.1. Resulta que
(d) Sejam Q1,Q2 e Q3 os três quartis:
A raiz que fornece solução no domínio de X é:
A raiz que fornece solução no domínio de X é:
Figura 1.28: Solução do Exercício 13.2 - Cálculo do tamanho do estoque.
- Sabemos que Pr(A|B) =Pr(A ∩ B)/Pr(B). Assim,
Veja a Figura 1.29. Ambos os termos referem-se a áreas de trapézios. O numerador refere-se à área do trapézio sombreado de cinza-escuro e o denominador refere-se ao trapézio correspondente a toda a área sombreada (cinza-claro e cinza-escuro). O trapézio cinza-escuro tem altura 1/2 − 1 /3=1/6, base maior igual a f( 1 / 2 )= 2 × 1 /2= 1 e base menor igual a f( 1 / 3 )= 2× 1 /3=2/3. O trapézio sombreado completo tem altura 2 / 3 − 1 /3=1/3, base
maior igual a f( 2 / 3 )= 2 × 2 /3=4/ 3 e base menor igual a f( 1 / 3 )= 2 × 1 /3=2/3. Logo,
Figura 1.29: Solução do Exercício 13.3.
- Seja X = “conteúdo da lata de coca-cola”. Então, X ∼ U [345, 355] (a) Pede-se Pr(X > 353) = 1 − Pr(X ≤ 353) = 1 − FX(353) = 1 – ( 353 – 345 )/( 355 – 345 ) = 0, 2
(b) Pede-se Pr(X < 346) = Pr(X ≤ 346) = FX(346) = ( 346 – 345 )/( 355 – 345 )= 0, 1 (c) Pede-se Pr(350 − 4 < X < 350 + 4) = Pr(346 < X < 354) = Pr(346 < X ≤ 354) = Pr(X ≤ 354) − Pr(X ≤ 346) = ( 354 – 345 )/( 355 – 345 ) – ( 346 – 345 )/( 355 – 345 ) = 0, 8 Logo, a proporção de latas rejeitadas é 1−0, 8 = 0, 2, ou seja, 20% das latas são rejeitadas pelo processo de controle de qualidade. É uma proporção bastante alta.
Bibliografia [1] ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIAMS, Thomas A. Estatística Aplicada à Administração e à Economia. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002 [2] MOORE, David S.; McCabe, George P.; DUCKWORTH, William M.; SCLOVE, Stanley L. A Prática da Estatística Empresarial – Como Usar Dados para Tomar Decisões. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006 [3] MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística Básica, 5a Edição. São Paulo: Saraiva, 2006 [4] TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística, 9a. Edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2005 [5] FARIAS, Ana M.; Métodos Estatísticos I. Rio de Janeiro. Fundação CECIERJ, 2009.
