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Este documento aborda a solução de equações de diferenças lineares de primeira ordem e equações diferenciais de primeira ordem, bem como a estabilidade de pontos de equilíbrio e o modelo de crescimento populacional de verhulst. Além disso, é apresentado o conceito de logaritmo e suas propriedades.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de aula
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Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro
Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação Mestrado Pro ssional em Mate- mática em Rede Nacional como requisito par- cial para a obtenção do grau de Mestre
Orientadora Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira
Tavoni, Robinson Os modelos de crescimento populacional de Malthus e Verhulst: uma motivação para o ensino de logaritmos e exponenciais / Robinson Tavoni. - Rio Claro, 2013 70 f. : il., figs., gráfs., tabs.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas Orientador: Renata Zotin Gomes de Oliveira
T234m
Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP
Dedico esse trabalho à minha mãe, pelo que ela me ensinou até hoje e pelo seu incentivo.
À minha família, em especial minha mãe, meu pai e minha irmã que sempre me apoiaram e tiveram paciência comigo. Aos professores e coordenadores do Mestrado que nos incentivavam e nos davam força e resiliência para chegar ao m. Em especial, agradeço a minha orientadora Profa Dra^ Renata Zotin Gomes de Oliveira com quem aprendi muito e sempre esteve disposta a me ensinar e ajudar e a quem também sou imensamente grato. À CAPES, pelo apoio nanceiro. À SBM, pela oportunidade que proporcionou a nós, professores da rede pública de ensino.
This work has as main objective to present a suggestion how to introduce the concepts of exponential and logarithmic functions using a software that provides some activities on discrete models of population growth - Malthus and Verhulst.
Keywords: Mathematical Modeling, Exponential Function, Population Growth, Lo- garithmic Function.
Logaritmos e exponenciais podem ser identi cados em situações do dia-a-dia tais como: crescimento populacional, nanciamento de um carro ou casa, absorção de um remédio, datação por carbono, resfriamento de um corpo, etc. Na Educação Básica, na maioria das vezes, são ensinados de maneira técnica e as aplicações são consequências. Nem sempre é possível perceber, por exemplo, que os logaritmos foram criados como instrumento para tornar mais simples cálculos aritméticos complicados. Posteriormente veri cou-se que a importância dos logaritmos na Matemática e nas Ciências em geral era bem maior do que se pensava ([16]). Em Lima [16])a de nição de logaritmo natural é dada através da área de uma faixa de hipérbole, bem como a demonstração de algumas propriedades. Além disso, o conceito de função exponencial é introduzido posteriormente, diferentemente do que acontece na maioria dos livros didáticos. No livro de Dante [11] é feito um comentário sobre essa abordagem via área de faixa de hipérbole somente no nal do capítulo sobre logaritmos. Em outros livros didáticos em geral é apresentado um problema de motivação para o ensino de exponenciais e na sequência o conteúdo é desenvolvido. O intuito dessa pesquisa é dar suporte su ciente ao professor de Matemática da Educação Básica para que trabalhe exponenciais e logaritmos de maneira diferente em relação aos livros didáticos, usando um software como motivação para o desenvolvi- mento do conteúdo matemático. No segundo capítulo apresentamos o suporte teórico necessário para um bom enten- dimento do texto, uma vez que a teoria apresentada não é trabalhada no ensino médio: uma introdução ao estudo de equações de diferenças e diferenciais, de primeira ordem (técnicas de resolução, pontos de equilíbrio, análise de estabilidade). Os exemplos e abordagens que serão utilizados permitirão que alguns desses conceitos sejam intro- duzidos mesmo que de forma intuitiva, como por exemplo, as equações de diferenças. No terceiro capítulo será analisado o ensino de funções exponenciais e logarítmicas no Ensino Médio, a partir de alguns livros didáticos. No quarto capítulo apresentamos o software Crescimento Populacional da UNICAMP - M 3 −Matemática e Multimídia [17], bem como uma sugestão de atividades para o estudo de exponenciais e logarit- mos. No último capítulo são apresentadas algumas considerações sobre o trabalho desenvolvido.
22 Equações de Diferenças e Equações Diferenciais
Exemplo 2.1. Em seguida estão alguns exemplos de classi cação de equações de diferenças.
Observação 2.1. As equações do Exemplo (2.1) podem ser escritas de forma diferente dependendo do valor inicial para n. Por exemplo: an = an− 3 para n ≥ 3.
De nição 2.2. As equações lineares de primeira ordem são da forma
yn+1 + ayn = Rn.
Se Rn = 0 temos yn+1 +ayn = 0, ou seja, equação linear homogênea de primeira ordem.
Dada a equação linear de primeira ordem yn+1 + ayn = 0, podemos escrevê-la na forma yn+1 = −ayn. Considerando y(0) = y 0 e substituindo n por valores discretos temos: y 1 = −ay 0 y 2 = −ay 1 = (−a)(−a)y 0 = (−a)^2 y 0 , y 3 = −ay 2 = (−a)(−a)^2 y 0 = (−a)^3 y 0 , y 4 = −ay 3 = (−a)(−a)^3 y 0 = (−a)^4 y 0 , ...
yn = (−a)ny 0. (2.1) Mostremos (2.1) por Indução Finita. Como y 0 é válido por ser a condição inicial, supõe-se que (2.1) é verdadeira para n = k (hipótese indutiva), ou seja,
yk = (−a)ky 0.
Admitindo a recorrência e a hipótese indutiva, veri quemos a validade para n = k + 1:
yk+1 = −ayk = (−a)(−a)ky 0 = (−a)k+1y 0.
Assim, (2.1) vale para ∀n ∈ N, portanto é solução da equação yn+1 = −ayn com y(0) = y 0.
Exemplo 2.2. Suponhamos que uma pessoa deposite R$ 1000,00 numa aplicação que oferece 5% de juros ao mês. Seja Pn o valor após n meses da aplicação. Como esse valor é igual ao valor do mês anterior (Pn− 1 ) mais os juros temos:
Pn = Pn− 1 + 0, 05 Pn− 1 = 1, 05 Pn− 1.
Equações de diferenças 23
Assim, temos uma equação linear homogênea de primeira ordem: Pn = 1, 05 Pn− 1. Como o rendimento é mensal, temos:
Pn = (1, 05)nP 0 = 1000.(1, 05)n. (2.2) Portanto, para sabermos o valor da aplicação após n meses utilizamos a expressão (2.2).
Exemplo 2.3. Dada a equação yn+1 = ayn + b, temos:
y 1 = ay 0 + b, y 2 = ay 1 + b = a^2 y 0 + ab + b, y 3 = ay 2 + b = a^3 y 0 + a^2 b + ab + b, ...
yn = any 0 +
∑^ n−^1 i=
aib. (2.3)
Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, com a 6 = 1, temos:
yn = any 0 + b
an^ − 1 a − 1
Por indução, demonstra-se a validade de (2.4). Como y 0 é válido para a condição inicial, ou seja, y(0) = y 0 , supõe-se que (2.4) é verdadeira para n = k (hipótese indutiva) e assim,
yk = aky 0 + b
ak^ − 1 a − 1
Admitindo a relação de recorrência e a hipótese indutiva, veri quemos a validade para n = k + 1.
yk+1 = ayk + b
yk+1 = a
aky 0 + b
(ak (^) − 1 a − 1
yk+1 = ak+1y 0 + ba
k+1 (^) − ab a − 1 +^ b,
Ponto de Equilíbrio e Estabilidade 25
E, por indução, segue que |xk − x∗| = |a|k|x 0 − x∗|. Suponha que |a| < 1. Então, k^ lim→∞ |a|k^ = 0 e
k^ lim→∞ |xk^ −^ x∗|^ = 0. Logo, x∗^ é assintoticamente estável. Se |a| > 1 , então |a|k^ → ∞. Isso signi ca que xk está se distanciando de x∗. Logo, x∗^ é instável. Se a = − 1 , então xn+2 = −xn+1 + b = −(−xn + b) + b = xn. Assim, qualquer outro valor é igual, ou seja, x 0 = x 2 = ... , e x 1 = x 3 = ..., concluindo a prova.
Teorema 2.2. A estabilidade de um ponto de equilíbrio x∗^ de xn+1 = f (xn) pode ser determinada pelo valor do módulo de
λ =
df (xn) dxn
xn=x∗ onde λ é o coe ciente angular da reta tangente à curva f (xn) no ponto x∗. Temos:
Demonstração. Pode ser veri cada em [10].
Observação 2.2. Se |λ| = 1, são necessários critérios adicionais.
Exemplo 2.4. Consideramos a equação de diferenças
xn+1 = 0, 5 xn(1 − xn). (2.5) Os pontos de equilíbrio de (2.5) são dados por :
x∗^ = 0, 5 x∗(1 − x∗), 0 , 5(x∗)^2 + 0, 5 x∗^ = 0.
Portanto, x∗^ = 0 ou x∗^ = − 1. Neste caso, f (x) = 0, 5 x(1 − x) e assim, f ′(x) = 0, 5 − x. Calculando λ, temos:
λ = 0, 5 − x∗ Quando x∗^ = 0 ⇒ λ = 0, 5 , ou seja, x∗^ = 0 é assintoticamente estável. Quando x∗^ = − 1 ⇒ λ = 1, 5 , ou seja, x∗^ = − 1 é instável.
26 Equações de Diferenças e Equações Diferenciais
2.3 Cobweb
Cobweb é um importante método grá co para análise de estabilidade de um ponto de equilíbrio para a equação xn+1 = f (xn). Esse método, que na sua tradução literal signi ca teia de aranha será apresentado a seguir. Uma vez que xn+1 = f (xn), podemos traçar o grá co de f no plano (xn, xn+1). Então, dado x 0 , podemos encontrar o valor de x 1 desenhando uma reta vertical através de x 0 de modo que também intercepte o grá co de f no ponto (x 0 , x 1 ). Em seguida, trace uma reta horizontal de (x 0 , x 1 ) até encontrar a reta y = x (função identidade) no ponto (x 1 , x 1 ). Uma reta vertical traçada do ponto (x 1 , x 1 ) interceptará o grá co de f no ponto (x 1 , x 2 ). Continuando esse processo, podemos encontrar xn para todo n > 0. Vamos analisar alguns exemplos de cobweb.
Exemplo 2.5. A equação de diferenças
xn+1 = −^12 xn +^12 , (2.6)
tem como ponto de equilíbrio x∗^ =^13 , que é assintoticamente estável pois, usando o Teorema (2.2) da seção anterior, temos que λ = −^12. Vejamos através do cobweb.
Figura 2.1: Cobweb da equação (2.6) com x 0 = 34.
Iniciando o cobweb por x 0 = 34 , notemos que xn se aproxima do ponto xo x∗^ = 13 , o que implica em estabilidade assintótica.
28 Equações de Diferenças e Equações Diferenciais
ou seja, P (t) = (1 + α)tP 0.
Exemplo 2.8. Modelo discreto de Verhulst. [18] Verhulst foi um matemático belga que introduziu a equação de crescimento logístico onde a população deverá crescer até um limite máximo sustentável, isto é, ela tende a se estabilizar num determinado valor. O modelo de Verhulst é, essencialmente, o modelo de Malthus modi cado, considerando a variação de crescimento dependendo da própria população em cada instante e satisfazendo algumas propriedades. Seja P (n) a população no instante n. Então, o crescimento absoluto de P (n) é dado por: Pn+∆n − Pn = (α − βPn)Pn∆n. Considerando P 0 dado, podemos obter Pn em função de P 0 através da fórmula de recorrência:
{ Pn+∆n = (α∆n + 1) Pn
1 − (^) αβ∆∆nn+1 Pn
A equação (2.10) pode ser dada na forma normalizada por:
Nn+1 = rNn (1 − Nn) N 0 = (^) PP^0 ∞
onde Nn = (^) α∆βn+1 Pn e (α∆n + 1) = r. P∞ é o valor de estabilidade ou valor máximo sustentável.
2.5 Equações Diferenciais Ordinárias
Nesta seção apresentaremos a de nição de Equações Diferenciais Ordinárias(EDO), algumas classi cações e métodos de resolução, com o objetivo de novamente tratar os modelos de crescimento populacional de Malthus e Verhulst, desta vez contínuos.
De nição 2.5. Uma equação diferencial é uma equação que envolve funções incógnitas e suas derivadas. É chamada equação diferencial ordinária(EDO) se a função incógnita depender apenas de uma variável.
2.6 Equações Diferenciais Ordinárias de 1a^ Ordem
De nição 2.6. Por uma equação diferencial de 1a^ ordem entendemos uma equação do tipo dydx = F (x, y) ou y′^ = F (x, y), onde F (x, y) é uma função de nida em um
Equações diferenciais de 1a^ ordem lineares 29
intervalo aberto do R^2. Se a função F (x, y) pode ser escrita como o quociente de duas
outras funções M (x, y) e N (x, y), lembrando que y′^ = (^) dxdy, temos então outra forma de escrever a equação diferencial ordinária de 1a^ ordem: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.
Uma solução da equação dydx = F (x, y) num intervalo α < x < β é uma função φ tal que φ′^ existe e satisfaz φ′(x) = F (x, φ(x)), ∀x(α, β).
Exemplo 2.9. Vamos determinar uma solução y = y(x) da equação dydx = 2x + 3 que satisfaça a condição inicial y(0) = 5. Assim, queremos uma função y = y(x), com y(0) = 5, cuja derivada seja 2 x + 3. Então, y =
(2x + 3)dx = x^2 + 3x + k, k ∈ R, são soluções da equação. Sabendo-se que y(0) = 5, obtemos k = 5. Segue que y = x^2 + 3x + 5 é a solução satisfazendo a condição dada.
O teorema a seguir estabelece sob que condições podemos garantir que um pro- blema de valor inicial tem única solução.
Teorema 2.3. Teorema da existência e unicidade de soluções para um pro- blema de valor inicial (TEU) Suponha que as funções f e ∂f∂y são contínuas em algum retângulo α ≤ t ≤ β , γ ≤ y ≤ δ contendo o ponto (t 0 , y 0 ). Então, em algum intervalo t 0 − h < t < t 0 + h contido em α < t < β existe uma única solução do problema de valor inicial
{ y′^ = f (t, y) y(t 0 ) = y 0
Para um estudo mais detalhado desse teorema o leitor pode consultar [1] ou [2].
2.7 Equações diferenciais de 1a^ ordem lineares
De nição 2.7. Uma equação diferencial ordinária(EDO) de 1a^ ordem é linear, se puder ser escrita y′^ + p(x)y = g(x), (2.13)
onde p e g são funções reais e contínuas.
Para resolver a equação (2.13) multiplicamos os dois membros da mesma por um fator μ(x), obtendo μ(x)y′^ + μ(x)p(x)y = μ(x)g(x). (2.14) Observamos que a expressão μ(x)y′^ + μ(x)p(x)y da equação (2.14) é a derivada de um produto μ(x)y, desde que μ(x) satisfaça a equação:
