Matemática Básica (MA420)
Función cuadrática y problemas de optimización
MOTIVACIÓN
1. Función cuadrática.
▪Definición
▪Valor máximo o valor mínimo.
2. Practiquemos en clase
▪Ejercicios
3. Practiquemos más en casa
▪Ejercicios
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Teorias y esquemas de la funcion cuadratica
Tipologia: Esquemas
2024
1 / 17
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Función cuadrática y problemas de optimización
MOTIVACIÓN
- Función cuadrática. ▪ Definición ▪ Valor máximo o valor mínimo.
- Practiquemos en clase ▪ Ejercicios
- Practiquemos más en casa ▪ Ejercicios
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza el concepto de función cuadrática y lo aplica en la resolución de ejercicios y problemas de optimización, demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta. Bibliografía: ❑ Libro digital de Matemática Básica (MA 420 ) - Línea de ingeniería (https://tinyurl.com/yxq 4 k 4 fv). Revisar las páginas desde 131 hasta 137. ❑ Canal de YouTube - Ejercicios resueltos sobre función cuadrática: https://tinyurl.com/y 35 lcguh ❑ STEWART James ( 2017 ) Precálculo: matemáticas para el cálculo. México, D.F.: Cengage Learning. (https://goo.su/Ptx 0 oV). Revisar las páginas desde 246 hasta 253. Pág. 251 – 253 , ejercicios 9 al 24 , 51 al 65.
Función cuadrática y problemas de optimización
❑ Academia Virtual de Ciencias (El acceso debe realizarse por el aula virtual).
Función cuadrática
Una función cuadrática es una función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , donde a, b y c son constantes y 𝑎 ≠ 0. Mediante el completamiento de cuadrados se obtiene la forma normal: 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − ℎ) 2 +𝑘 La gráfica de una función cuadrática f es una parábola de vértice ℎ; 𝑘 , donde ℎ = −𝑏 2𝑎 𝑘 = 𝑓 ℎ
Función cuadrática
❖ Se abre hacia arriba si a > 0. (^) ❖ Se abre hacia abajo si a < 0. El valor del mínimo absoluto El valor del máximo absoluto ❖ Si 𝑎 > 0 , entonces el valor mínimo absoluto de 𝑓 es 𝑓 ℎ = 𝑘 y ocurre en ℎ. ❖ Si 𝑎 < 0 , entonces el valor máximo absoluto de 𝑓 es 𝑓 ℎ = 𝑘 y ocurre en ℎ. Sea 𝑓 una función cuadrática con forma normal 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − ℎ) 2 +𝑘. El valor máximo o mínimo de 𝑓 es 𝑘 y ocurre en 𝑥 = ℎ.
Función cuadrática
Observación: El eje simetría de la parábola es la recta vertical de ecuación 𝑥 = ℎ
- Dada las siguientes funciones con regla de correspondencia: a. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 2 − 8 𝑥 + 1 b. 𝑡 𝑥 = − 0 , 5 𝑥 2 + 5 𝑥 − 5 En cada una de ellas, determine máximo o mínimo absoluto y exprese en su forma normal. Luego, trace su gráfica calculando e indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
Practiquemos en clase
- La figura muestra la gráfica de una función cuadrática 𝑓 , a partir de ella determine: a. Las coordenadas del vértice. b. Si 𝑓 − 5 = 3 , determine la regla de correspondencia de la función 𝑓, su dominio restringido y rango. c. El valor de 𝑓(− 3 , 5 ) y el valor de 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 2.
Practiquemos en clase
Problemas de optimización mediante una función cuadrática (RC)
Un problema de optimización consiste en encontrar el valor máximo o mínimo de una
función objetivo (función cuadrática), donde la o las variables están sujetas a ciertas
restricciones (dominio restringido). El valor máximo o mínimo, si existe, se denomina
solución óptima.
Practiquemos en clase (problema de optimización) - Ver Pág. 134 del LD
- Carol desea cercar con 84 metros de malla de alambre los tres compartimientos rectangulares mostrados en la figura. Se sabe que dichos compartimientos son de iguales dimensiones y que no se colocará malla en la parte limitada por la pared. Si Carol afirma que el área máxima que puede tener cada compartimiento es de 156 m^2 , ¿cuál es el porcentaje de error que comete Carol?
Figura referencial
Practiquemos más en casa
- Dada las siguientes funciones con regla de correspondencia: a. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 2
- 12 𝑥 − 3 c. 𝑓 𝑥 = − 0 , 6 𝑥 2
- 3 𝑥 + 5 b. 𝑓 𝑥 = −𝑥 2
- 2 𝑥 + 5 d. 𝑓 𝑥 = 0 , 2 𝑥 2
- 2 𝑥 + 15 En cada una de ellas, determine las coordenadas del vértice, el extremo absoluto y además exprese la función en su forma normal. Luego, trace su grafica calculando e indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
- Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = − 1 4
2
- Trace la gráfica de 𝑓 en el primer cuadrante (incluye los ejes coordenados) y determine extremo absoluto si existe. Resuelve los siguientes ejercicios y si tienes dudas aprovecha las tutorías virtuales para asegurar que tus soluciones son correctas y retroalimentar tu aprendizaje. Inscríbete a través del enlace que se encuentra en tu aula virtual.
Practiquemos más en casa
- Luisa decide dedicarse a la crianza de ganado para comercializar carne, es dueña de un campo considerable para lograr ese objetivo. Quiere cercar dos sectores rectangulares, de iguales dimensiones (como se muestra en la figura), tiene disponible 960 metros de cerca. Ella afirma que el área máxima que puede cercar es 42000 𝑚 2 , ¿cuál es el porcentaje de error que está cometiendo Luisa?
Respuestas de practiquemos más en casa
1. 𝐚. V = − 2 ; − 15 ; 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 2 2 − 15 el mínimo absoluto es - 15.
𝐛. V = 1 ; 6 ; 𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 1
2
- 6 el máximo absoluto es 6. 𝐜. V = 2 , 5 ; 8 , 75 ; 𝑓 𝑥 = − 0 , 6 𝑥 − 2 , 5 2
- 8 , 75 el máximo absoluto es 8,75. 𝐝. V = − 5 ; 10 ; 𝑓 𝑥 = − 0 , 2 𝑥 + 5 2
- 10 , el mínimo absoluto es 10.
- El máximo absoluto es: 8.
- 𝐴 𝑥 = − 4 𝑥 2
- 80 0𝑥; Dom 𝑓 =] 0 ; 200 [. El área cercada representa el 55,56% del área total.
- 𝐴 𝑥 = − 2 3
- 𝐴 𝑥 = − 4 𝑥 2
2
- 320 𝑥; Dom 𝐴 = 0 ; 480 El porcentaje de error que está cometiendo Luisa es 9,38%.