Equações e Propriedades de Campos em Física e Engenharia, Exercícios de Eletromagnetismo

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TEORIA DO CAMPO

ELETROMAGN´ETICO E

PROPAGA ¸C ˜AO DE ONDAS

Dr. C´esar Augusto Dartora

Dr. Armando Heilmann

Departamento de Engenharia El´etrica - Universidade Federal do Paran´a

15 de abril de 2019

ii

SUM ARIO´ vii

• I Rela¸c˜oes Vetoriais
• 1 Introdu¸c˜ao
  • 1.1 O Espectro Eletromagn´etico e Suas Aplica¸c˜oes
  • 1.2 Referˆencias deste Cap´ıtulo
• 2 Fundamentos Matem´aticos
  • 2.1 Part´ıculas e Campos
  • 2.2 Propriedades e Opera¸c˜oes com Escalares e Vetores
    • 2.2.1 Propriedades B´asicas de Escalares
    • 2.2.2 Propriedades B´asicas da Soma de Vetores
    • 2.2.3 Produtos Vetoriais e Suas Propriedades
    • 2.2.4 Vetores Unit´arios
  • 2.3 Sistemas de Coordenadas e Transforma¸c˜oes entre Sistemas
    • 2.3.1 Coordenadas Retangulares (x, y, z)
    • 2.3.2 Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z)
    • 2.3.3 Coordenadas Esf´ericas (r, θ, ϕ)
    • 2.3.4 Transforma¸c˜oes entre Coordenadas
  • 2.4 Calculo Vetorial Diferencial e Integral: Teoremas iv SUM ARIO´
    • 2.4.1 Diferencia¸c˜ao de Vetores
    • 2.4.2 Integra¸c˜ao de Vetores
    • 2.4.3 O operador Nabla
    • 2.4.4 Derivada Direcional: Gradiente
    • 2.4.5 Fluxo de um Vetor, Divergˆencia e Teorema de Gauss
    • 2.4.6 Circula¸c˜ao de um vetor, Rotacional e Teorema de Stokes
    • 2.4.7 Outras Identidades Importantes
  • 2.5 N´umeros Complexos e Fasores
  • 2.6 As Opera¸c˜oes com N´umeros Complexos
    • 2.6.1 A adi¸c˜ao e a subtra¸c˜ao
    • 2.6.2 A divis˜ao de dois n´umeros complexos
    • 2.6.3 A forma polar de n´umeros complexos
    • 2.6.4 A forma exponencial de n´umeros complexos
      • forma exponencial 2.6.5 A multiplica¸c˜ao e a divis˜ao de n´umeros complexos na
      • potˆencia 2.6.6 Elevando um complexo na forma exponencial a uma
    • 2.6.7 As ra´ızes de um n´umero complexo z = reiα
  • 2.7 Referˆencias Deste Cap´ıtulo
• 3 As Equa¸c˜oes de Maxwell
  • 3.1 Equa¸c˜oes de Maxwell em forma diferencial e integral
  • 3.2 Significado F´ısico das Equa¸c˜oes de Maxwell
  • 3.3 Leis de Conserva¸c˜ao e o Vetor de Poynting SUM ARIO´ v
    • 3.3.1 Consistˆencia das Equa¸c˜oes e a Equa¸c˜ao de Continuidade
      • e Isotr´opicos 3.3.2 Teorema de Poynting em Meios Lineares, Homogˆeneos
  • 3.4 Equa¸c˜oes de Maxwell no Regime Harmˆonico (Forma Fasorial)
  • 3.5 Potenciais Eletromagn´eticos de Lorentz
  • 3.6 Os potenciais φ e A e condi¸c˜oes de calibre
  • 3.7 Solu¸c˜ao Formal das Equa¸c˜oes de Ondas dos Potenciais - das Fun¸c˜oes de Green 3.7.1 Solu¸c˜ao de φ e A no Calibre de Lorentz pelo M´etodo
  • 3.8 Potenciais Eletromagn´eticos no Regime Harmˆonico
  • 3.9 Referˆencias Deste Cap´ıtulo
  • 3.10 Problemas Propostos
• 4 Potenciais Eletromagn´eticos
  • 4.1 Os potenciais φ e A e condi¸c˜oes de calibre
  • 4.2 Solu¸c˜ao Formal das Equa¸c˜oes de Ondas dos Potenciais
  • 4.3 Potenciais Eletromagn´eticos no Regime Harmˆonico
  • 4.4 Teoria da Radia¸c˜ao e considera¸c˜oes sobre o vetor de Poynting
• 5 Ondas Planas Uniformes
  • 5.1 A Equa¸c˜ao de Ondas
    • 5.1.1 Solu¸c˜ao de Ondas Planas Uniformes
      • de Ondas no V´acuo 5.1.2 Uma Abordagem Alternativa: A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao
  • 5.2 An´alise da Propaga¸c˜ao de Ondas em Meios Materiais vi SUM ARIO´
    • 5.2.1 Meios Diel´etricos Ideais ou Meios Sem Perdas (σ = 0)
      • ωε) 5.2.2 Meios Diel´etricos Reais ou com Pequenas Perdas(σ <<
    • 5.2.3 Meio Condutor (σ >> ωε)
    • 5.2.4 Meios com Perdas e Condutividade da ordem σ ∼ ωε
  • 5.3 Ondas planas no Espa¸co Rec´ıproco
  • 5.4 Representa¸c˜ao Geral da Polariza¸c˜ao de Ondas Eletromagn´eticas
    • 5.4.1 Polariza¸c˜ao Linear
    • 5.4.2 Polariza¸c˜ao Circular
    • de Snell, refra¸c˜ao e reflex˜ao, ˆangulo de Brewster 5.5 Condi¸c˜oes de Contorno e Interfaces Planas entre Meios: lei
    • 5.5.1 A Incidˆencia Normal
    • 5.5.2 Incidˆencia Obl´ıqua
  • 5.6 Um Exemplo de Propaga¸c˜ao em Meios Anisotr´opicos
    • 5.6.1 Efeito de Rota¸c˜ao de Faraday
    • Homogˆeneo 5.7 A Equa¸c˜ao de Ondas em Meio Diel´etrico Isotr´opico e N˜ao-
  • 5.8 Referˆencias deste Cap´ıtulo
  • 5.9 Problemas Propostos
• 6 PRIMEIRA AVALIA ¸C ˜AO
• 7 Linhas de Transmiss˜ao - Guias de Onda
  • 7.1 Principais Tipos de Guias de Onda - de Ondas 7.1.1 Formas de Abordagem para o estudo de Propaga¸c˜ao
  • 7.2 A Decomposi¸c˜ao Transversal-Longitudinal
  • 7.3 Conceitos Fundamentais sobre An´alise Modal
    • 7.3.1 Tipos de Modos
    • 7.3.2 Equa¸c˜oes para modos TE ou TM no regime harmˆonico
  • 7.4 An´alise dos Modos TEM na Linha de Transmiss˜ao
    • 7.4.1 Equa¸c˜oes do Telegrafista ou de Linhas de Transmiss˜ao
      • fista: O Modelo de Parˆametros Distribu´ıdos 7.4.2 Uma Dedu¸c˜ao Alternativa das Equa¸c˜oes do Telegra-
    • 7.4.3 Solu¸c˜ao das Equa¸c˜oes do Telegrafista
  • 7.5 Modo TEM em um guia coaxial
  • 7.6 Guias de Ondas Met´alicos: propaga¸c˜ao de energia e atenua¸c˜ao
    • 7.6.1 Modos TE em Guia Met´alico
    • 7.6.2 Modos TM em Guia Met´alico
    • 7.6.3 Propaga¸c˜ao da Energia e Perdas
    • 7.6.4 Guia Met´alico Retangular
      • oco 7.6.5 Demonstra¸c˜ao: Ausˆencia de Modos TEM em um guia
    • 7.6.6 Guia Met´alico de Se¸c˜ao Circular
  • 7.7 Cavidade Ressonante
  • 7.8 Referˆencias deste Cap´ıtulo
  • 7.9 Problemas Propostos
• 8 Antenas
• 8.1 O Dipolo El´etrico viii SUM ARIO´
• 8.2 O Regime Quase-Est´atico
• 8.3 Caracter´ısticas B´asicas de Antenas
  • 8.3.1 Principais Tipos de Antenas
  • 8.3.2 Regi˜oes de Campo e Campos de Radia¸c˜ao
  • 8.3.3 Elemento Diferencial de Angulo S´ˆ olido dΩ
  • 8.3.4 Potˆencia Total Radiada
  • 8.3.5 O Radiador Isotr´opico Ideal
  • 8.3.6 Fun¸c˜ao Diretividade Angular e Diagramas de Radia¸c˜ao
  • 8.3.7 Eficiˆencia de Radia¸c˜ao e Ganho de Antena
  • 8.3.8 Potˆencia Efetiva Radiada Isotropicamente - EIRP
  • 8.3.9 Largura de Feixe (Beamwidth)
  • 8.3.10 Area de Abertura Efetiva´ Aef
  • 8.3.11 Polariza¸c˜ao de Antena
  • 8.3.12 A F´ormula de Friis
  • 8.3.13 C´alculo da Amplitude de Pico do Campo El´etrico
  • 8.3.14 A equa¸c˜ao do radar
• 8.4 Impedˆancia de Antena
  • 8.4.1 Considera¸c˜oes sobre Ru´ıdo em Antenas
• 8.5 Referˆencias deste Cap´ıtulo
• 8.6 Problemas Propostos

I - ´Algebra de Vetores

A ± B = (A 1 ± B 1 )ˆa 1 + (A 2 ± B 2 )ˆa 2 + (A 3 ± B 3 )ˆa 3 (1) A · B = |A| |B| cos θ = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 (2) A × B = ˆa 1 (A 2 B 3 − A 3 B 2 ) + ˆa 2 (A 3 B 1 − A 1 B 3 ) + ˆa 3 (A 1 B 2 − A 2 B 1 ) (3) |A × B| = |A| |B| sin θ (4) A · (B × C) = C · (A × B) = B · (C × A) (5) A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C (6) A × B = −B × A (7)

(A × B) · (C × D) = A · [B × (C × D)] = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) (8)

(A × B) × (C × D) = [(A × B) · D]C − [(A × B) · C]D (9)

II - Opera¸c˜oes vetoriais em sistemas coordenados usuais

Coordenadas Retangulares (x, y, z): grad Φ = ∇Φ = ˆax ∂ ∂xΦ + ˆay ∂ ∂yΦ + ˆaz ∂ ∂zΦ div A = ∇ · A = ∂A ∂xx + ∂A ∂yy + ∂A ∂zz rot A = ∇ × A = ˆax

∂Az ∂y −^

∂Ay ∂z

• ˆay

( (^) ∂Ax ∂z −^

∂Az ∂x

• ˆaz

∂Ay ∂x −^

∂Ax ∂y

∇^2 Φ =

∂^2 ∂x^2 +^

∂^2 ∂y^2 +^

∂^2 ∂z^2

∇^2 A = ˆax∇^2 Ax + ˆay∇^2 Ay + ˆaz∇^2 Az Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z): ∇Φ = ˆaρ ∂ ∂ρΦ + ˆaϕ (^1) ρ∂ ∂ϕΦ + ˆaz ∂ ∂zΦ

∇ · A = (^1) ρ∂ρ∂ (ρAρ) + (^1) ρ∂A ∂ϕϕ + ∂A ∂zz ∇ × A = ˆaρ

1 ρ

∂Az ∂ϕ −^

∂Aϕ ∂z

• ˆaϕ

∂Aρ ∂z −^

∂Az ∂ρ

• ˆaz

1 ρ

∂(ρAϕ) ∂ρ −^

1 ρ

∂Aρ ∂ϕ

∇^2 Φ = (^1) ρ∂ρ∂

ρ ∂ ∂ρΦ

• (^) ρ^12 ∂ (^2) Φ ∂ϕ^2 +^

∂^2 Φ ∂z^2 ∇^2 A = ∇(∇ · A) − ∇ × ∇ × A Observe que nestas coordenadas ∇^2 A 6 = ˆaρ∇^2 Aρ + ˆaϕ∇^2 Aϕ + ˆaz∇^2 Az.

Coordenadas Esf´ericas (r, θ, ϕ): ∇Φ = ˆar ∂ ∂rΦ + ˆaθ (^1) r∂ ∂θΦ + ˆaϕ (^) r sin^1 θ∂ ∂ϕΦ ∇ · A = (^) r^12 ∂r^ ∂ (r^2 Ar) + (^) r sin^1 θ∂θ∂ (sin θAθ) + (^) r sin^1 θ∂A ∂ϕϕ

Outras Identidades∫

V ∇Φ^ dV^ =^

S Φ^ dS ∫ V ∇ ×^ A^ dV^ =^

S n^ ×^ A^ dS^ dS^ =^ ndS ∫ S n^ × ∇Φ^ dS^ =^

C Φ^ dl

∇^2

R

= − 4 πδ^3 (R)

onde δ^3 (R) = δ(x − x′)δ(y − y′)δ(z − z′) ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac em 3 dimens˜oes e R = |R| = |r − r′|

∇ · R = 3 ∇ ×

( R

R

∇(R) = R R

∇′(R) = − R R

R

= − RR 3 ∇′^

R

= RR 3

onde ∇ opera em r e ∇′^ em r′, R = r-r′. Na nota¸c˜ao utilizada acima, os vetores s˜ao denotados por letras em negrito, enquanto escalares por letras gregas.

Constantes ´Uteis

Velocidade da luz no v´acuo - c = 1/

ε 0 μ 0 = 2. 998 × 108 m/s.

Permissividade diel´etrica do v´acuo - ε 0 = 8. 854 × 10 −^12 F/m

Permeabilidade magn´etica do v´acuo - μ 0 = 4π × 10 −^7 H/m

Impedˆancia do Espa¸co livre - Z 0 =

μ 0 /ε 0 = 376.7 Ω

M´odulo da carga do el´etron - e = 1. 602 × 10 −^19 C

Constante de Planck - h = 6. 626 × 10 −^34 J.s ¯h = 2 hπ = 1. 055 × 10 −^34 J.s

Constante de Boltzmann - kB = 1. 381 × 10 −^23 J/K

N´umero de Avogadro - N 0 = 6. 023 × 1023 /mol

Massa de repouso do el´etron - me = 9. 11 × 10 −^31 kg = 0.511 MeV/c^2

Massa de repouso do pr´oton - mp = 1. 672 × 10 −^27 kg = 938.3 MeV/c^2

Massa de repouso do nˆeutron - mn = 1. 675 × 10 −^27 kg = 939.6 MeV/c^2

Magn´eton de Bohr - μB = e¯h/(2me) = 9. 27 × 1024 A.m^2 (ou J/Tesla)

Raio de Bohr - a 0 = 4πε 0 /(mee^2 ) = 5. 29 × 10 −^11 m

Energia de Bohr - E 1 = −mee^4 /[(4πε 0 )^2 2¯h^2 ] = − 2. 17 × 10 −^18 J = − 13 .6 eV

Comprimento de onda Compton do El´etron - λC = h/mec = 1. 43 × 10 −^12 m

Constante de estrutura fina - α = e^2 /(4πε 0 ¯hc) = 1/ 137

1 eV = 1. 602 × 10 −^19 J ou 1 J= 6. 242 × 1018 eV

8 CAP´ITULO 1. INTRODU ¸C AO˜

significando a validade de modo geral, ou seja, a teoria pode n˜ao ser mais v´alida se as condi¸c˜oes experimentais s˜ao alteradas.

Em outras palavras, a teoria cient´ıfica permite uma aproxima¸c˜ao assint´otica das verdadeiras leis naturais, possuindo limites de validade. Uma teoria cient´ıfica bem sucedida sob determinadas condi¸c˜oes, poder´a se mostrar falha em condi¸c˜oes mais gerais ou extremas e nesse caso uma nova teoria se faz necess´aria, mas esta dever´a ser bem sucedida tanto nas novas condi¸c˜oes quanto nas situa¸c˜oes em que a teoria antiga obteve sucesso.

Cada nova teoria cient´ıfica deve aprimorar as anteriores, de tal forma que nos aproxima mais e mais da forma final das leis naturais. Os dados ex- perimentais conhecidos previamente providenciam as preciosas dicas para o cientista na tarefa de propor teorias cient´ıficas.

A teoria eletromagn´etica ´e talvez a mais bem sucedida teoria da F´ısica, com aplica¸c˜oes em praticamente todas as ´areas da Ciˆencia B´asica e da Tecnologia, tendo se tornado o exemplo paradigm´atico da ciˆencia moderna. Um pouco da hist´oria dessa fant´astica jornada ser´a contada a seguir. Os fenˆomenos el´e- tricos, magn´eticos e ´opticos s˜ao conhecidos e estudados desde a Antiguidade e no princ´ıpio foram tratados como ramos distintos das ciˆencias naturais e n˜ao como aspectos resultantes de uma mesma teoria.

O magnetismo ´e conhecido desde aproximadamente 900 A.C. quando Mag- nus, um pastor de ovelhas grego, percebeu que o seu cajado met´alico era atra´ıdo pelas pedras da regi˜ao denominada Magn´esia. Os gregos tamb´em j´a conheciam algumas propriedades el´etricas, descritas em 600 A.C. por Tales de Mileto. Em especial, sabia-se que o material ˆambar, denominado elektron em grego, era capaz de atrair objetos leves depois de ter sido atritado a uma flanela, num processo hoje conhecido como eletriza¸c˜ao por atrito. A hip´o- tese atom´ıstica, considerada por Richard Feymann a mais importante de toda a ciˆencia, segundo a qual a mat´eria ´e constitu´ıda por ´atomos, foi pro- posta originalmente ainda em 480 A.C. por Leucipo de Mileto e Dem´ocrito de Abdera.

Como sabemos, a verifica¸c˜ao dessa hip´otese s´o foi poss´ıvel na Idade Contem- porˆanea. Em 295 A.C. Eucilhes publicou um tratado sobre os fenˆomenos ´opticos conhecidos at´e ent˜ao. Sabe-se que desde 121 D.C. os chineses co- nheciam propriedades magn´eticas e sabiam que uma barra de ferro poderia ser imantada na presen¸ca de um ´ım˜a natural, mas o efeito da b´ussola s´o foi descrito em 1088 por Shen Kua Yao. Como sabemos, a b´ussola foi essencial

para a navega¸c˜ao e a descoberta do ”Novo Mundo”, expandindo n˜ao somente os horizontes geogr´aficos como tamb´em os conhecimentos da humanidade.

A Idade M´edia foi particularmente pobre em descobertas cient´ıficas, sobre- tudo aquelas relacionadas ao eletromagnetismo, pelo menos no mundo oci- dental. Na Idade Moderna uma nova era para a ciˆencia ´e inaugurada, sob a influˆencia de fil´osofos como Ren`e Descartes, que prop˜oe os fundamentos b´asicos do m´etodo cient´ıfico. Nos S´eculos XVI e XVII novos conhecimentos acerca dos movimentos planet´arios s˜ao obtidos, Nicolau Cop´ernico e Johan- nes Kepler prop˜oe a teoria heliocentrista, segundo a qual a Terra se move em uma ´orbita aproximadamente circular em torno do Sol, assim como os outros planetas, e Galileu Galilei, com seus estudos sobre cinem´atica e suas observa¸c˜oes astronˆomicas derivadas do aprimoramento do telesc´opio feito por ele mesmo, ´e considerado o pai da F´ısica.

Em 1600 um marco para o estudo da Eletricidade e do Magnetismo ´e a pu- blica¸c˜ao do tratado De Magnete pelo inglˆes William Gilbert. Ele descobriu que o pr´oprio globo terrestre ´e um grande ´ım˜a e explicou parcialmente fenˆo- menos ligados ao magnetismo, propondo que o magnetismo terrestre est´a relacionado ao seu movimento de rota¸c˜ao. Gilbert fez ainda o primeiro tra- tado sobre eletricidade, distinguindo os fenˆomenos magn´eticos e os el´etricos, e fabricou o primeiro eletrosc´opio.

Em 1648, no estudo da Optica o holandˆ´ es Snellius descobriu a lei da refra¸c˜ao da luz e pouco depois, em 1665 Isaac Newton formulou suas primeiras hip´o- teses sobre gravita¸c˜ao, propondo ainda a teoria corpuscular da luz. Somente em 1676 foi demonstrado pelo dinamarquˆes Olaus R¨omer que a velocidade da luz ´e finita. Newton publicou em 1687 o seu monumental trabalho Philo- sophiae naturalis principia mathematica, onde enunciou a lei da gravita¸c˜ao universal e resumiu suas descobertas cient´ıficas.

A incompatibilidade da teoria corpuscular da luz proposta por Newton com as observa¸c˜oes experimentais foi demonstrada por Huygens, que formulou em 1690 a hip´otese ondulat´oria da luz. Huygens j´a havia descoberto em 1678 o fenˆomeno de polariza¸c˜ao da luz. Os estudos da eletricidade avan¸cam de forma r´apida e em 1750 Benjamin Franklin propˆos um modelo de flu´ıdo el´etrico com dois estados de eletrifica¸c˜ao: positivo e negativo. A conserva¸c˜ao de carga el´etrica total foi tamb´em proposta. Nessa mesma ´epoca, John Mitchell mostra que a a¸c˜ao de um ´ım˜a sobre outro pode ser deduzida a partir de uma lei de for¸ca que varia com o inverso do quadrado da distˆancia entre os p´olos individuais do ´ım˜a. Em 1785 o francˆes Charles Augustin Coulomb

cos, magn´eticos e ´opticos. O valor experimental da velocidade da luz era aproximadamente conhecido e foi determinado em 1849 pelo francˆes Armand Fizeau, algumas leis matem´aticas de validade limitada j´a haviam sido formu- ladas e o importante conceito de campo havia sido introduzido por Michael Faraday. Maxwell foi capaz de reunir todo o conhecimento acumulado ao longo dos s´eculos em um conjunto de equa¸c˜oes que levam seu nome, dando forma final a uma teoria que permitiu unificar a eletricidade, o magnetismo e a ´optica em um arcabou¸co dotado de l´ogica e coerˆencia. Como resulta- dos derivados da sua teoria, exposta por volta de 1865, Maxwell concluiu que a luz ´e uma onda eletromagn´etica, cuja velocidade calculada a partir de parˆametros eletromagn´eticos independentes era concordante com os dados experimentais dispon´ıveis para a ´epoca. Previu ainda a existˆencia de ondas eletromagn´eticas em um vasto espectro de frequˆencias, sujeitas `as mesmas leis de reflex˜ao, refra¸c˜ao e difra¸c˜ao que eram conhecidas para a luz vis´ıvel.

Em 1873 Maxwell publica a sua obra monumental A treatise on electricity and magnetism, condensando todos os seus importantes trabalhos em ele- tromagnetismo. Experimentos posteriores conduzidos independentemente por Heinrich Hertz e Oliver Lodge, em 1888, confirmaram essas previs˜oes, coroando triunfalmente a teoria eletromagn´etica. Maxwell faleceu em 1879, mesmo ano de nascimento de outro grande nome da ciˆencia, Albert Einstein, e n˜ao pode ver o triunfo final de sua teoria eletromagn´etica.

A era da eletrˆonica foi inaugurada em 1884, quando o americano Thomas Edison produziu a primeira v´alvula eletrˆonica. No ano de 1887 o alem˜ao Heirich Rudolf Hertz descobriu o efeito fotoel´etrico e os americanos Albert Michelson e Edward Williams Morley mostram a constˆancia da velocidade da luz em qualquer referencial.

Estes dois ´ultimos experimentos tem rela¸c˜ao direta com as duas principais revolu¸c˜oes cient´ıficas do s´eculo XX, a mecˆanica quˆantica e a teoria da re- latividade. Em 1895 o alem˜ao Wilhelm R¨ontgen descobriu os raios X e o holandˆes Hendrik A. Lorentz desenvolveu um modelo atˆomico que permite explicar a estrutura fina dos espectros atˆomicos, realizando ainda contribui- ¸c˜oes fundamentais para a eletrodinˆamica dos corpos em movimento (a for¸ca de Lorentz), propondo as transforma¸c˜oes relativ´ısticas de coordenadas que hoje levam seu nome. A radiotransmiss˜ao, importante aplica¸c˜ao da teoria eletromagn´etica, foi desenvolvida entre os anos de 1896 e 1902 pelo itali- ano Guglielmo Marconi e pelo brasileiro Roberto Landell de Moura, dentre outros.

12 CAP´ITULO 1. INTRODU ¸C AO˜

Por volta de 1900 Max Planck deu in´ıcio a mecˆanica quˆantica com seus estudos sobre a radia¸c˜ao do corpo negro, enquanto o russo Piotr Liebedev provou experimentalmente a press˜ao exercida pela luz sobre um corpo mate- rial. Entre 1900 e 1905 a teoria especial da relatividade foi desenvolvida de modo independente por Hendrik Lorentz, Albert Einstein, Henri Poincare e outros. No ano de 1905 Einstein introduziu o conceito de f´oton na explica¸c˜ao do efeito fotoel´etrico, demonstrando o car´ater corpuscular da radia¸c˜ao. Com base na hip´otese quˆantica, em 1913 Niels Bohr explicou os n´ıveis de energia do ´atomo de hidrogˆenio e a estabilidade dos ´atomos e na d´ecada de 1920 Louis de Broglie propˆos a dualidade onda-part´ıcula, segundo a qual todos os entes f´ısicos elementares comportam-se como onda em certas circunstˆancias e como part´ıculas em outras. A luz n˜ao seria exce¸c˜ao `a regra.

Entre 1910 e 1940, mas sobretudo na d´ecada de 1920, Louis de Broglie, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Niels Bohr, Paul A.M. Dirac, Erwin Schr¨oedinger e outros desenvolvem formalmente a mecˆanica quˆantica. A d´e- cada de 1940 viu nascer as bases da teoria quˆantica de campos, que emerge da fus˜ao entre a mecˆanica quˆantica e a teoria da relatividade. A chamada eletrodinˆamica quˆantica, cujo desenvolvimento se deveu sobretudo a Richard Feynmann, Sin-Itiro Tomonaga e Julian Schwinger, ´e o exemplo paradigm´a- tico mais bem sucedido de uma teoria quˆantica de campos.

1.1 O Espectro Eletromagn´etico e Suas Aplica¸c˜oes

Tendo em vista o impacto causado pela teoria eletromagn´etica poder´ıamos dizer que a hist´oria moderna e contemporˆanea da humanidade pode ser di- vidida em Antes e Depois de Maxwell. O impacto causado pelo dom´ınio dos fenˆomenos eletromagn´eticos pode ser observado em toda parte, desde a ilumina¸c˜ao das casas e das vias p´ublicas at´e a forma como nos relaciona- mos com as pessoas. O desenvolvimento das telecomunica¸c˜oes ´e um marco t˜ao relevante que os astrˆonomos que buscam vida inteligente fora do nosso planeta classificam as poss´ıveis civiliza¸c˜oes existentes fora da Terra em duas categorias: as que j´a chegaram `as comunica¸c˜oes eletromagn´eticas e as que ainda n˜ao a dominam, sendo assim imposs´ıvel rastre´a-las. Dentre toda a gama de aplica¸c˜oes os mais importantes exemplos s˜ao:

• os sistemas de potˆencia, respons´aveis pelo fornecimento de energia para ind´ustrias, residˆencias, etc. Uma imensa variedade de dispositi-