Baixe Análise Matemática: Convergência de Sequências e Série de Bernoulli e outras Notas de aula em PDF para Crescimento, somente na Docsity!
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Matemática
Mestrado Pro ssional em Matemática
em Rede Nacional PROFMAT
O Número de Euler †
por
Ramon Formiga Figueira
sob a orientação do
Prof. Dr. Eduardo Gonçalves dos Santos
Dissertação apresentada ao Corpo Do- cente do Mestrado Pro ssional em Ma- temática em Rede Nacional PROFMAT- CCEN-UFPB, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ma- temática.
Janeiro/ João Pessoa - PB
† (^) O presente trabalho foi realizado com apoio da CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior.
F475n Figueira, Ramon Formiga. O Número de Euler / Ramon Formiga Figueira.- João Pessoa, 2017. 79 f. : il. Orientador: Eduardo Gonçalves dos Santos Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN
Matemática. 2. Número de Euler. 3. Logaritmo natural.
Fatorial. 5. Fórmula de Stirling.
UFPB/BC CDU: 51 ( 0 43)
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus pelas maravilhas realizadas na minha vida. Este trabalho é, com certeza, mais uma prova de que Ele está no comando. Obrigado, Senhor, por se fazer presente durante toda a trajetória que me trouxe até aqui. Aos meus pais, Eduardo e Maria Gorette, e a minha irmã, Rebeca, por estarem sempre ao meu lado, incentivando-me e ajudando-me a realizar meus sonhos. A minha esposa, Mayara, por suportar com paciência e serenidade as di culdades enfrentadas durante a realização deste trabalho, e ser para mim um porto seguro. Aos meus colegas de curso, em especial aos amigos Rômulo, David, Diego, Mail- son, José Carlos, Manoel e Erielson, por todo apoio durante nossa árdua caminhada no PROFMAT. Aos professores do curso, Bruno, Carlos Bocker, Elisandra, Miriam, Flank, Na- poleon, Lizandro e Lenimar, por todos os ensinamentos. Ao professor Eduardo, por ter aceitado o desa o de ser meu orientador e ter me auxiliado, sempre com paciência e disponibilidade, nessa conquista. En m, a todos que contribuíram direta ou indiretamente para a realização deste trabalho.
iii
Dedicatória
Aos meus pais, Eduardo e Maria Gorette.
iv
Abstract
The Euler's Number, denoted by e and corresponding to the base of the Natural Logarithms, despite being one of the most important constants in Mathematics, both by the variety of its mathematical implications and by the number of its practical applications, remains unknown to many people. It is common to nd Engineering or even Exact Sciences students who only became aware of the existence of e after taking a Calculus Course. It is also not di cult to nd students who, even after such contact, seem to never realize the importance of this number. The e is a versatile constant. Although, in general, it appears related to results involving Dierential and Integral Calculus, it is present in several problems of dierent Mathematics areas. We can nd it, besides Analysis and Function Theory, in Financial Mathe- matics, Combinatorial Analysis, Probability, Trigonometry, Geometry, Statistics, Number Theory. In this work, we make a brief historical analysis about the disco- very of the Euler's Number, we present its de nition, as well as alternative ways of characterizing it through in nite sums and products. We also address two interes- ting problems in which it is present: the counting of the number of partitions of a nite non-empty set and obtaining an approximation for the factorial of a natural number, in which we nd the Stirling's Approximation.
Keywords: Euler's Number, Natural Logarithm, Factorial, Stirling's Approxima- tion.
vi
Sumário
Lista de Figuras
1.1 Trecho da obra Introductio in analysin in nitorum, de Leonhard Euler. 5 1.2 Representação da faixa da hipérbole H 1 1+ xpara estimativa de ln(1 + x). 13 1.3 Representação da faixa da hipérbole He
h 1 para^ h >^0.^.........^15 1.4 Representação da faixa da hipérbole He h 1 para^ h <^0.^.........^16 3.1 Grá co de y = (1 − x^2 )n^ para n = 0, 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , 5 / 2 , 3 , 7 / 2 , 4..... 28 3.2 Interpretação geométrica do resultado da Proposição 3.6........ 31 3.3 Trecho da curva y = f (x) limitado pelas retas x = k e x = k + 1.... 32
ix
Lista de Tabelas
1.1 Comportamento do montante com o aumento do valor de n...... 2
3.1 Aproximando n! pela Fórmula de Stirling................ 30
x
de calcular o número de partições de um conjunto não vazio nito a partir de uma equação na qual aparece o Número de Euler. O terceiro capítulo, por sua vez, é inteiramente dedicado à famosa Fórmula de Stirling, uma expressão matemática que nos dá uma aproximação para o fatorial de um número natural em função tanto de e quanto de π, o que é um resultado surpreendente. No quarto e último capítulo, apresentamos três maneiras distintas de representar o número e como um produto in nito. Dentre tais representações encontram-se duas interessantes expressões, conhecidas como Fórmula de Pippenger e Fórmula de Catalan.
xii
Capítulo 1
Conhecendo o Número de Euler
Este capítulo é destinado à apresentação do Número de Euler. Nele, contamos um pouco da história que envolve o surgimento desse número e apresentamos sua de nição e algumas outras formas de caracterizá-lo.
1.1 Um pouco de história
Diferentemente do número π, do qual já se tinha conhecimento desde a Anti- guidade, o Número de Euler, denotado por e e aproximadamente igual a 2 , 71828 , só veio a ser descoberto na Idade Moderna. De acordo com Maor (1994, p.16), o primeiro reconhecimento explícito do papel do número e na Matemática parece ter sido feito em 1618, na segunda edição da tradução de Edward Wright para a obra Miri ci logarithmorum canonis descriptio^1 de John Napier, o inventor, ou melhor, descobridor dos logaritmos. O contexto de nascimento do capitalismo e consequente crescimento do comércio internacional na Idade Moderna, muito provavelmente, foi o agente motivador para a descoberta do Número de Euler, apesar de, na mesma época, outras questões, como a quadratura da hipérbole equilátera, conduzirem ao mesmo número. Mas, como esse crescimento comercial motivou o surgimento do e? Segundo Maor (1994, p.26), o aparecimento do Número de Euler poderia estar diretamente ligado a uma fórmula para o cálculo de juros compostos. Se um capital inicial de R$ 1,00 for investido a uma taxa de juros anual de 100% capitalizados anualmente, ao m do primeiro ano o montante obtido será dado por M = (1 + 1)^1 = (^2) (. Caso a capitalização fosse realizada semestralmente, esse valor passaria a ser M = 1 + (^12)
= 2, 25. Da mesma forma, se a capitalização ocorresse a cada trimestre,
teríamos M =
≈ 2 , 44. De maneira geral, realizando a capitalização n (^1) Em um dos apêndices desta obra, aparece o equivalente da declaração de que loge 10 =
2 , 302585 (MAOR, 1994, p.16).
1.1. Um pouco de história
Como a rmamos anteriormente, os trabalhos relacionados à quadratura da hi- pérbole equilátera, isto é, ao cálculo da área sob a curva y = (^) x^1 , também conduziram os matemáticos do século XVII a se depararem com o e. O conhecido matemático Pierre de Fermat, em torno do ano 1640 (cerca de trinta anos antes do desenvolvi- mento do Cálculo Integral por Newton e Leibniz), demonstrou que a área delimitada pelas retas x = 0 e x = a, pelo eixo das abscissas e pela curva de equação y = xn, com n 6 = − 1 , é dada por a n+ n+1. Esse resultado foi muito importante, pois possibili- tava a quadratura não somente de uma curva, mas de toda uma família de curvas. Apesar disso, a hipérbole y = (^1) x permaneceu fora dessa grande família contemplada, já que para n = − 1 o denominador n + 1 da expressão se torna igual a 0. Como dito por Maor (1994, p.66), a frustração de Fermat por sua expressão não ter coberto este caso tão importante deve ter sido grande. Coube a um contemporâneo de Fermat, Grégoire de Saint-Vincent, resolver, pelo menos em parte, o problema da quadratura da hipérbole equilátera. Em seu tra- balho intitulado Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, Grégoire mostrou que a área sob a hipérbole de equação y = (^) x^1 num intervalo [a, b] é igual à área sob esta mesma curva num intervalo [c, d], se ab = cd. Assim, se percorrermos o eixo das abscissas no sentido positivo, a partir de um ponto situado a uma dis- tância d em relação a uma certa referência, digamos o ponto x = 1, ao dobrarmos progressivamente essa distância, isto é, ao passarmos pelos pontos cujas distâncias em relação a x = 1 são 2 d, 4 d, 8 d, 16 d, e assim sucessivamente, a área sob a curva y = (^) x^1 no intervalo de 1 até os pontos citados passa a ser 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, e assim por diante (considerando, obviamente, que a área sob a hipérbole no intervalo de 1 ao ponto de distância d é dada por A). Desta forma, é possível observar que à medida que as distâncias crescem em progressão geométrica, a área sob a curva cresce em progressão aritmética. Este resultado implica que a relação entre a área e a distância é logarítmica. Foi justamente para expressar explicitamente essa relação que um dos alunos de Saint-Vincent, Alfonso Anton de Sarasa, fez uso, talvez pela primeira vez na história da Matemática, de uma função logarítmica (até então, os logaritmos eram considerados principalmente uma ferramenta de cálculo) (MAOR, 1994, p.67). Levando em consideração o resultado de Saint-Vincent e denotando por A(t) a área sob a hipérbole compreendida no intervalo de x = 1 até um ponto variável x = t, podemos escrever A(t) = log t, onde log não representa o logaritmo de base 10, mas um logaritmo de base desconhecida. O que Alfonso fez foi justamente escrever uma expressão desse tipo, e, assim como zemos, ele não explicitou qual seria a base do logaritmo utilizado. A própria matemática desenvolvida nos séculos XVII e XVIII encarregou-se de revelar que tal base correspondia ao Número de Euler. Diversos outros grandes nomes da Matemática deixaram sua marca na história, que continua sendo construída, do número e. Seria um desleixo deixar de citar os
1.1. Um pouco de história
matemáticos Jacob Bernoulli (1654-1705), que, em 1683^2 , estudando o problema da capitalização contínua, mostrou que o limite de
1 + (^) n^1
)n quando n tende a in nito se encontra entre os números 2 e 3, e Leibniz (1646-1716), responsável pela primeira aparição propriamente dita do número e, em 1690^3. Apesar de existirem muitos outros matemáticos que contribuíram imensamente para que o número e viesse a se tornar tão importante para a Matemática quanto é hoje, para os ns deste trabalho, é su ciente que falemos da contribuição de apenas mais um deles: Leonhard Euler. Euler é uma gura da Matemática que dispensa comentários. Uma breve pes- quisa na internet é su ciente para revelar, até mesmo ao mais desatento leitor, o quão importante este homem foi para o desenvolvimento dessa ciência (se pesquisar- mos rapidamente por listas contendo os dez matemáticos mais in uentes de todos os tempos, é muito provável que ele esteja no topo em todas elas). Nascido em 1707, na cidade suíça de Basileia, durante seus 76 anos de vida, Euler contribuiu para o crescimento de diversas áreas da Matemática, tanto pura quanto aplicada, além da Física e da Astronomia, chegando a publicar mais de 500 artigos (BOYER, 2010, p.304). Além de suas contribuições em termos de conteúdo, ele foi um dos matemáticos que mais exerceram in uência sobre as notações que são utilizadas hodiernamente. De acordo com Boyer (2010, p.305), Euler foi o construtor de no- tação mais bem-sucedido em todos os tempos. Foi ele quem utilizou primeiramente o símbolo i para representar
− 1 e tornou largamente conhecido o uso da letra π para expressar a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, apesar de não ter sido o primeiro a utilizar essa notação. O uso da letra
para indicar um somatório e do símbolo f (x) para uma função de x também são devidos a Euler. Até aqui, durante todo o texto, utilizamos a expressão Número de Euler ou o símbolo e para tratar de um número que, como discutimos, corresponde a lim n→∞
1 + (^1) n
)n ou à base dos logaritmos naturais. O termo Número de Euler não
é utilizado por acaso. Apesar de, na história da Matemática, o número que é tema desta dissertação ter sido descoberto no século XVII, somente no século XVIII, após Euler ter empregado o símbolo e para se referir a ele, surgiu uma notação padroni- zada para representá-lo. Segundo Boyer (2010, p.305), em uma exposição manuscrita dos resultados de experiências sobre disparo de canhões, em 1727 ou 1728, Euler uti- lizou a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a base do sistema de logaritmos naturais. Além disso, em uma carta a Goldbach em 1731, o matemático usou o e para expressar aquele número cujo logaritmo hiperbólico = 1 (BOYER,
(^2) Nessa época a conexão entre lim n→∞
( 1 + (^1) n
)n e os logaritmos naturais ainda não havia sido identi cada. (^3) Apesar do e, já ter aparecido, como mencionado anteriormente, em trabalhos do início do
século XVII, foi numa carta de Leibniz endereçada a Huygens, que se usou pela primeira vez uma notação para ele, revelando que naquela época ele já era claramente reconhecido. Em sua carta, Leibniz utilizou a letra b para denotá-lo.
1.2 De nição
toda sequência monótona e limitada é convergente. Ao leitor menos familiarizado tanto com o resultado citado quanto com os termos sequência numérica, limite, sequência monótona, sequência limitada e sequência convergente, aconselhamos que leia o conteúdo do Apêndice A antes de continuar a leitura deste capítulo.
Proposição 1.1 Para todo m, n ∈ N, ( 1 +
n
)n <
m
)m+ .
Demonstração: A inequação apresentada pode ser facilmente demonstrada utilizando- se a conhecida desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. Sabemos que
√ na 1 a 2 · · · an ≤ a 1 + a 2 + · · · + an n
onde a 1 , a 2 ,... , an ∈ R+. Além disso,
√ na 1 a 2 · · · an = a 1 + a 2 + · · · + an n
⇔ a 1 = a 2 = · · · = an.
Desta forma, como
1 − (^) m^1 +
1 + (^1) n
para todo todo m, n ∈ N, obtemos
m+n+
n
)n ( 1 −
m + 1
)m+ <
n
1 + (^) n^1
1 − (^) m^1 +
m + n + 1
e, portanto, (^) (
1 +
n
)n ( 1 −
m + 1
)m+ < 1 , ∀m, n ∈ N.
Logo, (^) (
1 +
n
)n <
m
)m+ , ∀m, n ∈ N.
Proposição 1.2 A sequência (xn)n∈N, de termo geral xn =
1 + (^1) n
)n , é monótona crescente.
Demonstração: Pela Proposição 1.1, temos
( 1 +
n(n + 2)
)n(n+2) <
n + 1
)n+ .
Portanto, (^) (
1 +
n(n + 2)
)n <
n + 1
1.3 O número e como limite de uma série numérica
Assim, como
( 1 +
n(n + 2)
)n
n(n + 2) + 1 n(n + 2)
)n
n^2 + 2n + 1 n(n + 2)
)n
(n + 1)^2 n nn(n + 2)n^
obtemos (n + 1)^2 n nn(n + 2)n^
n + 1
n + 2 n + 1
Consequentemente, (^) ( n + 1 n
)n <
n + 2 n + 1
)n+ .
Logo, xn < xn+1.
Pela Proposição 1.1, temos que a sequência de termo geral xn =
1 + (^1) n
)n é limitada, já que, tomando, por exemplo m = 1,
n
)n < (1 + 1)^2 = 4, ∀n ∈ N.
Assim, como, pela Proposição 1.2, tal sequência também é monótona, concluímos que (xn)n∈N é convergente (ver Teorema A.3 do Apêndice A). Isto signi ca que existe um número real que corresponde a lim n→∞
1 + (^1) n
)n .
De nição 1.1 O Número de Euler é o limite da sequência (xn)n∈N, isto é,
e = lim n→∞
n
)n .
Existem diversas outras maneiras de caracterizar o número e, apesar da de nição 1.1 ser a mais usual. Neste capítulo, mostraremos que o e pode ser caracterizado por meio da série
n! e que também corresponde à base do logaritmo que denominamos de natural.
1.3 O número e como limite de uma série numérica
Proposição 1.3 O número e é o limite da sequência (sn)n∈N cujo termo geral é dado por
sn = 1 +
n!
