Propriedades de Anéis e Divisão de Polinômios, Notas de estudo de Algoritmos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA SABRINA COELHO

O ALGORITMO DA DIVISÃO PARA POLINÔMIOS

EM VÁRIAS VARIÁVEIS

Blumenau 2018

Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da Universidade Federal de Santa Catarina. Arquivo compilado às 15:26h do dia 5 de dezembro de 2018.

Sabrina Coelho O algoritmo da divisão para polinômios em várias variá- veis : / Sabrina Coelho; Orientador, Prof. Dr. Jorge Luiz Deo- lindo Silva; , - Blumenau, 15:26, 5 de dezembro de 2018. 71 p.

Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Matemática (MAT), Centro de Blu- menau, Curso de Licenciatura em Matemática.

Inclui referências

1. Anel de polinômios em várias variáveis. 2. Ordem monomi- al. 3. Algoritmo da divisão. 4. Algoritmo da pseudo divisão. I. Prof. Dr. Jorge Luiz Deolindo Silva II. III. Curso de Licenci- atura em Matemática IV. O algoritmo da divisão para polinômios em várias variáveis

CDU 02:141:005.

Sabrina Coelho

O ALGORITMO DA DIVISÃO PARA POLINÔMIOS EM VÁRIAS VARIÁVEIS

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para obten- ção do Título de Licenciada em Matemática, e aprovado em sua forma final pelo Curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática (MAT), Centro de Blumenau da Universidade Federal de Santa Catarina.

Blumenau, 5 de dezembro de 2018.

Prof. Dr. André Vanderlinde da Silva Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Jorge Luiz Deolindo Silva Orientador Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Prof. Dr. Felipe Vieira Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Prof. Dr. Renan Gambale Romano Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

A todos aqueles que enxergam a beleza da matemática.

“Tenho a impressão de ter sido uma criança brincando à beira-mar, divertindo-me em descobrir uma pedrinha mais lisa ou uma concha mais bonita que as outras, enquanto o imenso oceano da verdade continua misterioso diante de meus olhos” Isaac Newton

RESUMO

Neste trabalho estudamos o anel de polinômios em várias variáveis e ordens monomiais. Mais especificamente, apresentamos os algorit- mos da divisão e da pseudo divisão de polinômios em várias variáveis.

Palavras-chaves: Anel de polinômios em várias variáveis. Ordem monomial. Algoritmo da divisão. Algoritmo da pseudo divisão.

SUMÁRIO

• 1 INTRODUÇÃO
• 2 ANEL
• 2.1 DEFINIÇÕES
• 2.2 ANEL DE POLINÔMIOS
• 2.2.1 Algoritmo da divisão para o anel de polinômios - DETERMINADAS 3 ANEL DE POLINÔMIOS EM VÁRIAS IN-
• 3.1 ORDENS MONOMIAIS - riáveis 3.1.1 Algoritmo da divisão de polinômios em várias va-
  • VÁRIAS VARIÁVEIS 4 IDEAIS DO ANEL DE POLINÔMIOS EM
• 4.1 O ALGORITMO DA PSEUDO DIVISÃO
• 4.1.1 Ideais em polinômios em várias variáveis
• 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS - REFERÊNCIAS

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo estudar os algoritmos da divisão de polinômios em várias variáveis. Para isso estudamos o anel de polinômios K[ x 1 ,... , xn ] e ordens monomiais onde K é um corpo. Em geral, esse trabalho gira em torno da pergunta: “Quando um ou mais polinômios não nulos em K[ x 1 ,... , xn ] divide outro?”. Com a resposta dessa pergunta e com um estudo mais avançado (não abordado neste trabalho), podemos determinar se um polinômio pertence ou não a um ideal do anel K[ x 1 ,... , xn ]. Inicialmente, baseado em [4],[1] e [2], o Capítulo 2 apresenta a teoria de anéis. Apresentamos alguns anéis especiais essenciais no decorrer do trabalho, como por exemplo, os anéis de integridade e corpos. Finalizamos o capítulo com o estudo do anel de polinômios e o algoritmo da divisão para polinômios em uma variável. No Capítulo 3 os estudos focam-se em um tipo especial de anel, que é o anel de polinômios em várias variáveis. Estudamos or- dens monomiais para que seja possível validar o algoritmo da divisão para polinômios em várias variáveis. No Capítulo 4, apresenta-se o algoritmo da pseudo divi- são, que é responsável por garantir uma maneira de dividir um polinômio por mais do que um quociente. Para entender a aplica- bilidade do mesmo, no final do capítulo, comentamos brevemen- te a teoria de ideais e por meio desse algoritmo pode-se garantir se um polinômio f pertence a um ideal gerado 〈 g 1 ,... , gs 〉, onde g 1 ,... gs ∈ K[ x 1 ,... , xn ]. É necessário que o leitor tenha conhecimentos básicos em ál- gebra abstrata (teoria de anéis e corpos), para que se tenha um bom entendimento do trabalho. Para a execução deste trabalho utilizou- se as referências [4],[1] e [2] para o conceito de anéis e corpos e [3] para o estudo de polinômios em várias variáveis e seus algoritmos.