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Cap´ıtulo 1
N´umeros complexos
1.1 Introdu¸c˜ao
Contrariamente ao bom senso, n˜ao foram as equa¸c˜oes do segundo grau que motiva-
ram o aparecimento dos n´umeros complexos, mas as equa¸c˜oes do terceiro grau.
Podemos dividir o aparecimento e a discuss˜ao dos N´umeros Complexos em trˆes fa-
ses no decorrer da hist´oria:
- A resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes c´ubicas por meio de radicais na Europa renascentista, em particular nos trabalhos de Tartaglia (1500-1557), Cardano (1501-1576) e Bombelli (1526-1572). A busca de uma solu¸c˜ao para esta equa¸c˜ao abriu espa¸co para o surgimento de novos n´umeros que ainda n˜ao eram considerados leg´ıtimos.
- O desenvolvimento da Matem´atica durante os s´eculos XVII e XVIII, quando estes n´umeros foram designados como imagin´arios e os matem´aticos passaram a operar com eles sem se preocupar com o seu estatuto pr´oprio.
- Os trabalhos de matem´aticos como Wallis, Wessel, Bu´ee e Argand que, na busca de uma representa¸c˜ao geom´etrica das quantidades imagin´arias, lan¸caram as bases para que pudesse ser fundado um novo c´alculo sobre estes objetos.
Em 1545, Cardano ao tentar resolver a equa¸c˜ao c´ubica x 3 = 4 + 15x, a qual ele
sabia ter raiz x = 4, constatou que a regra criada por dal Ferro-Tartaglia produzia a
seguinte express˜ao:
x =
3
3
Deparando-se com o termo
−121, ele n˜ao conseguia encontrar uma maneira de
encontrar x = 4.
Foram necess´arios mais de 25 anos para que Bombelli, engenheiro hidr´aulico, nas-
cido em Bologna, It´alia, em 1530, tivesse uma ideia, em 1572, para resolver o impasse,
operando com as quantidades na forma a + b
−1 sob as mesmas regras dos n´umeros
2 N´umeros complexos
reais e a propriedade (
−1)^2 = −1.
Depois de Bombelli, outros personagens importantes deram grandes contribui¸c˜oes
ao desenvolvimento da teoria dos n´umeros complexos, dentre os quais o matem´atico
francˆes Abraham de Moivre, amigo de Isaac Newton, e tamb´em os irm˜aos Jacques e
Jean Bernoulli. Mas quem fez o trabalho mais importante e decisivo sobre o assunto
foi Euler.
Leonhard Euler nasceu em Basileia, Su´ı¸ca, no ano de 1707, quando o C´alculo Di-
ferencial e Integral, inventado por Newton e Leibniz, estava em expans˜ao. Foi um dos
matem´aticos que mais produziu e publicou em todos os tempos, al´em de ter sido muito
boa pessoa. Seu nome ficou ligado para sempre ao n´umero irracional e, conhecido
como n´umero de Euler, cujo valor ´e aproximadamente 2, 71828. Muitas das nota¸c˜oes
que utilizamos hoje foram introduzidas por ele. Dentre as representa¸c˜oes propostas por
Euler, destacamos o i substituindo
−1. Euler passou a estudar n´umeros da forma
z = a + bi onde a e b s˜ao n´umeros reais e i 2 = −1. Esses n´umeros s˜ao chamados de
n´umeros complexos.
O chamado n´umero imagin´ario, termo que se consagrou juntamente com a express˜ao
n´umero complexo, deve-se a uma passagem do Discurso do M´etodo, de Descartes, onde
ele escreveu a seguinte frase: “Nem sempre as ra´ızes verdadeiras (positivas) ou falsas
(negativas) de uma equa¸c˜ao s˜ao reais. As vezes, elas s˜` ao imagin´arias ”.
A total formula¸c˜ao dos n´umeros complexos foi feita em 1833 pelo irlandˆes W. R.
Hamilton.
1.2 Defini¸c˜ao
H´a diferentes formas de definir um n´umero complexo. Neste texto, a op¸c˜ao ´e definir
da forma mais simples e objetiva.
Defini¸c˜ao 1.1. Um n´umero complexo z ´e um n´umero escrito na forma a + bi, sendo
a e b n´umeros reais e i =
− 1 a unidade imagin´aria.
O n´umero real a ´e chamado de parte real de z, denotada por Re(z), e o n´umero
real b ´e chamado de parte imagin´aria de z, denotada por Im(z).
Escrevemos, assim, z = a + bi = Re(z) + Im(z)i.
Exemplo 1.1. z = 1 − 2 i. ⇒ Re(z) = 1 , Im(z) = − 2.
Exemplo 1.2. z =
3 i. ⇒ Re(z) = 0 , Im(z) =
Exemplo 1.3. z =
− `n 5 i. ⇒ Re(z) =
, Im(z) = −`n 5.
4 N´umeros complexos
Exemplo 1.4. Escreva, na forma a + bi, cada um dos n´umeros complexos (lembre-se
que i 2 = − 1 ):
(a)
i
Solu¸c˜ao:
( 1
2
i
i + 5i · 2 − 5 i ·
i
i + 10i − 3 i^2 = 1 +
i + 3 = 4 +
i.
(b) (3 − 5 i) 4 .
Solu¸c˜ao:
(3 − 5 i)^4 = [(3 − 5 i)^2 ]^2 = [3^2 − 2 · 3 · 5 i + (5i)^2 ]^2 = (9 − 30 i − 25)^2
= (− 16 − 30 i)^2 = (16 + 30i)^2 = 256 + 2 · 16 · 30 i + (30i)^2
= (256 + 960i − 900) = −644 + 960i.
1.3.1 O corpo dos complexos n˜ao ´e ordenado
O conjunto dos n´umeros reais, (R, ≤), ´e um conjunto ordenado, bem como ´e um
corpo (R, +, ., ≤) ordenado. J´a o conjunto dos n´umeros complexos, C, pode ser orde-
nado, mas o corpo complexo (C, +, .) n˜ao pode ser ordenado.
Antes de tratar da n˜ao ordena¸c˜ao do corpo dos complexos, iremos discutir a or-
dena¸c˜ao de um conjunto.
Um conjunto A ´e ordenado se est´a definida entre seus elementos uma rela¸c˜ao de
ordem, ou seja, uma rela¸c˜ao bin´aria x < y, com as propriedades dadas a seguir:
Dados os elementos x, y e z pertencentes ao conjunto A, temos:
- Propriedade de Tricotomia: Pode-se ter somente uma das trˆes consequˆencias x < y, x > y ou x = y;
- Propriedade de Transitividade: se x < y e y < z ent˜ao x < z.
Nesse caso, podemos pensar na ordena¸c˜ao do conjunto dos complexos considerando,
por exemplo, o que chamamos de ordem do dicion´ario. Sejam z = a + bi e w = c + di,
tem-se z > w quando a > c, valendo a rec´ıproca. E, quando a = c, apela-se para a
parte imagin´aria, b > d, sendo a rec´ıproca tamb´em v´alida.
Introdu¸c˜ao 5
Por´em, essa ordena¸c˜ao no corpo dos Complexos n˜ao ir´a fazer sentido.
Consideremos, por exemplo, z = 1 + 2i e w = 2 + i. Nesse caso, ter´ıamos w > z.
Por´em, como C ´e um corpo, temos que:
z < w ⇐⇒ (1 + 2i) < (2 + i)
⇐⇒ (1 + 2i) · ( 1 − 2i) < (2 + i) · ( 1 − 2i) , {[Obs:(1 − 2 i) > 0 .]}
⇐⇒ 5 + 0i < 3 − 3 i. Falso!
Observe que multiplicamos ambos os lados da inequa¸c˜ao por um n´umero complexo
positivo (1 − 2 i) segundo a regra adotada.
Uma outra forma de verificar ´e a seguinte: i ´e positivo segundo a regra, mas o
produto de dois n´umeros positivos ´e positivo. Logo, i.i = −1 deveria ser positivo.
Mesmo se considerarmos i negativo, teremos o produto de dois n´umeros negativos
resultando em um n´umero tamb´em negativo.
Ou ainda, de forma mais rigorosa, i.i = i 2
- Logo, − 1 > 0. Falso!
Introdu¸c˜ao 7
(c) z 1 + z 2 , sendo z 1 = 1 + i e z 2 = 3 − i.
1.5 Conjugado complexo
O conjugado do n´umero complexo z = a + bi ´e definido por z = a − bi.
Geometricamente, z ´e a reflex˜ao de z em rela¸c˜ao ao eixo real.
8 N´umeros complexos
1.5.1 Propriedades:
*As provas das propriedades est˜ao no Apˆendice.
Sejam z = a + bi, z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i, temos:
(i) z 1 + z 2 = z 1 + z 2.
(ii) z 1 − z 2 = z 1 − z 2.
(iii) z 1 z 2 = z 1 z 2.
(iv)
z 1
z 2
z 1
z 2
(v) z + z = 2x = 2Re(z).
(vi) z − z = 2yi = 2Im(z)i.
(vii) z ´e um n´umero real se, e s´o se, z = z.
1.6 Valor absoluto
O valor absoluto ou m´odulo do n´umero complexo z = a + bi ´e dado por
| z |=| a + bi |=
a^2 + b^2.
Geometricamente, ´e o comprimento do vetor que representa z ou a distˆancia do
ponto que representa z at´e a origem.
Assim, | z 1 − z 2 | ´e a distˆancia entre os pontos que representam z 1 e z 2 :
| z 1 − z 2 |=
(a 1 − a 2 )^2 + (b 1 − b 2 )^2.
10 N´umeros complexos
1.7 Forma polar de um n´umero complexo
Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto que representa o n´umero complexo
z = a + bi. Temos:
Assim, a = rcosθ e b = rsenθ.
Podemos escrever, z = a + bi = rcosθ + rsenθ i =| z | (cosθ + isenθ).
θ ´e chamado de argumento de z, representado por arg z, e s´o ´e definido para z 6 = 0.
OBS.:
O argumento de z n˜ao ´e ´unico. Se a igualdade z = r(cosθ + isenθ) ´e verdadeira
para um valor de θ, tamb´em ser´a para θ + 2kπ , k ∈ Z.
Muitas vezes, usamos o argumento principal de um n´umero complexo, denotado
por Arg Z, tal que −π < Arg z ≤ π. Mais adiante no curso, quando forem estudadas
as fun¸c˜oes exponenciais e logar´ıtmicas complexas, ser´a explicado o motivo de usar esse
intervalo.
Introdu¸c˜ao 11
Exemplo 1.8. Determine o m´odulo e os (poss´ıveis) argumentos dos seguintes n´umeros
complexos:
(a) z = 2 + 2i.
Solu¸c˜ao:
Temos que | z |=
22 + 2^2 = 2
Para o argumento, observamos o gr´afico a seguir:
Temos que tg(θ) =
= 1 ⇒ θ =
π
4
Todos os arcos cˆongruos a
π
4
s˜ao argumentos de z e o argumento principal ´e
π
4
(b) z = − 3 i.
Solu¸c˜ao:
Temos que | z |=
02 + (−3)^2 =
Nesse caso, θ = −
π
2
O argumento principal ´e −
π
2
(c) z = 4.
Introdu¸c˜ao 13
Temos que tg
π
4
(b) z = −2.
Solu¸c˜ao:
Observamos que o argumento principal ´e π, pois o intervalo do argumento principal
´e −π < ArgZ ≤ π.
F´ormula de Euler
As chamadas fun¸c˜oes exponenciais complexas s´o ser˜ao estudadas mais adiante nesse
texto, por´em uma rela¸c˜ao muito importante deve ser comentada desde j´a, conhecida
como a F´ormula de Euler:
e iθ = cos(θ) + isen(θ).
Com isso, por exemplo, teremos e iπ = cos(π) + isen(π) = −1 conhecida com
identidade de Euler e muito usada em ´areas de aplica¸c˜oes dos n´umeros complexos.
14 N´umeros complexos
1.8 Produtos, potˆencias e quocientes de n´umeros
complexos, na forma polar
1.8.1 Produtos
Sejam z 1 = r 1 (cosθ 1 + isenθ 1 ) e z 2 = r 2 (cosθ 2 + isenθ 2 ). Temos,
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cosθ 1 + isenθ 1 )(cosθ 2 + isenθ 2 ) = r 1 r 2 [(cosθ 1 cosθ 2 − senθ 1 senθ 2 ) + i(cosθ 1 senθ 2 + senθ 1 cosθ 2 )] = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + isen(θ 1 + θ 2 )].
Ou, podemos escrever, z 1 z 2 = r 1 r 2 θ 1 + θ 2.
Exemplo 1.10. Sejam z 1 = 2 + 2i e z 2 = 1 +
3 i. Calcule z 1 z 2.
Solu¸c˜ao:
Para z 1 = 2 + 2i, temos que | z 1 |=
22 + 2^2 =
- E o argumento principal,
Argz 1 = θ =
π
4
Escrevemos, z 1 = 2 + 2i = 2
(^2) π/4.
Para z 2 = 1 +
3 i, temos que | z 2 |=
3)^2 = 2. E, tg θ =
⇒ θ =
π
3
Portanto, 1 +
3 i = 2 π/ 3.
Assim,
z 1 z 2 = (2 + 2i)(1 +
3 i)
(^2) π/4)(2 (^) π/3)
2 7π/ 12
2[cos(7π/12) + isen(7π/12)].
Mas cos(7π/12) = cos(π/4 + π/3) =
E, sen(7π/12) = sen(π/4 + π/3) =
Logo,
z 1 z 2 = 4
16 N´umeros complexos
1.8.2 Potˆencias
Temos, z 1 z 2... zn = r 1 r 2... rn[cos(θ 1 + θ 2 +... + θn) + isen(θ 1 + θ 2 +... + θn)].
Se z = r(cosθ + isenθ) , n ∈ Z ∗
n = r n [cos(nθ) + isen(nθ)].
A f´ormula acima ´e chamada de f´ormula de De Moivre.
E, (cosθ + isenθ)n^ = cos(nθ) + isen(nθ).
Tamb´em, (cosθ + isenθ)−n^ =
cosnθ + isennθ
= cos(nθ) − isen(nθ).
Temos que
z
r
(cos(−θ) + isen(−θ)) =
r
−θ.
Exemplo 1.12. Seja z = 1 + i. Escreva, na forma a + bi, o n´umero complexo z 100 .
Solu¸c˜ao:
Temos, z = 1 + i ⇒ z =
(^2) π/4.
z^100 = (
2)^100 100 π/ 4.
Portanto, z = 2^50 25 π = 2^50 (cos 25 π + isen 25 π) = 2^50 (−1) = − 250.
Exemplo 1.13. Escreva na forma a + bi o n´umero complexo (2i) 50 · (1 +
3 i) 20 .
Solu¸c˜ao:
z 1 = (2i)^50 = (2 (^) π/2)^50 = 2^50 50 π/2 = 2^50 25 π = − 250.
z 2 = (1 +
3 i)^20 = (2 π/3)^20 = 2^20 20 π/3 = 2^20 [cos(20π/3) + isen(20π/3)].
Mas,
20 π
3
= 6π +
2 π
3
= 3 · 2 π +
2 π
3
Assim, cos
20 π
3
= cos
2 π
3
sen
20 π
3
= sen
2 π
3
Obtemos, z 2 = (1 +
3 i)^20 = 2^20 ·
i
Logo, (2i)^50 · (1 +
3 i)^20 = (− 250 · 220 )
i
= 2^69 − 269
3 i.
Introdu¸c˜ao 17
1.8.3 Quocientes
Temos que
z 1
z 2
r 1
r 2
[cos(θ 1 − θ 2 ) + isen(θ 1 − θ 2 )] , r 2 6 = 0.
Exemplo 1.14. Sejam z 1 = 1 +
3 i e z 2 = 1 −
3 i. Escreva, na forma a + bi, o
n´umero complexo
z 1
z 2
Solu¸c˜ao:
z 1 = 1 +
3 i = 2 (^) π/3 e z 2 = 1 −
3 i = 2 (^) −π/3.
Portanto,
z 1
z 2
2 π/ 3
(^2) −π/ 3
= 2/ 2 π/ 3 − (−π/3) = 1 2π/ 3.
Assim,
z 1
z 2
= cos
2 π
3
2 π
3
i.
Exemplo 1.15. Escreva na forma a + bi o n´umero complexo
3 i)^20
(1 − i)^30
Solu¸c˜ao:
z 1 = (1 +
3 i)^20 = (2 (^) π/3)^20 = 2^20 20 π/3 = 2^20 2 π/ 3.
z 2 = (1 − i)^30 = (
(^2) −π/4)^30 = 2^15 − 15 π/2 = 2^15 − 3 π/2 = 2^15 π/ 2.
Assim,
(1 + i
20
(1 − i)^30
20 2 π/ 3
215 π/ 2
= 2^5 2 π/ 3 − π/2 = 2^5 π/ 6.
Portanto,
(1 + i
3)^20
(1 − i)^30
cos
π
6
π
6
i
3 + 16i.
1.9 Extra¸c˜ao de ra´ızes de n´umeros complexos
Queremos resolver a equa¸c˜ao zn^ = z 0 , sendo z 0 = r 0 θ 0 e z = r θ.
Temos, zn^ = z 0 ⇔ rn[cos(nθ) + isen(nθ)] = r 0 (cosθ 0 + isenθ 0 ).
Assim, rn^ = r 0 e nθ = θ 0 + 2kπ , k ∈ R ⇒ θ =
θ 0 + 2kπ
n
Logo, z = n
r 0
cos
θ 0 + 2kπ
n
θ 0 + 2kπ
n
, k ∈ Z.
Observamos, por´em, que os valores k = 0, 1 , 2 ,... , n − 1 s˜ao suficientes para que as
n ra´ızes sejam obtidas.
Introdu¸c˜ao 19
Temos, z 0 = 1 ⇒ |z 0 | = r 0 = 1 e θ 0 = 0.
r =
1 = 1 , θ =
kπ
2
Assim, z = cos
kπ
2
kπ
2
, k = 0, 1 , 2 , 3.
Para k = 0, temos z 1 = 1.
Para k = 1, temos z 2 = cos
π
2
π
2
= i.
Para k = 2, temos z 3 = cosπ + isenπ = − 1.
Para k = 3, temos z 4 = cos
3 π
2
3 π
2
= −i.
(d) z^3 = 1 − i.
Solu¸c˜ao:
Temos, z 0 = 1 − i ⇒ |z 0 | = r 0 =
2 e θ 0 = −
π
4
r =
3
6
2 , θ =
−π/4 + 2kπ
3
Logo, z =
cos
−π/4 + 2kπ
3
−π/4 + 2kπ
3
, k = 0, 1 , 2.
Para k = 0, temos z 1 = 6
cos −
π
12
π
12
6
cos
π
12
− isen
π
12
Para k = 1, temos z 2 =
cos
7 π
12
7 π
12
Para k = 2, temos z 3 =
cos
15 π
12
15 π
12
cos
5 π
4
5 π
4
Usando as identidades trigonom´etricas cos^2 x =
1 + cos 2 x
2
e sen^2 x =
1 − cos 2 x
2
obtemos as ra´ızes:
z 1 = 6
− i
z 2 = 6
z 3 =
20 N´umeros complexos
1.10 Regi˜oes no plano complexo
Esse t´opico trataremos atrav´es de exemplos.
Exemplo 1.17. Represente, graficamente, no plano complexo, os seguintes conjuntos:
(a) {z ∈ C|Re(z) < − 3 }.
Solu¸c˜ao:
Quando escrevemos Re(z) < − 3 ´e o equivalente, no R^2 , escrever x < − 3.
No plano complexo, temos:
(b)
z ∈ C| | z − 2 i |>| 1 −
3 i |
Solu¸c˜ao:
Primeiro, calculamos | 1 −
3 i |=
3)^2 = 2.
Queremos descrever o conjunto dos pontos no plano complexo tais que | z − 2 i |> 2.
H´a duas formas de tratar esse caso:
Na primeira, podemos pensar geometricamente. A regi˜ao ´e o conjunto dos pontos
que distam mais que 2 unidades do ponto que representa o n´umero complexo 2 i.
Temos, no plano complexo, os pontos exteriores a um c´ırculo centrado no ponto que
representa o complexo 2 i e raio 2.
Outra maneira de resolver, ´e substituindo z por x + yi e resolvendo a inequa¸c˜ao:
