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Na primeira lição do nosso curso aprendemos o significado das pala- vras Digital e Lógica empregadas na Eletrônica e nos computadores. Vimos que os computadores são denomina- dos digitais quando trabalham com sinais discretos, ou seja, sinais que não variam continuamente entre dois valores, mas que assumem determi- nados valores inteiros. Também vimos que os computadores são máquinas lógicas, porque tomam decisões a partir de certos fatos, segundo regras muito bem estabelecidas. Vimos que no caso dos circuitos digitais, como os usados nos computadores, a base 10 não é a mais apropriada e que estes equipamentos usam principal- mente o sistema binário e hexadecimal. Aprendemos ainda como fazer as conversões de base e ler os números binários e hexade- cimais. Nesta lição veremos de que modo os circuitos digitais podem tomar de- cisões lógicas. Todas essas decisões são baseadas em circuitos muito sim- ples e configurações que operam na base 2 e que portanto, são fáceis de entender, porém muito importantes para os leitores que pretendam tra- balhar com computadores, ou pelo menos entender melhor seu princípio de funcionamento.
2.1 - A álgebra de Boole Em meados do século passado George Boole, um matemático inglês, desenvolveu uma teoria completa- mente diferente para a época, base- ada em uma série de postulados e operações simples para resolver uma infinidade de problemas.
Apesar da algebra de Boole, como foi chamada, poder resolver proble- mas práticos de controle e fabricação de produtos, na época não havia Ele- trônica e nem as máquinas eram su- ficientemente avançadas para utilizar seus princípios. A álgebra de Boole veio a se tor- nar importante com o advento da Ele- trônica, especificamente, da Eletrôni- ca Digital, que gerou os modernos computadores. Boole estabelece em sua teoria que só existem no universo duas con- dições possíveis ou estados, para qualquer coisa que se deseje anali- sar e estes dois estados são opostos. Assim, uma lâmpada só pode es- tar acesa ou apagada, uma torneira só pode estar aberta ou fechada, uma fonte só pode ter ou não ter tensão na sua saída, uma pergunta só pode ter como resposta verdadeiro ou fal- so. Dizemos de maneira simples que na álgebra de Boole as variáveis lógi- cas só podem adquirir dois estados:
0 ou 1 Verdadeiro ou Falso Aberto ou Fechado Alto ou Baixo (HI ou LO) Ligado ou Desligado
Na Eletrônica Digital partimos jus- tamente do fato de que um circuito só pode trabalhar com dois estados pos- síveis, ou seja, encontraremos pre- sença do sinal ou a ausência do si- nal, o que se adapta perfeitamente aos princípios da álgebra de Boole. Tudo que um circuito lógico digital pode fazer está previsto pela álgebra de Boole. Desde as mais simples ope-
rações ou decisões, como acender um LED quando dois sensores são ativados de uma determinada manei- ra ou quando uma tecla é pressiona- da, até girar no espaço uma imagem tridimensional.
2.2 - Os níveis lógicos Partimos então do fato de que nos circuitos digitais só encontraremos duas condições possíveis: presença ou ausência de sinal, para definir al- guns pontos importantes para o nos- so entendimento. Nos circuitos digitais a presença de uma tensão será indicada como 1 ou HI (deHIGH ou Alto) enquanto que a ausência de uma tensão será indicada por 0 ou LO (deLOW ou baixo). O 0 ou LO será sempre uma ten- são nula, ou ausência de sinal num ponto do circuito, mas o nível lógico 1 ou HI pode variar de acordo com o circuito considerado ( figura 1 ). Nos PCs de mesa, a tensão usada para a alimentação de todos os circuitos ló- gicos, por exemplo, é de 5 V. Assim, o nível 1 ou HI de seus circuitos será
LIÇÃO 2
A ÁLGEBRA DE BOOLE
Figura 1 - Nos circuitos digitais só encontramos um valor fixo de tensão.
sempre uma tensão de 5 V. Nos laptops é usada uma tensão de ali- mentação menor, da ordem de 3,2 V, portanto, nestes circuitos um nível 1 ou HI sempre corresponderá a uma tensão desse valor. Existem ainda circuitos digitais que empregam componentes de tecnolo- gia CMOS e que são alimentados ti- picamente por tensões entre 3 e 15 V. Nestes casos, conforme vemos na fi- gura 2, um nível lógico 1 ou HI pode- rá ter qualquer tensão entre 3 e 15 V, dependendo apenas da tensão de ali- mentação usada.
Verdadeiro Ligado Nível alto ou HI
3.1 - Operações Lógicas No dia-a-dia estamos acostuma- dos a realizar diversos tipos de ope- rações lógicas, as mais comuns são as que envolvem números, ou seja, quantidades que podem variar ou va- riáveis. Assim, podemos representar uma soma como:
Y = A + B
Onde o valor que vamos encon- trar para Y depende dos valores atri- buídos às letras A e B. Dizemos que temos neste caso uma função algébrica e que o valor Y é a variável dependente, pois seu va- lor dependerá justamente dos valores de A e B, que são as variáveis inde- pendentes. Na Eletrônica Digital, entretanto, existem operações mais simples do que a soma, e que podem ser perfei-
tamente implementadas levando em conta a utilização da álgebra booleana. É interessante observar que com um pequeno número destas opera- ções conseguimos chegar a uma infi- nidade de operações mais complexas, como por exemplo, as utilizadas nos computadores e que, repetidas em grande quantidade ou levadas a um grau de complexidade muito grande, nos fazem até acreditar que a máqui- na seja “inteligente”! Na verdade, é a associação, de determinada forma das operações simples que nos leva ao comporta- mento muito complexo de muitos cir- cuitos digitais, conforme ilustra a fi- gura 4. Assim, como observamos na figu- ra 5 , um computador é formado por
Figura 2 - A tensão encontrada nos circuitos CMOS terá um valor fixo entre 3 e 15 V.
Figura 3 - Podemos trabalhar com os níveis "invertidos" numa lógica negativa.
Figura 4 - Circuitos que fazem operações simples podem ser associados para realizar operações complexas.
Figura 5 - Poucos blocos básicos, mas reunidos em grande quantidae podem realizar operações muito complexas.
Na verdade, a idéia de associar a presença de tensão ao nível 1 e a ausência ao nível 0, é mera questão de convenção. Nada impede que adotemos um critério inverso e projetemos os circui- tos, pois eles funcionarão perfeita- mente. Assim, quando dizemos que ao nível alto (1) associamos a presença de tensão e ao nível baixo a ausên- cia de tensão (0), estamos falando do que se denomina “lógica positiva”. Se associarmos o nível baixo ou 0 a presença de tensão e o nível alto ou 1 a ausência de tensão, estaremos falando de uma “lógica negativa”, con- forme ilustra a figura 3. Para não causar nenhum tipo de confusão, todo o nosso curso tratará exclusivamente da lógica positiva, o mesmo acontecendo com os dispo- sitivos eletrônicos tomados como exemplos. Portanto, em nossa lógica, é pos- sível associar os seguintes estados de um circuito aos valores 0 e 1:
0 V
Falso Desligado Nível baixo ou LO
1 - 5 V (ou outra tensão positiva, conforme o circuito)
usando chaves e uma lâmpada co- mum. É preciso que S 1 e S 2 estejam fechadas, para que a saída (lâmpa- da) seja ativada. Para uma porta E de três entra- das tabela verdade será a seguinte:
Entradas Saída A B C S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
Para que a saída seja 1, é preciso que todas as entradas sejam 1. Observamos que para uma porta E de 2 entradas temos 4 combinações possíveis para os sinais aplicados. Para uma porta E de 3 entradas te- mos 8 combinações possíveis para o sinal de entrada. Para uma porta de 4 entradas, te- remos 16 e assim por diante.
2.6 - Função lógica OU A função OU ou ainda OR (do in- glês) é definida como aquela em que a saída estará em nível alto se uma ou mais entradas estiver em nível alto. Esta função é representada pelos símbolos mostrados na figura 10. O símbolo adotado normalmente em nossas publicações é o mostrado em (a). Para uma porta OU de duas en- tradas podemos elaborar a seguinte tabela verdade:
Entradas Saída A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Vemos que a saída estará no ní- vel 1 se uma das entradas estiverem no nível 1. Um circuito simples com chaves e lâmpada para simular esta função é dado na figura 11. Quando uma chave estiver fecha- da (entrada 1) a lâmpada receberá corrente (saída 1), conforme desejar- mos. Para mais de duas variáveis po- demos ter portas com mais de duas entradas. Para o caso de uma porta OU de três entradas teremos a se- guinte tabela verdade:
Entradas Saída A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
2.7 - Função NÃO-E As funções E, OU e NÃO (inver- sor) são a base de toda a álgebra booleana e todas as demais podem ser consideradas como derivadas delas. Vejamos: Uma primeira função importante derivada das anteriores é a obtida pela associação da função E com a função NÃO, ou seja, a negação da
função E que é denominada NÃO-E ou em inglês, NAND. Na figura 12 temos os símbolos adotados para representar esta fun- ção. Observe a existência de um pe- queno círculo na saída da porta para indicar a negação. Podemos dizer que para a função NAND a saída estará em nível 0 se, e somente se, todas as entradas esti- verem em nível 1. A tabela verdade para uma porta NÃO-E ou NAND de duas entradas é a seguinte:
Entradas Saída A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Na figura 13 temos um circuito simples com chaves, que simula esta função.
Figura 9 - Circuito simples para simular um aporta E ou AND.
Figura 10 - Símbolos para as portas OU ou OR.
Figura 11 - Circuito para simular uma porta OU ou OR de duas entradas.
Figura 12 - Símbolos para as portas NÃO-E ou NAND.
Veja que a lâmpada só apagará (saída 0) quando as duas chaves es- tiverem fechadas (1), curto-circuitando assim sua alimentação. O resistor é usado para limitar a corrente da fonte. Também neste caso podemos ter a função NAND com mais de duas entradas. Para o caso de 3 entradas teremos a seguinte tabela verdade:
Entradas Saída A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
2.8 - Função NÃO-OU Esta é a negação da função OU, obtida da associação da função OU com a função NÃO ou inversor. O ter- mo inglês usado para indicar esta fun- ção é NOR e seus símbolos são apre- sentados na figura 14. Sua ação é definida da seguinte forma: a saída será 1 se, e somente se, todas as variáveis de entrada fo- rem 0. Uma tabela verdade para uma fun- ção NOR de duas entradas é mostra- da a seguir:
Entradas Saída A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
Um circuito simples usando cha- ves e lâmpada para simular esta fun- ção é mostrado na figura 15.
Observe que a lâmpada só se mantém acesa (nível 1) se as duas chaves (S 1 e S 2 ) estiverem abertas (nível 0). Da mesma forma que nas funções anteriores, podemos ter portas NOR com mais de duas entradas. Para o caso de três entradas teremos a se- guinte tabela verdade:
Entradas Saída A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
2.9 - Função OU-exclusivo Uma função de grande importân- cia para o funcionamento dos circui- tos lógicos digitais e especificamente para os computadores é a denomina- da OU-exclusivo ou usando o termo inglês,“exclusive-OR”. Esta função tem a propriedade de realizar a soma de valores binários ou ainda encon- trar o que se denomina “paridade” (o que será visto futuramente). Na figura 16 temos os símbolos adotados para esta função. Podemos definir sua ação da se- guinte forma: a saída será 1 se, e so- mente se, as variáveis de entrada fo- rem diferentes. Isso significa que, para uma portaExclusive-OR de duas en-
tradas teremos saída 1 se as entra- das forem 0 e 1 ou 1 e 0, mas a saída será 0 se as entradas forem ambas 1 ou ambas 0, conforme a seguinte ta- bela verdade:
Entradas Saída A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Esta função é derivada das de- mais, pois podemos “montá-la” usan- do portas conhecidas ( figura 17 ). Assim, se bem que esta função tenha seu próprio símbolo e possa ser considerada um “bloco” independen- te nos projetos, podemos sempre implementá-la com um circuito equivalente como o ilustrado nessa figura.
2.10 - Função NÃO-OU exclusi- vo ou coincidência Podemos considerar esta função como o “inverso” do OU-exclusivo. Sua denominação em inglês éExclusive
Figura 13 - Circuito que simula uma porta NAND ou NÃO-E de duas entradas.
Figura 14 - Símbolo usados para representar a função NOR ou NÃO-E
Figura 15 - Circuito usado para simular uma porta NOR de duas entradas.
Figura 16 - Símbolo para a função OU-exclusivo ou Exclusive-OR.
5. Propriedades diversas:
A.A = A
A+A = A
A.0 = 0
A.1 = A
A+0 = A
A+1 = 1
A.A= 0
A+A= 1
A+A.B = A
6. Teoremas de De Morgan:
Aplicando a operação NÃO a uma operação E, o resultado obtido é igual ao da operação OU aplicada aos com- plementos das variáveis de entrada.
A. B = A + B
Aplicando a operação NÃO a uma operação OU o resultado é igual ao da operação E aplicada aos comple- mentos das variáveis de entrada.
____ _ _
A + B = A. B
2.12 - Fazendo tudo com portas NAND As portas NÃO-E, pelas suas ca- racterísticas, podem ser usadas para obter qualquer outra função que es- tudamos. Esta propriedade torna es- sas portas blocos universais nos pro- jetos de circuitos digitais já que, na forma de circuitos integrados, as fun- ções NAND são fáceis de obter e ba- ratas. A seguir vamos mostrar de que modo podemos obter as funções es- tudadas simplesmente usando portas NAND.
Inversor Para obter um inversor a partir de uma porta NAND basta unir suas en- tradas ou colocar uma das entradas no nível lógico 1, conforme figura 2 0. Uma porta E (AND) é obtida sim- plesmente agregando-se à função NÃO-E (NAND) um inversor em cada entrada, ( figura 21 ). A função OU (OR) pode ser obti- da com o circuito mostrado na figura 22. O que se faz é inverter a
saída depois de aplicá-la a uma por- ta NAND.
2.13 - Conclusão Os princípios em que se baseiam os circuitos lógicos digitais podem parecer algo abstratos, pois usam muito de Matemática e isso talvez desestimule os leitores. No entanto, eles são apenas o começo. O esforço para entendê-los certamente será re- compensado, pois estes princípios estão presentes em tudo que um com- putador faz. Nas próximas lições, quando os princípios estudados co- meçarem a tomar uma forma mais concreta, aparecendo em circuitos e aplicações práticas será fácil entendê- los melhor. Nas próximas lições, o que foi es- tudado até agora ficará mais claro quando encontrarmos sua aplicação prática.
QUESTIONÁRIO
- Se associarmos à presença de uma tensão o nível lógico 1 e à sua ausência o nível 0, teremos que tipo de lógica: a) Digital b) Positiva c) Negativa d) Booleana
- Na entrada de uma função lógi- ca NÃO aplicamos o nível lógico 0. A
saída certamente será: a) 0 b) 1 c) Pode ser 0 ou 1 d) Estará indefinida
- O circuito que realiza a opera- ção lógica NÃO é denominado: a) Porta lógica b) Inversor c) Amplificador digital d) Amplificador analógico
- Se na entrada de uma porta NAND aplicarmos os níveis lógicos 0 e 1, a saída será: a) 0 b) 1 c) Pode ser 0 ou 1 d) Estará indefinida
- Em qual das seguintes condi- ções de entrada a saída de uma por- ta OR será 0: a) 0,0 b) 0, c) 1,0 d) 1,
- Qual é o nome da função lógi- ca em que obtemos uma saída 1 quando as entradas tiverem níveis lógicos diferentes, ou seja, forem 0 e 1 ou 1 e 0. a) NAND b) NOR c) AND d) Exclusive OR
- Qual é a porta que pode ser utilizada para implementar qualquer função lógica: a) Inversor (NÃO) b) AND c) NAND d) OR
Figura 20 - Obtendo um inversor ( Função NÃO ou NOT) a partir de uma porta NAND.
Figura 21 - POrta E obtida com duas NÀO-E (NAND).
Figura 22 - Porta OU obtida com duas NÃO-E (NAND).
Respostas da lição nº 1 a) 0110 0100 0101 b) 101101 c) 25 d) Sem resposta (1101 não existe) e) 131 f) 131 g) 334
