Baixe Notas de Cálculo 1 - Período Completo: Limites, Derivadas e Integrais e outras Notas de aula em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
Notas de Aula – Cálculo 1:
Função
Uma função “𝑓” é uma regra que relaciona uma variável (número real) “𝑥” a um valor
real “𝑦”. Os valores que formam um conjunto de entradas da função “𝑥” formam o
conjunto imagem da função. Por exemplo, seja uma função “𝑓” definida como 𝑓(𝑥) =
2 𝑥 − 1 , se 𝑥 = 0 , então, 𝑦 = 𝑓( 0 ) = 2 ∗ 0 ∗ (− 1 ) = 0 ∗ 1 = − 1. A imagem da função
“𝑓” também é o conjunto dos números reais.
Exemplo 1. 1 :
Se considerarmos 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
Exemplo 1. 2 :
Se definirmos 𝑓 como 𝑓
logo, 𝐷𝑜𝑚 = 𝑥 ∈ ℝ. 𝑥 ≥ 1.
Observação 1. 1 : A função modular, tem finalidade de medir a distância entre o valor 𝑥 e
a origem. Para um intervalo qualquer:
Observação 1. 2 : Função Par: 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥); √𝑥 2 = |𝑥|.
Funções Polinomiais de Ordem “𝑁”: Uma função “f” é dita polinomial se puder
ser escrita da seguinte forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎 0 𝑥𝑛 + 𝑎 1 𝑥𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑎𝑛 − 1 𝑥, onde 𝑎 0 ≠
0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , …, na são constantes, 𝑥 ∈ ℝ.
Exemplo 2.1:
f
x
= 1 , 𝑥 ∈ ℝ (ordem zero)
f
= 2 x + 1 , 𝑥 ∈ ℝ (ordem 1)
f(x) = x
2
− 2 𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ ℝ (ordem 2)
2
, 𝑥 ∈ ℝ (ordem 2)
3
2
Exemplo 2.2: Considere a função “f” definida como 𝑓
3
A função 𝑓 definida por
3
é uma função
ímpar, ou seja, 𝑓
𝑓(−𝑥) para todo 𝑥 ∈ ℝ,
logo seu gráfico é simétrico
em relação aos pontos
Assíntotas:
Graficamente, é quando a
função se aproxima de um
valor, semelhante a uma
reta.
Continuidade:
seja 𝑓: 𝑥 ≤ ℝ → ℝ , 𝑎 ∈ 𝑥
Dizemos que a função 𝑓 é contínua em 𝑎 se: lim
𝑥→𝑎
Teorema do Valor Intermediário (TVI):
Se 𝑓 é uma função contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏], então 𝑓 assume todos
os valores entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏).
Exemplo 4.1: Mostre que a função 𝑓
3
− 4 𝑥 + 3 admite pelo menos uma
raiz real no intervalo [− 4 , 0 ].
A função 𝑓
3
− 4 𝑥 + 3 é contínua em
[
]
3
3
Pelo TVI, 𝑓 assume todos os valores entre 𝑓
e 𝑓
, logo existe um valor 𝑐 ∈
[− 4 , 0 ], tal que 𝑓( 0 ) = 0.
Função Cosseno:
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡 ∈ ℝ, 𝑐𝑜𝑠𝑡 ∈ [− 1 , 1 ]
Função tangente:
= tan 𝑡, tan 𝑡 ≠ ±
𝜋
2
3 𝜋
2
5 𝜋
2
7 𝜋
2
(valores onde denominadores são igual
a zero).
Teorema do Confronto:
lim
𝑥→𝑎
lim
𝑥→𝑎
Logo:
lim
𝑥→𝑎
Observação 3.1:
Limite Fundamental Trigonométrica: lim
𝑥→ 0
sin 𝑥
𝑥
Função Exponencial: É uma função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥
, 𝑥 ∈ ℝ, geralmente usada
para cálculos da matemática financeira. É possível observar em:
Juros Simples: 𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∗ 𝑖, sendo C, o capital, e i, a taxa de juros.
Juros Compostos: 𝐶 (𝑖 + 𝑖)
𝑡
, sendo t, o meu tempo.
Exemplo 4 .1: Seja uma função 𝑓
2
Reta Tangente:
A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que melhor aproxima a curva
nesse ponto, representando sua inclinação naquele instante, para cada ponto da
curva, existe uma única reta tangente com determinada inclinação. A inclinação
da reta secante “s” que passa nos pontos 𝑃 (𝑥 0
0
), é dada por:
𝑠
= tan 𝛼 =
0
0
A inclinação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (𝑥
0
0
)) é dada por:
𝑡
= lim
𝑥→𝑥
0
0
0
A equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (𝑥
0
0
)) é:
0
0
Com esse conceito de reta tangente, podemos definir outro conceito, as
derivadas. Uma derivada é a inclinação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no
ponto 𝑃(𝑥 0
0
) é 𝑎
𝑝
= lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥
0
))
𝑥−𝑥 0
, 𝑠𝑒 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟. A derivada mede a
taxa de variação, e é calculada de forma mecânica, usando a seguinte “fórmula”:
𝑛
, a minha função derivada é: 𝑛 ∗ 𝑥
𝑛− 1
. Claro, isso é a forma resumida para
calcularmos a derivada, a derivada advém da seguinte expressão:
′
(𝑥) = lim
𝛥𝑥→ 0
𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)
𝛥𝑥
Exemplo 5.1:
3
2
′
2
Regras/Propriedades de derivação:
Multiplicação por escalar: [𝑘 ∗ 𝑓(𝑥)]
′
′
Regra do Quociente: (
𝑓
( 𝑥
)
𝑔
( 𝑥
)
′
𝑓
( 𝑥
)
′
∗𝑔
( 𝑥
) −𝑓
( 𝑥
) ∗𝑔
( 𝑥
)
′
𝑔
( 𝑥
)
2
Regra do Produto: (𝑓
′
′
′
Observação 4.1:
′
′
Observação 4.2: No caso da tangente, podemos considerar ela como a divisão de
duas funções, pois, tan 𝑥 =
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
, logo, 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥). Podemos
resolver usando a regra do quociente, assim, obtemos que tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐
2
Observação 4.3: A derivada também pode ser descrita com a notação
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Máximos e Mínimos:
Teorema 1.1: Uma função 𝑓 contínua em um intervalo fechado [a,b], possui
máximo ou mínimo absoluto.
Teorema 1.2: A derivada da função assume valor nulo ou ela não existe é chamada
de ponto crítico.
Definição 1.1: Um ponto 𝑥
0
∈ (𝑎, 𝑏) onde 𝑓(𝑥
0
′
= 0 ou 𝑓(𝑥
0
′
não existe é
chamado de ponto crítico da função.
Encontrando extremos absolutos de funções contínuas em um intervalo fechado
[a,b].
a) Calcular 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) (os valores podem estar nos pontos da função).
b) Calcular os pontos críticos de 𝑓 em (𝑎, 𝑏) e calcular os valores de 𝑓 nestes
pontos críticos.
c) Comparar os valores de 𝑓 encontrados nos itens anteriores.
Exemplo 7.1: Encontre o máximo e mínimo absoluto de 𝑓
3
− 3 𝑥 + 1 em
[
]
3
3
′
2
′
2
Os pontos Críticos são 𝑥 = − 1 e 𝑥 = 1
não pertence ao intervalor
[
]
, logo, o único ponto crítico para 𝑓 é 𝑥 = 1.
3
Logo, temos que:
( 3 , 19 ) é ponto de máximo absoluto de 𝑓 em [ 0 , 3 ].
é ponto de mínimo absoluto de 𝑓 em
[
]
Observação 5.1: A derivada com sinal positiva, significa que a função está em
crescimento; A derivada com sinal negativo, a função está em decrescimento.
Quando ela vale zero, significa que ela atingiu um de seus pontos críticos.
Observação 5.2: Caso seja necessário, pode ser estimado um gráfico pela análise
da derivada, analisando o meio do caminho entre os pontos.
Observação 5.3: A derivada da derivada, mede a taxa de aceleração da função 𝑓.
Taxas e Primitivas:
Exemplo 8.1: O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo
de uma reta é dada pela equação 𝑠(𝑡) = 𝑡
2
− 8 𝑡 + 18 , onde 𝑡 é medido em
segundos. Encontre a velocidade instantânea para 𝑡 = 4 𝑠.
2
′
Observação 6.1: Para se encontrar a posição ao invés da velocidade, é utilizado a
integral, que assume o papel da “antiderivação”.
Exemplo 8.2: Uma partícula move-se em uma reta em aceleração dada por 𝑎(𝑡) =
6 𝑡 + 4. Sua velocidade inicial é de 𝑣( 0 ) = − 6 𝑚/𝑠 e seu deslocamento inicial é de
𝑠( 0 ) = 9 𝑐𝑚. Encontre a sua função posição.
2
2
2
3
2
2
2
3
2
Definição 2.1: Uma função 𝑓 é uma primitiva de 𝑓 se 𝑓(𝑥)
′
= 𝑓(𝑥). Usamos a
seguinte notação: ∫ 𝑓
′
Exemplo 9.1: ∫
2
𝑥
3
3
- 𝑐 , onde c é a minha constante de integração.
Regras de integração para alguns casos:
a) ∫
𝑎
𝑥
𝑎+ 1
𝑎+ 1
b) ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln |𝑥| 𝑑𝑥 + 𝑐
c) ∫
𝑥
𝑥
d) ∫
𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 , sendo 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
e) ∫
f) ∫
Substituição Trigonométrica:
2
2
2
2
2
2
Inversa de 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Frações Parciais/ Decomposição de Frações:
2
2
= ln 𝑥
2
2
(ln(𝑥) − 1 ) 𝑑𝑥 +
(ln(𝑥) + 1 ) 𝑑𝑥
