Aula 10
Mariana Maia
Teorema de
Euler
Teorema de
Wilson
Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Os Teoremas de Euler e Wilson
Mariana Maia
Universidade Federal Rural do Semi-´
Arido
mariana.maia@ufersa.edu.br
8 de julho de 2021
Mariana Maia Aula 10
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notas de aulas que foram, Esquemas de Matemática
Notas,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Tipologia: Esquemas
2025
1 / 134
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Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Os Teoremas de Euler e Wilson
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Universidade Federal Rural do Semi-Arido´
mariana.maia@ufersa.edu.br
8 de julho de 2021
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Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Sum´ario
1 Teorema de Euler
2 Teorema de Wilson
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Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Proposi¸c˜ao 1: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1. A congruˆencia aX ≡ 1 mod m possui solu¸c˜ao se, e somente se, (a, m) = 1. Al´em disso, se x 0 ∈ Z ´e uma solu¸c˜ao, ent˜ao x ´e uma solu¸c˜ao da congruˆencia se, e somente se, x ≡ x 0 mod m.
A congruˆencia acima tem uma solu¸c˜ao x 0 se, e somente se, m | ax 0 − 1 , o que equivale a dizer que a equa¸c˜ao diofantina aX − mY = 1 possui solu¸c˜ao em n´umeros inteiros, o que ocorre se, e somente se, (a, m) = 1.
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Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Proposi¸c˜ao 1: Sejam a, m ∈ Z, com m > 1. A congruˆencia aX ≡ 1 mod m possui solu¸c˜ao se, e somente se, (a, m) = 1. Al´em disso, se x 0 ∈ Z ´e uma solu¸c˜ao, ent˜ao x ´e uma solu¸c˜ao da congruˆencia se, e somente se, x ≡ x 0 mod m.
A congruˆencia acima tem uma solu¸c˜ao x 0 se, e somente se, m | ax 0 − 1 , o que equivale a dizer que a equa¸c˜ao diofantina aX − mY = 1 possui solu¸c˜ao em n´umeros inteiros, o que ocorre se, e somente se, (a, m) = 1. Por outro lado, observe que, se x 0 e x s˜ao solu¸c˜oes da congruˆencia aX ≡ 1 mod m, ent˜ao ax ≡ ax 0 mod m, e (a, m) = 1, o que implica que x ≡ x 0 mod m.
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Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Uma solu¸c˜ao da congruˆencia aX ≡ 1 mod m determina e ´e determinada por qualquer outra solu¸c˜ao.
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Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Uma solu¸c˜ao da congruˆencia aX ≡ 1 mod m determina e ´e determinada por qualquer outra solu¸c˜ao. Se considerarmos que duas solu¸c˜oes congruentes m´odulo m s˜ao, essencialmente, a mesma, temos a unicidade da solu¸c˜ao da congruˆencia aX ≡ 1 mod m.
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Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Pode-se obter um sistema reduzido de res´ıduos r 1 , · · · , rs , m´odulo m, a partir de um sistema completo qualquer de res´ıduos a 1 , · · · , am, m´odulo m, eliminando os elementos ai que n˜ao s˜ao primos com m.
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Teorema de Euler Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Teorema de Euler
Pode-se obter um sistema reduzido de res´ıduos r 1 , · · · , rs , m´odulo m, a partir de um sistema completo qualquer de res´ıduos a 1 , · · · , am, m´odulo m, eliminando os elementos ai que n˜ao s˜ao primos com m. De fato, as propriedades (a) e (b) da defini¸c˜ao s˜ao claramente verificadas para r 1 , · · · , rs. Por outro lado, dado um n´umero inteiro n, existe j tal que n ≡ aj mod m. Se (n, m) = 1, ent˜ao, vimos que, (aj , m) = 1 e, portanto, para algum j, temos que aj = ri e, consequentemente, n ≡ ri mod m.
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Dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m tˆem o mesmo n´umero de elementos.
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Teorema de Euler
Dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m tˆem o mesmo n´umero de elementos. Sejam r 1 , · · · , rs e r 1 ′, · · · , r (^) t′ dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m.
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Dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m tˆem o mesmo n´umero de elementos. Sejam r 1 , · · · , rs e r 1 ′, · · · , r (^) t′ dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m. Dado ri , temos que (ri , m) = 1. Como r 1 ′, · · · , r (^) t′ formam um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m, ent˜ao existe um ´unico j tal que ri ≡ r (^) j′ mod m. Isso define uma fun¸c˜ao f entre os dois sistemas, essa fun¸c˜ao ´e injetiva, pois se dois elementos diferentes do primeiro sistema correspondessem ao mesmo elemento do segundo, ter´ıamos que eles seriam congruentes entre si, e contrariaria o item (b) da defini¸c˜ao.
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Dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m tˆem o mesmo n´umero de elementos. Sejam r 1 , · · · , rs e r 1 ′, · · · , r (^) t′ dois sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo m. Dado ri , temos que (ri , m) = 1. Como r 1 ′, · · · , r (^) t′ formam um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m, ent˜ao existe um ´unico j tal que ri ≡ r (^) j′ mod m. Isso define uma fun¸c˜ao f entre os dois sistemas, essa fun¸c˜ao ´e injetiva, pois se dois elementos diferentes do primeiro sistema correspondessem ao mesmo elemento do segundo, ter´ıamos que eles seriam congruentes entre si, e contrariaria o item (b) da defini¸c˜ao. Logo s ≤ t. Do mesmo modo, podemos definir uma fun¸c˜ao injetiva g de {r 1 ′, · · · , r (^) t′ } em {r 1 , · · · , rs }.
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Teorema de Euler
Designaremos por ϕ(m) o n´umero de elementos de um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m > 1 , que corresponde `a quantidade de n´umeros naturais entre 0 e m − 1 que s˜ao primos com m. Pondo ϕ(1) = 1, isto define uma importante fun¸c˜ao
ϕ : N −→ N,
chamada fun¸c˜ao phi de Euler.