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Este documento aborda as propriedades da linha freática ou linha de fluxo freático, que tratam do fluxo de água em solos. O texto explica a percolação bidimensional e tridimensional, deduz as equações da vazão bidimensional e tridimensional, e discute a importância da linha freática em problemas de fluxo de água em solos. Além disso, o texto apresenta um exemplo de um problema clássico de percolação de água com fluxo confinado.
O que você vai aprender
Tipologia: Esquemas
1 / 25
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Não perca as partes importantes!
1 Equação geral do fluxo bidimensional
2 Resolução da equação geral do fluxo bidimensional ou equação de Laplace
3 Redes de fluxo
4 Propriedades da linha freática (ou da linha de fluxo freática)
5 Considerações finais
1 Equação geral do fluxo bidimensional
1.1 Introdução
Î Normalmente, o problema do fluxo (ou percolação) de água pelo solo é tratado no plano (ou em duas dimensões), como acontece na maioria dos problemas práticos da mecânica dos solos.
Î O estudo do fluxo (ou percolação) de água pelos maciços terrosos é importante para:
a) Para quantificar a vazão de água que percola pelos maciços terrosos; e b) Para evitar os efeitos nocivos da percolação da água; Por exemplo: o “piping” ou erosão da barragem de terra causada pela água percolada.
Î Para determinar a quantidade de água percolada pelos maciços terrosos é necessário solucionar a equação geral do fluxo bidimensional.
OBS(s). a) Percolação é a movimentação da água pelo solo; Contudo, a percolação pode se dá em forma de fluxo em uma (x), duas (x, z) ou três (x, y, z) dimensões do maciço de solo; b) Fluxo é o escoamento de um fluido com trajetória ou curso definido; e c) Maciço é uma grade massa sólida e espessa.
1.2 Apresentação da equação geral do fluxo bidimensional
i) Hipóteses assumidas (ou obedecidas) para dedução da equação do fluxo bidimensional
Para dedução da equação do fluxo bidimensional são assumidas (ou obedecidas) as seguintes hipóteses:
a) O solo é considerado saturado, ou seja, o solo possui todos os seus vazios preenchidos pela água; b) Existe a ocorrência de fluxo de água no interior do solo saturado; c) As partículas sólidas do solo, e a água são considerados incompressíveis; e d) A estrutura do solo não é alterada pelo fluxo de água.
ii) Dedução da equação do fluxo bidimensional
Î Seja o elemento (ou pequena parte) do solo sujeito ao fluxo (ou percolação) da água nas direções X e Z, como mostra a Figura 1.1.
Î Na Figura 1.1, tem-se que: dx = espessura do elemento de solo na direção X; dz = espessura do elemento de solo na direção Z; VX = velocidade da água, que entra no elemento de solo na direção X; VZ = velocidade da água, que entra no elemento de solo na direção Z;
OBS. Para encontrar a vazão tridimensional, que entra no elemento de solo da Figura 1.1 é necessário multiplicar a vazão bidimensional que entra no elemento de solo (QE ), nas direções X e Z, pela espessura do elemento de solo na direção Y, que é ortogonal ou (perpendicular) a Figura 1.1.
Î Determinação da vazão bidimensional que sai do elemento de solo, da Figura 1.1, nas direções X e Z
A vazão bidimensional que sai no elemento de solo, da Figura 1.1, submetido ao fluxo bidimensional de água corresponde à seguinte equação:
em que: Q (^) S = vazão bidimensional que sai do elemento (ou pequena parte) de solo; VX = velocidade da água na direção X, que entra no elemento de solo; VZ = velocidade da água na direção Z, que entra no elemento de solo; dx = espessura do elemento de solo na direção X; dz = espessura do elemento de solo na direção Z; (∂VX /∂x).dx = acréscimo de velocidade da água, após atravessar o elemento de solo na direção X; e (∂VZ/∂z).dz = acréscimo de velocidade da água, após atravessar o elemento de solo na direção Z.
OBS. Para encontrar a vazão tridimensional, que sai do elemento de solo da Figura 1.1 é necessário multiplicar a vazão bidimensional que sai do elemento de solo (QS ), nas direções X e Z, pela espessura do elemento de solo na direção Y, que é ortogonal ou (perpendicular) a Figura 1.1.
Obtenção da equação da continuidade:
Î Como a vazão que entra no elemento de solo (Q (^) E ) é igual à vazão que sai do elemento de solo (QS ), tem-se a seguinte equação:
(1.3)
em que: QE = vazão que entra no elemento de solo; e QS = vazão que sai do elemento de solo.
Î Desenvolvendo, a eq. (1.3), anterior, tem-se que:
(1.4)
em que: QE = vazão que entra no elemento de solo; e QS = vazão que sai do elemento de solo.
.dz.dx z
.dx.dz V x
Î Substituindo a eq,(1.1) e a eq.(1.2) na eq.(1.4), e desenvolvendo, tem-se que:
Î Como resultado dos cálculos anteriores, foi obtida a equação da continuidade que é representada pela seguinte fórmula:
em que: ∂VX /∂x = variação da velocidade da água na direção X; e ∂VZ/∂z = Variação da velocidade da água na direção Y.
Î Pela lei de Darcy, apresentada em aulas anteriores, são válidas a eq.(1.6) e a eq.(1.7), que são apresentadas a seguir:
a) Velocidade da água percolada no elemento de solo na direção X
em que: VX = velocidade da água na direção X, que entra no elemento de solo; KX = coeficiente de permeabilidade do solo na direção X; e ∂h/∂x = variação da carga (ou energia) da água na direção X.
b) Velocidade da água percolada no elemento de solo na direção Z
em que: VZ = velocidade da água na direção Z, que entra no elemento de solo; KZ = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Z; e ∂h/∂z = variação da carga (ou energia) da água na direção Z.
x
z
x
dx.dz.
.dx.dz 0 z
.dx.dz V.dx x
V.dz V.dx V .dz
Z
X Z
X z
Z Z X X Z X
z
x
x
h V (^) X KX. ∂
z
h V (^) Z KZ. ∂
Î Para resolução da equação geral do fluxo bidimensional são usados vários métodos, tais como:
a) A integração direta da equação do fluxo bidimensional (tal solução oferece grande complexidade); b) O método numérico das diferenças finitas; c) O método numérico dos elementos finitos; d) O método gráfico (ou representativo) das redes de fluxo; e e) Etc.
2.2 Funções usadas no traçado das redes de fluxo
i) Apresentação das funções usadas para resolução do problema do fluxo bidimensional, através das REDES DE FLUXO
Î A equação geral do fluxo bidimensional de água, através de um maciço de solo, é satisfeita (ou solucionada) graficamente por duas famílias de curvas, que são dadas (ou obtidas ou geradas) pelas seguintes funções:
a) Função φ, chamada de função carga hidráulica; e b) Função Ψ, chamada de função fluxo.
Î As funções φ e Ψ atuam no plano bidimensional XZ, onde ocorre o fluxo de água.
OBS(s). a) O símbolo φ é a letra grega “fi”; e b) O símbolo Ψ é a letra grega “psi”.
ii) Características básicas da função carga hidráulica ( φ ) e da função fluxo (Ψ)
a) As funções carga hidráulica (φ) e fluxo (Ψ) podem ser interpretadas fisicamente dentro da região onde se desenvolve o fluxo de água; b) A função carga hidráulica (φ) gera curvas (ou linhas) na região do fluxo de água, sendo que cada curva (ou linha) gerada é uma constante; c) A função fluxo (Ψ) gera curvas (ou linhas) na região do fluxo de água, sendo que cada curva (ou linha) gerada é uma constante; e d) As curvas (ou linhas) geradas na região do fluxo de água pelas funções carga hidráulica (φ) e fluxo (Ψ) têm significado físico diferentes.
OBS. Uma curva (ou linha) é uma constante, quando não sofre variações; Por exemplo: a curva (ou linha) é uma constante, quando não sofre variação de posição no plano em que ela é traçada.
iii) Curvas (ou linhas) geradas pela função carga hidráulica ( φ ), na região bidimensional onde ocorre o fluxo de água
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função carga hidráulica (φ), são geradas no plano XZ, na região onde ocorre o fluxo de água.
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função carga hidráulica (φ), são chamadas LINHAS EQUIPOTENCIAIS.
Î As LINHAS EQUIPOTENCIAIS representam curvas que possuem a mesma carga hidráulica h.
Î Em uma região onde ocorre o fluxo de água existem várias LINHAS EQUIPOTÊCIAIS geradas pela função carga hidráulica (φ).
Î Cada LINHA EQUIPOTENCIAL gerada (ou determinada) na região do fluxo de água possui uma carga de água (h) específica e constante associada (ou relacionada) a ela.
iv) Curvas (ou linhas) geradas pela função fluxo (Ψ), na região bidimensional onde ocorre o fluxo de água
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função fluxo (Ψ), são geradas no plano XZ, na região onde ocorre o fluxo de água.
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função fluxo (Ψ), são chamadas LINHAS DE FLUXO.
Î As LINHAS DE FLUXO são curvas que indicam a trajetória da água (ou das moléculas de água) na região onde ocorre o fluxo da água.
Î Na região onde ocorre o fluxo de água existem várias LINHAS DE FLUXO geradas pela função fluxo (Ψ).
Î Cada LINHA DE FLUXO, gerada pela função fluxo (Ψ) na região do fluxo de água, representa (ou indica) uma trajetória específica e constante da água (ou das moléculas de água).
A Figura 2.1 apresenta um modelo físico reduzido de água represada, que é constituído de uma caixa com areia, com água represada e com tubos de corante, que servem para ilustrar as LINHAS DE FLUXO da água. Observe, na Figura 2.1, que:
a) A água, que percola pela areia, se mistura com o corante de cada tubo e segue uma trajetória específica e constante, o que prova a real existência das LINHAS DE FLUXO da água; e b) Os piezômetros instalados na região do fluxo de água mostram que na região onde ocorre o fluxo de água, a carga (ou energia) hidráulica é diferente em vários pontos. Este fato se relaciona as LINHAS EQUIPOTENCIAIS, que passam pelos pontos onde os piezômetros foram instalados.
3 Redes de fluxo
3.1 Introdução
Î Como já mencionado anteriormente, as redes de fluxo constitui uma solução gráfica para a equação geral do fluxo bidimensional.
Î As redes de fluxo são traçadas manualmente pelo engenheiro em um plano bidimensional na região onde ocorre o fluxo de água.
3.2 Canal de fluxo e vazão em um canal de fluxo
i) Canal de fluxo
Denomina-se canal de fluxo à região situada entre duas linhas de fluxo.
ii) Vazão em um canal de fluxo
Na Figura 3.1(a) é mostrado um canal de fluxo de espessura unitária = d; Já na Figura 3.1(b) é mostrado o detalhamento da seção do canal de fluxo com as linhas de fluxo e as linhas equipotenciais.
Observe na Figura 3.1(b) que as linhas equipotenciais cruzam as linhas de fluxo do canal de fluxo em ângulos retos (ou de 90º).
Figura 3.1 - Canal de fluxo de espessura unitária = d, e o detalhamento da seção do canal de fluxo com as linhas de fluxo e as linhas equipotenciais
Î Pela lei de Darcy, a vazão tridimensional (Q) de água no canal de fluxo da Figura 3.1(a), mostrada anteriormente, é dada pela seguinte equação:
em que: Q = vazão tridimensional de água no canal de fluxo, na direção do fluxo de água; K = coeficiente de permeabilidade do solo; i = ∆h/L = gradiente hidráulico atuante no solo; ∆h = perda de carga devido à percolação da água; L = distância percorrida pela água percolada; Neste caso, a distância entre duas linhas equipotenciais; A = b.d = área normal à direita do escoamento, ou seção transversal do canal de fluxo da Figura 3.1(a); b = distância entre duas linhas de fluxo; e d = espessura do canal de fluxo.
Î Normalmente, o problema do fluxo é tratado no plano (ou em duas dimensões); Assim sendo, a vazão por unidade de espessura do canal ou vazão bidimensional de água no canal de fluxo, na direção do fluxo de água, será:
em que: q = vazão bidimensional de água no canal de fluxo, na direção do fluxo da água, ou vazão por unidade de espessura do canal de fluxo (cm^3 /s.cm) (ou cm 2 /s); Q = vazão tridimensional no canal de fluxo, na direção do fluxo de água (cm^3 /s); K = coeficiente de permeabilidade do solo; ∆h = perda de carga devido à percolação da água; L = distância percorrida pela água percolada; Neste caso, a distância entre duas linhas equipotenciais; b = distância entre duas linhas de fluxo; e d = espessura do canal de fluxo.
OBS(s). a) Para obter a vazão tridimensional no canal de fluxo, na direção do fluxo de água, basta multiplicar a vazão bidimensional no canal de fluxo (q) pela espessura do canal de fluxo (d); b) As linhas de fluxo são linhas que indicam a trajetória da água (ou das moléculas da água) percolada; e c) Linhas equipotenciais são linhas que possuem a mesma carga (ou energia) hidráulica; Ou seja, se forem instalados piezômetros ao longo de uma linha equipotencial os piezômetros indicarão a mesma carga (ou altura) de água.
Q =K.i.A
K. h.b d
b.d . L
h K. d
q
Figura 3.3 - Formação de “quadrado” durante o traçado de uma rede de fluxo
d) O traçado de uma rede de fluxo consiste, basicamente, no traçado de “quadrados” ligeiramente curvos na região do fluxo de água, os quais são formados pelas linhas equipotenciais e pelas linhas de fluxo.
e) O primeiro passo no traçado de uma rede de fluxo consiste em estabelecer as condições de contorno, ou as condições limites do problema; Por exemplo, estabelecer:
-> A linha equipotencial de carga máxima; -> A linha equipotencial de carga mínima; -> A maior linha de fluxo; e -> A menor linha de fluxo.
f) A rede de fluxo é traçada manualmente pelo engenheiro em um plano bidimensional, na região onde ocorre o fluxo (ou percolação) de água.
OBS. Em uma rede de fluxo, a perda de carga (ou de energia) entre duas linhas equipotenciais é constante.
3.3.1 Redes de fluxo no caso de fluxo confinado
3.3.1.1 Conceito de fluxo confinado
O fluxo de água em uma região é dito fluxo confinado, quando as condições de contorno (ou limites) do problema são totalmente determinadas à priori (ou inicialmente); ou seja, são determinados:
-> A linha equipotencial de carga máxima; -> A linha equipotencial de carga mínima; -> A maior linha de fluxo; e -> A menor linha de fluxo.
3.3.1.2 Exposição de princípios relacionados às redes de fluxo
A Figura 3.4 mostra uma cortina de estaca prancha, que é um problema clássico de percolação de água com fluxo confinado; Assim sendo, baseado na Figura 3.4 serão expostos os princípios das redes de fluxo.
Observe, na Figura 3.4, que são indicadas as condições de contorno, ou as condições limites do problema do fluxo de água pela fundação da cortina de estacas prancha.
Figura 3.4 - Percolação de água pela fundação de uma cortina de estaca prancha, que é um problema clássico de percolação de água com fluxo confinado
Î Bem, as duas propriedades características das redes de fluxo são:
a) Em um canal de fluxo, tem-se que as perdas de carga da água são iguais entre os vários “quadrados” da rede de fluxo; e b) As vazões através os vários canais de fluxo são iguais.
OBS. Denomina-se canal de fluxo à região situada entre duas linhas de fluxo.
3.3.1.3 Cálculo da vazão de água que escoa através do solo de fundação da cortina de estacas prancha
Î Inicialmente, para o cálculo da vazão de água que escoa pela fundação da cortina de estacas prancha da Figura 3.5, mostrada anteriormente, é necessário considerar:
a) O número de canais de fluxo (nf), que é igual ao número de linhas de fluxo da rede de fluxo menos 1 (um); e b) O número de quedas de potencial (neq), que é igual ao número de linhas equipotenciais da rede de fluxo menos 1 (um).
Î Sabe-se que: a vazão bidimensional de água, que escoa na por 1 (um) canal de fluxo da rede de fluxo, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo é dada pela seguinte equação:
em que: q = vazão bidimensional de água em 1 (um) canal de fluxo, na direção do fluxo da água, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo (cm 3 /s.cm) (ou cm 2 /s); K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); ∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais (cm); L = distância percorrida pela água percolada, ou distância entre duas linhas equipotenciais (cm); e b = distância entre duas linhas de fluxo (cm).
OBS. Para encontrar a vazão tridimensional que escoa por 1 (um) canal de fluxo, basta multiplicar a vazão bidimensional (q) pela espessura (d) do canal de fluxo.
.b L
h q K.
Î Sabe-se que: para construir os “quadrados” da rede de fluxo fá-se b = L, ou seja, fá-se a distância entre duas linhas de fluxo (b) igual à distância entre duas linhas equipotenciais (L). Bem, como b = L na rede de fluxo, então a vazão bidimensional em 1 (um) canal de fluxo (q) da rede de fluxo será:
em que: q = vazão bidimensional de água em 1 (um) canal de fluxo, na direção do fluxo da água, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo (cm 3 /s.cm) (ou cm 2 /s); K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); ∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais (cm); L = distância percorrida pela água percolada, ou distância entre duas linhas equipotenciais (cm); e b = distância entre duas linhas de fluxo (cm).
Î Diante do exposto, a vazão total bidimensional de água, que escoa através do solo de fundação da cortina de estaca prancha da Figura 3.5 é dada pela seguinte equação:
em que: Q (^) F = vazão total bidimensional de água, que escoa na direção do fluxo, através do solo de fundação da cortina de estacas prancha (cm 3 /s.cm) (ou cm^2 /s); q = vazão bidimensional de água em 1 (um) canal de fluxo, na direção do fluxo da água, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo (cm 3 /s.cm) (ou cm 2 /s); nf = número de canais de fluxo da rede de fluxo, que corresponde ao número de linhas de fluxo da rede de fluxo menos 1 (um); K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); e ∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais (cm).
Î Sendo que: a perda de carga entre duas linhas equipotenciais (∆h) é dada pela seguinte equação:
(3.6)
em que: ∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais (cm); H = carga total disponível, que é dissipada devido à percolação da água; e neq = número de quedas de potencial, que é igual ao número de linhas equipotenciais da rede de fluxo menos 1 (um).
.b K. h b
h .b K. L
h q K. = ∆
Q (^) F =q.nf=K.∆h. nf
neq
∆h =
OBS(s). a) Linha freática é uma linha de fluxo, que limita o fluxo de água na parte superior da barragem de terra. A linha freática pode ser determinada (ou traçada) pelo uso do método gráfico da Parábola de Kozeny, quando é traçada a rede de fluxo de uma barragem de terra; e b) Uma das situações práticas onde ocorre o maior emprego das redes de fluxo é no caso das barragens de terra.
3.3.2.1 Condições de contorno (ou condições limites) do fluxo de água através do maciço compactado de uma barragem de terra, que possui fundação impermeável
Î A Figura 3.6 mostra o fluxo de água não confinado, através de uma barragem de terra de fundação impermeável; Além disso, são indicadas, na Figura 3.6, as 3 (três) condições de contorno (ou condições limites) do problema de fluxo de água pelo maciço da barragem, que são conhecidas à priori (ou antecipadamente).
Î Destaca-se, que a linha de fluxo correspondente à linha freática, que corresponde a uma condição de contorno, não é definida à priori (ou previamente) para resolução do problema do fluxo de água pela barragem de terra.
Figura 3.6 - Fluxo de água não confinado, através de uma barragem de terra de fundação impermeável, e as 3 (três) condições de contorno (ou condições limites) do problema de fluxo de água pelo maciço da barragem, que são conhecidas à priori (ou antecipadamente)
3.3.2.2 Linha freática das barragens de terra
Î Como já comentado a linha freática é uma linha de fluxo, que limita o fluxo de água na parte superior da barragem de terra.
Î Na linha freática atua a pressão atmosférica; Assim sendo, na linha freática a pressão piezométrica é nula.
OBS. Piezômetro é um aparelho tubular para determinar a pressão atuante na água. Com uso do piezômetro é possível determinar a carga (ou altura) da água em um ponto qualquer da barragem.
Î No estudo do fluxo de água através de barragens de terra, a linha freática pode ser determinada pelo uso do método gráfico da parábola de Kozeny, quando é traçada a rede de fluxo.
4 Propriedades da linha freática (ou da linha de fluxo freática)
4.1 Introdução ao estudo da linha freática
Î A linha freática apresenta uma série de propriedades e particularidades;
Î A determinação da linha freática constitui o primeiro passo para o traçado da rede de fluxo em problemas de fluxo não confinado, o qual ocorre em barragens de terra.
Î A determinação (ou o traçado) da linha de fluxo correspondente à linha freática em barragens de terra pode ser feito pelo método gráfico da parábola de Kozeny.
4.2 Condições de entrada da linha freática no maciço de terra
A Figura 4.1 ilustra algumas condições de entrada da linha freática no maciço de terra, observa-se que a condição de entrada da linha freática no maciço de terra depende do ângulo ω (ômega).
OBS(s). a) ω é o ângulo entre a face do talude de montante do maciço de terra e o plano da base do talude de montante; b) Talude de montante é o talude em contato direto com a água represada; c) Talude é um maciço de terra ou rocha inclinado em relação ao plano que passa pela sua base; d) Maciço é uma grade massa sólida e espessa; e e) O símbolo ω é a letra grega “ômega”.
