P-CALIFICADA-SEMA-1-ESMA-ALG-LINEAL-I
ESPACIOS VECTORIALES
Nombre: ………………………………………… Código: ……………… Firma: …………
1. En el espacio vectorial
(R2; R ;+; ∙ )
defina las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar
por un vector. Pruebe los axiomas
a3
y
b2
.
Solución.
La suma.
+:R2× R2→ R 2
tal que
+
(
(
x ; y
)
;
(
z ; w
)
)
=
(
x ; y
)
+
(
z ; w
)
∈R2
Producto de un escalar por un vector.
∙:R × R2→ R 2
tal que
∙
(
k ;
(
x ; y
)
)
=k
(
x ; y
)
∈R2
(a3) Existencia del elemento neutro aditivo.
∃!0∈V
/
u+0=0+u=u
,
∀u∈V
u+0=
(
x ; y
)
+
(
0;0
)
=
(
x+0; y+0
)
=
(
x ; y
)
=u
0+u=
(
0;0
)
+
(
x ; y
)
=
(
0+x ; 0+y
)
=
(
x ; y
)
=u
(b2) Primera ley de distribución.
∀k ; l ∈K
y
∀u∈V
/
(
k+l
)
u=ku+l u
(
k+l
)
u=
(
k+l
) (
x ; y
)
=
(
(
k+l
)
x ;
(
k+l
)
y
)
=
(
kx+lx ; k y +ly
)
=
(
kx ; ky
)
+
(
lx+ly
)
=k
(
x ; y
)
+l(x ; y )
=
ku+lu
2. En el espacio vectorial de las matrices columna
(M3×1; R ;+; ∙ )
defina las operaciones de suma de
matrices y producto de un escalar por una matriz. Pruebe los axiomas
a2
y
b3
.
Solución.
La suma.
+:M3×1× M 3×1→ M3×1
tal que
+
(
[
x
y
z
]
;
[
r
s
t
]
)
=
[
x
y
z
]
+
[
r
s
t
]
∈M3×1
Producto de un escalar por un vector.
∙:R × M 3×1→ M 3×1
tal que
∙
(
k ;
[
x
y
z
]
)
=k
[
x
y
z
]
∈M3×1
(a2) Asociativa.
∀u ; v ; w ∈V
/
u+
(
v+w
)
=
(
u+v
)
+w
A+( B+C)
=
(A+B)+C
[
x
y
z
]
+
(
[
r
s
t
]
+
[
m
n
p
]
)
=
[
x
y
z
]
+
[
r+m
s+n
t+p
]
=
[
x+(r+m)
y+
(
s+n
)
z+
(
t+p
)
]
=
[
(
x+r
)
+m)
(
y+s
)
+n
(
z+t
)
+p
]
=
[
x+r
y+s
z+t
]
+
[
m
n
p
]
=
(
[
x
y
z
]
+
[
r
s
t
]
)
+
[
m
n
p
]
(b3) Segunda ley de distribución.
∀k∈K
y
∀u ; v ∈V
/
k(u+v)=ku +kv
k(A+B)
=
kA +kB
k(A+B)
=
k
(
[
x
y
z
]
+
[
r
s
t
]
)
=
k
[
x+r
y+s
z+t
]
=
[
k
(
x+r
)
k
(
y+s
)
k
(
z+t
)
]
=
[
k x+k r
k y+k s
k z+k t
]
=
[
kx
ky
kz
]
+
[
kr
ks
kt
]
=
k
[
x
y
z
]
+k
[
r
s
t
]
=
kA +kB
3. Sea el Espacio Vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos
(
P≤2; R ;+; ∙
)
¿El subconjunto
W=
{
p
(
x
)
∈P≤2/p
(
x
)
=a x2+bx
}
, será un Subespacio vectorial? Fundamente su respuesta.
Solución.
Debe cumplir las tres condiciones para ser subespacio vectorial.
(i) El polinomio
p
(
x
)
=0x2+0x=0(x)∈W
, entonces
W ≠ ∅
