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CAPÍTULO II
LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
CONTENIDO
2.1 Transformación Lineal. Definición.
2.2 Interpretaciones geométricas.
2.3 Teorema de caracterización de un espacio vectorial.
2.4 Proposición de invariantes de una transformación lineal.
2.5 Clasificación de las trasformaciones lineales.
2.6 Inversa de una transformación lineal.
2.7 Proposición de una transformación lineal sobre subespacios vectoriales.
2.8 Núcleo de una Transformación lineal.
2.9 El núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial.
2.10 Imagen de una transformación lineal.
2.11 La Imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial.
2.12 Dimensión del núcleo de una transformación lineal.
2.13 Teorema fundamental de las transformaciones lineales.
2.14 Coordenadas o componentes de un “vector”.
2.10 IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN. Sean
( V ; K ,+;∙)
y
( W ; K ,+;∙)
dos espacios vectoriales y sea
T : V →W
una transformación lineal, llamaremos IMAGEN de la transformación
lineal T al conjunto denotado por
ℑ(T )
y está definido por:
ℑ ( T )={ w ∈ W
∃ v ∈ V y T ( v )=w }
Equivalentemente,
ℑ ( T )=
{
T ( v ) ∈ W /
v ∈ V }
OBSERVACIÓN. Se sabe que
T
(
V
)
W
W
∈ ℑ(T )
; es decir que
ℑ(T )≠
2.11 LA IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ES UN
SUBESPACIO VECTORIAL
PROPOSICIÓN. Sean
( V ; K ,+;∙)
y
( W ; K ,+;∙)
dos espacios vectoriales y sea
T : V →W una transformación lineal, entonces la imagen ( ℑ
T
; K ;+; ∙) es un
subespacio vectorial de
W ; K ,+;∙
Demostración.
i) Por la observación anterior
T
(
V
)
W
W
∈ ℑ(T )
; es decir que
ℑ(T )≠
ii) Sean
w
1
; w
2
∈ ℑ(T )
w
1
+w
2
∈ ℑ(T )
¡Probar!
Sea
w
1
∈ ℑ(T )
∃ u ∈ V tal que
T
u
=w
1
Sea
w
2
∈ ℑ(T )
∃ v ∈ V tal que
T
v
=w
2
T
u
+T
v
=w
1
+w
2
T ( u+v )=w
1
+w
2
pues
T
es una transformación lineal.
W
( ℑ(T ); K ;+;∙)
V
T
(W ; K ;+;∙)
(V ; K ;+;∙)
u ∙ u+v ∙
ku ∙
∙ w=T ( u )
EJEMPLO 2. Analizar si la aplicación T : R
3
→ R
2
tal que T
x ; y ; z
=( x ; y−z ) es
una transformación lineal y hallar el núcleo N
T
e imagen
ℑ(T )
mostrando
bases y dimensión.
Solución.
a)
T ( ru+v )
T
(
r (
x
1
; y
1
; z
1
)
(
x
2
; y
2
; z
2
) ) =
T
( (
r x
1
; r y
1
; r z
1
)
(
x
2
; y
2
; z
2
) )
T
(
r x
1
2
; r y
1
2
; rz
1
2
) = (
r x
1
2
; r y
1
2
−rz
1
−z
2
)
= (
r x
1
; ry
1
−r z
1
)
(
x
2
; y
2
−z
2
) =
r (
x
1
; y
1
−z
1
)
(
x
2
; y
2
−z
2
) =
rT ( u) +T ( v )
Por lo tanto,
T
es una transformación lineal.
b) El núcleo de
T
N ( T )=
{
v ∈ V /T ( v )= 0
W
}
N ( T )
= {
x ; y ; z
∈ R
3
/T ( x ; y ; z )=( 0 ; 0 )
R
2 }
T ( x ; y ; z )=( 0 ; 0 )
( x ; y−z )=( 0 ; 0 )
{
x= 0
y−z= 0
( x ; y ; z )=( 0 ; y ; y )
( x ; y ; z )= y ( 0 ; 1 ; 1 )
Son dos planos que al intersectarse generan una recta que es determinada por el
vector
u=( 0 ; 1 ; 1 )
Por lo tanto,
N ( T )
{( x ; y ; z ) ∈ R
3
/( x ; y ; z )=t ( 0 ; 1 ; 1 ) , t ∈ R }
Una base del núcleo
B
N (T )
={( 0 ; 1 ; 1 ) } y la dimensión es
Dim (
N ( T )
)
Recordar que el
N (T )
es un subespacio vectorial.
c) La imagen de
T
ℑ ( T )={ w ∈ R
2
∃ v ∈ R
3
y T ( v )=w }
T
= {( a ; b ) ∈ R
2
∃ ( x ; y ; z ) ∈ R
3
y T ( x ; y ; z )=( a ; b ) }
Entonces
T ( x ; y ; z )=( a ; b )
x ; y−z
=( a ; b )
{
x=a
y−z=b
x ; y−z
=( a ; b )
x ; 0
0 ; y
0 ;−z
=( a ; b )
x
=( a ; b )
Lo cual quiere decir que cualquier vector ( a ; b) ∈ R
2
puede escribirse en
combinación lineal de los vectores
∈ R
2
Solo necesitamos dos vectores que sean L. I. entonces una base puede ser
B
ℑ(T )
={( 1 ; 0 ) , ( 0 ; 1 ) } lo cual quiere decir que ℑ ( T )=R
2
La dimensión de la imagen es
Dim ( ℑ ( T ) )= 2
EJEMPLO 3. Analizar si la aplicación
T : M
2 × 2
→ R
3
tal que
T
[
a b
c d
]
=( a+d ; a+b+c+d ; b+c ) es una transformación lineal y hallar el núcleo
N (T ) e imagen ℑ(T ) mostrando bases y dimensión.
Solución.
a) T es una transformación lineal.
Ejercicio para el lector.
b) El núcleo de T
N ( T )=
{
v ∈ V /T ( v )= 0
W
}
N
T
{
[
a b
c d
]
∈ M
2 × 2
/T
[
a b
c d
]
}
T
[
a b
c d
]
( a+d ; a+b+c+d ; b+c )=( 0 ; 0 ; 0 )
{
a+d= 0
a+b+c+d= 0
b+c= 0
{
d=−a
a+b+c+d= 0
c=−b
N ( T )
{[
a b
c d
]
∈ M
2 × 2
[
a b
c d
]
[
a −c
c −a
]}
N ( T )
{[
a −c
c −a
]
∈ M
2 × 2
/ a , c ∈ R
}
ℑ ( T )={( x ; y ; z ) ∈ R
3
y=x + z }
Entonces una base de la imagen puede ser
B
ℑ(T )
={( 1 ; 1 ; 0 ) , ( 0 ; 1 ; 1 ) } lo cual quiere
decir que ℑ ( T ) R
3
La dimensión de la imagen es Dim ( ℑ
T
)= 2
EJEMPLO 4. Sea
(
M
2 × 2
; R ,+;∙
) el espacio de las matrices cuadradas de orden
2 × 2 y sea
M =
[
]
. Sea
T : M
2 × 2
→ M
2 × 2
la aplicación lineal definida por
T ( A )= AM −MA. Hallar una base y la dimensión del núcleo N (T ) en
M
2 × 2
de
partida. Hallar una base y la dimensión de la imagen
ℑ(T )
de
M
2 × 2
de llegada.
Solución. Ejercicio.
TEOREMA. Sean
( V ; K ,+;∙)
y
( W ; K ,+;∙)
dos espacios vectoriales y sea
T : V →W una transformación lineal, se cumplen:
a)
T
es inyectiva
N ( T )=
{
V
}
b) Sea
{
v
1
; v
2
; … ; v
n
} un conjunto linealmente dependiente de vectores en
V
entonces {
T ( v
1 )
;T ( v
2
); … ;T ( v
n
} es linealmente dependiente en
W
c) Si
{
v
1
; v
2
; … ; v
n
} son vectores de
V
tales que
{
T ( v
1
);T ( v
2
); … ;T ( v
n
} son
linealmente independientes en
W
, entonces
{
v
1
; v
2
; … ; v
n
} son linealmente
independientes en
V
d) Si {
v
1
; v
2
; … ; v
n
} es un conjunto linealmente independiente de vectores de
V
y
T : V →W es una transformación lineal inyectiva, entonces
{
T ( v
1 )
;T ( v
2
); … ;T ( v
n
}
es linealmente independiente en W.
Demostración.
a)
T
es inyectiva
N
T
{
V
} ¡Probar!
() Si
T
es inyectiva
N
T
{
V
} ¡Probar!
(i)
V
∈ N (T )
{
V
}
N (T )
(ii) Sea
u ∈ N (T )
T ( u)= 0
W
=T ( 0
V
u= 0
V
(por ser
T
inyectiva)
u ∈
{
V
}
N ( T )
{
V
}
De (i) y (ii) se prueba que
N ( T )=
{
V
}
() Si N (T ) = {
V
} T es inyectiva [Si T ( u)=T ( v ) u=v] ¡Probar!
T ( u)=T ( v )
T ( u)−T ( v )=T ( u)−T ( v )= 0
W
T ( u−v )= 0
W
u−v= 0
V
u−v +v= 0
V
+v
u+ 0
V
V
+v
u=v
Por lo tanto, de () y (),
T
es inyectiva
N ( T )=
{
V
}
b) Como
{
v
1
; v
2
; … ; v
n
} es un conjunto linealmente dependiente en
V
∃ i ∈ I tal que
c
1
v
1
+c
2
v
2
+…+c
i
v
i
+…+c
n
v
n
V
y
c
i
Aplicando la transformación lineal
T
T ( c
1
v
1
+c
2
v
2
+…+c
i
v
i
+…+c
n
v
n
)=T ( 0
V
y
c
i
c
1
T
(
v
1
)
+c
2
T
(
v
2
)
+…+c
i
T
(
v
i
)
+…+c
n
T ( v
n
W
y
c
i
{
T
(
v
1
)
;T ( v
2
); … ;T
(
v
i
)
; … ;T ( v
n
} es linealmente dependiente en
W
c) Sea en
V
la combinación lineal
c
1
v
1
+c
2
v
2
+…+c
n
v
n
V
c
1
=c
2
=…=c
n
¡Probar!
Aplicando la transformación lineal
T
T ( c
1
v
1
+c
2
v
2
+…+c
n
v
n
)=T ( 0
V
c
1
T ( v
1
)+c
2
T ( v
2
)+…+c
n
T ( v
n
W
Como
T ( v
1 )
;T ( v
2
); … ;T ( v
n
son linealmente independientes
c
1
=c
2
=…=c
n
{
v
1
; v
2
; … ; v
n
} son linealmente independientes.
d) Sea en
W
la combinación lineal
c
1
T ( v
1
)+c
2
T ( v
2
)+…+c
n
T ( v
n
W
Como
T
transformación lineal:
T ( c
1
v
1
+c
2
v
2
+…+c
n
v
n
W
ii)
T
es inyectiva.
Otra forma.
T ( x ; y ; z )=T ( a ; b ; c )
( z ; x + y ; z−x )=( c ; a+b ; c−a)
{
z=c
x + y=a+b
z−x=c−a
{
z=c
y=b
x=a
( x ; y ; z )=( a ; b ; c )
Parte (b): Sea
{
v
1
; v
2
; … ; v
n
} un conjunto linealmente dependiente de vectores en
V entonces {
T ( v
1 )
;T ( v
2
); … ;T ( v
n
} es linealmente dependiente en W.
Por ejemplo, sea
{( 1 ; 2 ; 4 ) , (− 2 ;− 4 ;− 8 ) , ( 1 ; 0 ; 1 ) } un conjunto linealmente
dependiente de vectores en el espacio vectorial R
3
(de partida) entonces
{
T ( 1 ; 2 ; 4 ); T (− 2 ;− 4 ;− 8 ); T ( 1 ; 0 ; 1 )
}
es linealmente dependiente en el espacio
vectorial R
3
(de llegada).
En efecto:
Los vectores
v
1
=( 1 ; 2 ; 4 ) , v
2
=(− 2 ;− 4 ;− 8 ) , v
3
son L. D. ¡Probar!
Estos vectores son L. D. pues
v
2
=− 2 v
1
Aplicando:
T
x ; y ; z
=( z ; x + y ; z−x )
T ( 1 ; 2 ; 4 ) = ( 4 ; 3 ; 3 ) ; T (− 2 ;− 4 ;− 8 ) = (− 8 ;− 6 ;− 6 ) ; T ( 1 ; 0 ; 1 )
c
1
( 4 ; 3 ; 3 ) +c
2
(− 8 ;− 6 ;− 6 ) +c
3
(
4 c
1
− 8 c
2
+c
3
; 3 c
1
− 6 c
2
+c
3
; 3 c
1
− 6 c
2
)
{
4 c
1
− 8 c
2
+c
3
3 c
1
− 6 c
2
+c
3
3 c
1
− 6 c
2
c
1
= 2 c
2
, con lo cual se tiene que los vectores son L. D. en
el espacio de llegada.
Parte (c): Si {
v
1
; v
2
; … ; v
n
} son vectores de
V
tales que {
T ( v
1
);T ( v
2
); … ;T ( v
n
}
son linealmente independientes en
W
, entonces {
v
1
; v
2
; … ; v
n
} son linealmente
independientes en
V
Por ejemplo, si {
v
1
; v
2
; v
3
} son vectores de R
3
(de partida) tales que
{
T
(
v
1
)
=( 1 ; 1 ; 1 ) ;T
(
v
2
)
=( 1 ; 1 ; 0 ) ;T
(
v
3
)
}
son linealmente independientes
en R
3
(de llegada), entonces
{
v
1
; v
2
; v
3
} son linealmente independientes en R
3
(de
partida).
En efecto.
En primer lugar,
T
es sobreyectiva; pues ∀ ( a ; b ; c ) ∈ R
3
de llegada,
∃ ( x ; y ; z ) ∈ R
3
de partida tal que T ( x ; y ; z )=( a ; b ; c )
z ; x + y ; z−x
a ; b ; c
z=a
x + y=b
z−x=c
x=a−c
y=b−a−c
z=a
T ( x ; y ; z )=T ( a−c ; b−a−c ; a)=( a ; b ; c )
Hallando la inversa de T : R
3
→ R
3
definida por
T ( x ; y ; z )=( z ; x + y ; z−x )
∀ ( a ; b ; c ) ∈ R
3
∃ ( x ; y ; z ) ∈ R
3
tal que
T
x ; y ; z
=( a ; b ; c )
T ( x ; y ; z )=( a ; b ; c )
( z ; x + y ; z−x )=( a ; b ; c )
z=a
x + y=b
z−x=c
x=a−c
y=b−a+c
z=a
T ( x ; y ; z )=T ( a−c ; b−a+c ; a) = ( a ; b ; c )
T
− 1
( a ; b ; c )=( a−c ; b−a+c ; a )
Se aplica T
− 1
a {
T
(
v
1
)
=( 1 ; 1 ; 1 ) ;T
(
v
2
)
=( 1 ; 1 ; 0 ) ;T
(
v
3
)
} para hallar
{
v
1
; v
2
; v
3
}
T
− 1
( 1 ; 1 ; 1 )=( 0 ; 1 ; 1 )=v
1
T
− 1
=v
2
T
− 1
=v
3
que son L. I. en R
3
de partida.
En efecto:
c 1
+c
2
+c
3
(
c
2
+c
3
; c
1
−c
3
; c
1
+c
2
+c
3
)
T ( ku+v ) = T ( k
a ; b
c ; d
) = T
ka+c ; kb+d
kb+d
kb+d
x +( ka+c ) x
2
= kb+d−kbx−dx+ka x
2
+c x
2
= kb−kbx +ka x
2
+d−dx+c x
2
kT ( a ; b) +T ( c ; d )
kT ( u) +T ( v )
Parte (a):
T
es inyectiva
N
T
{
V
} ;
T
es inyectiva
N ( T )=
{
0 ( x ) }
Como
N ( T )={( a ; b) ∈ R
2
/T ( a ; b)= 0 ( x ) }
T ( a ; b)= 0 ( x )
b−bx+a x
2
= 0 ( x ) = 0 + 0 x + 0 x
2
{
a= 0
b= 0
N ( T )=
{
}
Parte (b): Sea
{
v
1
; v
2
} un conjunto linealmente dependiente de vectores en R
2
entonces {
T ( v
1 )
;T ( v
2
} es linealmente dependiente en
P
≤ 2
Por ejemplo, sea
{u=( 2 ;− 3 ) , v=(− 6 ; 9 ) } un conjunto L. D. de vectores en R
2
pues
v=− 3 u
T ( 2 ;− 3 )=− 3 + 3 x + 2 x
2
=w
1
y
T (− 6 ; 9 )= 9 − 9 x− 6 x
2
=w
2
Que también son L. D., pues
w
2
=− 3 w
1
Parte (c): Si
{
v
1
; v
2
} son vectores de R
2
tales que
{
T ( v
1
);T ( v
2
} son linealmente
independientes en
P
≤ 2
, entonces
{
v
1
; v
2
} son linealmente independientes en R
2
Siendo T ( a ; b)=b−bx+a x
2
T ( 1 ; 2 )= 2 − 2 x + x
2
= 2 ( 1 −x ) + x
2
=w
1
T ( 2 ; 1 )= 1 −x + 2 x
2
1 −x
2
=w
2
Pues,
w
1
y
w
2
son L. I., en el espacio de llegada
P
≤ 2
, en efecto.
c
1
w
1
+c
2
w
2
= c
1
( 2
1 −x
2
) +c
2
(
1 −x
2
)= 0
1 −x
2
2 c
1
( 1 −x ) +c
1
x
2
+c
2
( 1 −x ) +c
2
x
2
0 ( 1 −x ) + 0 x
2
(
2 c
1
+c
2
)
( 1 −x ) + (
c
1
+c
2
)
x
2
= 0 ( 1 −x ) + 0 x
2
{
2 c
1
+c
2
c
1
+c
2
{
c
1
c
2
De donde
w
1
y
w
2
son L. I. entonces
v
1
y
v
2
deben ser L. I.
En efecto.
c
1
+c
2
(
c
1
2
; 2 c
1
+c
2
)
{
c
1
2
2 c
1
+c
2
{
c
1
c
2
Con lo cual se cumple la parte (c) del Teorema.
Parte (d): Si {
v
1
; v
2
} es un conjunto linealmente independiente de vectores de R
2
y
T : R
2
→ P
≤ 2
es una transformación lineal inyectiva, entonces {
T
(
v
1
)
,T
(
v
2
) } es
linealmente independiente en
P
≤ 2
Por ejemplo, sean los vectores
v
1
=( 2 ; 5 ) , v
2
=( 3 ;− 1 ) ∈ R
2
que son L. I. pues:
c
1
+c
2
(
2 c
1
2
; 5 c
1
−c
2
)
{
2 c
1
2
5 c
1
−c
2
{
2 c
1
2
15 c
1
− 3 c
2
{
c
1
c
2
c
1
=c
2
Aplicando la transformación lineal
T
= 5 − 5 x + 2 x
2
=w
1
T ( 3 ;− 1 )
= − 1 + x + 3 x
2
=w
2
Y como la transformación lineal
T
es inyectiva, pues
N ( T )=
{
}
Los vectores
w
1
y
w
2
son L. I.
En efecto:
c
1
( 5 − 5 x + 2 x
2
) +c
2
( − 1 + x + 3 x
2
) = 0 ( x )
b) Determinar la imagen, una base y la dimensión de la
ℑ(T )
- Sea T : C
2
( 0 ; 1 ) →C ( 0 ; 1 ) tal que T ( f )=f
' '
+f
'
; encuentre núcleo e imagen de T.
Profesor: Dionicio Milton Chávez Muñoz
