Cálculo Vectorial: Integral de Linha e Superfície, Resumos de Cálculo

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NOTAS DE AULA

C

ALCULO VETORIAL

Cl´audio Martins Mendes

Segundo Semestre de 2005

Sum´ario

• 1 C´alculo Vetorial
  • 1.1 Integrais de Linha
  • 1.2 Campos Conservativos e Integrais de Linha
  • 1.3 Teorema de Green
  • 1.4 Integrais de Superf´ıcie
  • 1.5 Divergente - Rotacional
  • 1.6 Teoremas: Gauss - Stokes

Defini¸c˜ao 1. A integral curvil´ınea de f sobre γ de A at´e B ´e definida (e denotada)

por:

γ

f (x, y)ds = lim

‖∆‖→ 0

i

f (u

i

, v

i

)∆S

i

desde que o limite exista independentemente da escolha de (u

i

, v

i

) ∈ P

i− 1

P

i

Obs: A integral anterior ´e tamb´em conhecida como integral de linha relativa ao com-

primento de arco.

Uma condi¸c˜ao suficiente para garantir a existˆencia da integral em quest˜ao ´e dada a seguir.

Teorema 2. Se γ : [a, b] → Ω ⊂ R

2

, γ(t) = (g(t), h(t)) ´e suave e f (x, y) ´e cont´ınua em Ω ,

ent˜ao existe

γ

f (x, y)ds e

γ

f (x, y)ds =

b

a

f (g(t), h(t)).

[g

′

(t)]

2

+ [h

′

(t)]

2

dt

N˜ao faremos a demonstra¸c˜ao deste resultado.

Observa¸c˜ao 1: Se usarmos a nota¸c˜ao vetorial para γ e colocarmos γ(t) = g(t)

i + h(t)

j , temos:

γ

f (x, y)ds =

b

a

f (γ(t)).‖γ

′

(t)‖dt.

Observa¸c˜ao 2: O resultado do Teorema anterior pode ser esperado, uma vez que

i

f (u

i

, v

i

)∆S

i

i

f (γ(t

∗

i

′

(t

∗

i

i

onde estamos usando que (u

i

, v

i

) = γ(t

∗

i

) e que ∆S

i

′

(t

∗

i

i

(espa¸co percorrido =

velocidade. tempo ), melhorando a aproxima¸c˜ao quando ‖∆‖ → 0.

Observa¸c˜ao 3: Notemos que no caso particular de f (x, y) ≡ 1 temos que

γ

f (x, y)ds ´e o

comprimento da curva γ.

Uma curva γ : [a, b] → R

2

cont´ınua ´e dita suave por partes se existe uma parti¸c˜ao finita

de [a, b] em subintervalos tal que a restri¸c˜ao de γ a cada subintervalo seja suave. Neste caso,

definimos

γ

f (x, y)ds como soma das integrais das restri¸c˜oes.

Interpreta¸c˜ao Geom´etrica

Suponhamos f cont´ınua, com f (x, y) ≥ 0 em Ω.

∫

z = f (x, y)

z

B

Pi

P A i− 1

y

x (u

i

, v

i

§

§§∫

q

r

r

r

r

r

r

º

6

Area da regi˜ao hachurada: f (u

i

, v

i

) · ∆S

i

E natural ent˜ao:

γ

f (x, y)ds = ´area da superf´ıcie cilindrica de base AB com altura determinada pelo

gr´afico de f (uma esp´ecie de cortina).

Interpreta¸c˜ao F´ısica:

Encarando a curva γ como um fio delgado e f (x, y) = densidade em (x, y), temos:

f (u

i

, v

i

)∆S

i

' massa de P

i− 1

P

i

= ∆m

i

i

f (ui, vi)∆Si '

i

∆mi ´e, assim, uma aproxima¸c˜ao da massa total M do fio.

Assim,

M =

γ

f (x, y)ds.

Exerc´ıcios resolvidos

1. Calcular

γ

f (x, y)ds onde f (x, y) = x

3

+ y e γ(t) = (3t, t

3

), t ∈ [0, 1].

Analogamente,

γ

f (x, y)dy = lim

‖∆‖→ 0

i

f (u

i

, v

i

)∆y

i

Estas novas integrais podem ser calculadas atrav´es das formas:

γ

f (x, y)dx =

b

a

f (g(t), h(t))g

′

(t)dt

γ

f (x, y)dy =

b

a

f (g(t), h(t))h

′

(t)dt

Observa¸c˜ao:

Tudo o que foi feito at´e aqui ´e generaliz´avel de maneira an´aloga para trˆes ou mais vari´aveis.

Exerc´ıcio proposto

Calcular

γ

x

2

y dx e

γ

x

2

y dy quando:

a) γ ´e o segmento de (0, 0) at´e (1, 1).

b) γ ´e a par´abola y = x

2

, 0 ≤ x ≤ 1.

c) γ ´e o segmento de (1, 1) at´e (0, 0).

Seja γ : [a, b] → Ω ⊂ R

3

, γ(t) = (g(t), h(t), k(t)) suave.

Sejam f

1

(x, y, z), f

2

(x, y, z) e f

3

(x, y, z) fun¸c˜oes cont´ınuas em Ω.

A soma

γ

f

1

(x, y, z)dx +

γ

f

2

(x, y, z)dy +

γ

f

3

(x, y, z)dz

ser´a indicada por

γ

f

1

(x, y, z)dx + f

2

(x, y, z)dy + f

3

(x, y, z)dz

Intrepreta¸c˜ao F´ısica

Suponhamos γ uma curva suave, trajet´oria de uma part´ıcula sujeita a um campo de

for¸cas cont´ınuo

F (x, y, z) = f 1 (x, y, z)

i + f 2 (x, y, z)

j + f 3 (x, y, z)

k

Se

F ´e constante e γ uma reta, temos que Trabalho =

F q^ (vetordeslocamento) ,

onde q^ denota o produto escalar.

Se

F n˜ao ´e constante ou γ n˜ao ´e uma reta, particionamos γ num n´umero finito de

arcos.

Se ‖∆‖ ´e pequena, o trabalho realizado por

F ao longo do arco P

i− 1

P

i

pode ser aproxi-

mado por

∆W

i

F (P

i− 1

) q^ (∆x

i

i + ∆y

i

j + ∆z

i

k) = f

1

(P

i− 1

)∆x

i

+ f

2

(P

i− 1

)∆y

i

+ f

3

(P

i− 1

)∆z

i

B

F (P

i− 1

Pi

P

i− 1

A

W

q

q

q

¢

¢

¢

¢Æ

q

O trabalho W realizado por

F ao longo de γ ´e, por defini¸c˜ao:

W = lim

‖∆‖→ 0

∆W

i

, isto ´e,

W =

γ

f 1 (x, y, z)dx + f 2 (x, y, z)dy + f 3 (x, y, z)dz

A integral anterior pode ser expressa em forma vetorial.

E o que faremos a seguir.

Sejam γ : [a, b] → Ω ⊂ R

3

, γ(t) = (g(t), h(t), k(t)) [ ou na nota¸c˜ao vetorial ~r(t) =

g(t)

i + h(t)

j + k(t)

k ] uma curva suave e

F (x, y, z) = f

1

(x, y, z)

i + f

2

(x, y, z)

j + f

3

(x, y, z)

k

um campo cont´ınuo sobre Ω.

Ent˜ao:

γ

f

1

(x, y, z)dx + f

2

(x, y, z)dy + f

3

(x, y, z)dz =

b

a

[f

1

(g(t), h(t), k(t)). g

′

(t) + f

2

(g(t), h(t), k(t)). h

′

(t) + f

3

(g(t), h(t), k(t)). k

′

(t)]dt =

b

a

F (γ(t)) q^ γ

′

(t)dt

Nota¸c˜ao

γ

F q^ d~r , a qual ser´a chamada de integral de linha do

campo

F sobre γ.

6

O

K ∏

Y

B A

x

y

De fato:

γ

F

q

d~r =

π

0

(cos t ~i + sen t ~j)

q

(−sen t ~i + cos t ~j)dt =

π

0

0 dt = 0.

2. Calcular o trabalho realizado por

F ao longo de γ , onde

F (x, y) = (x, y) e

γ(t) = (t, |t|), t ∈ [− 1 , 1].

x

y

R

μ

°

°

°

°

°

q

@

@

@

@

@

q

q

6

Resolu¸c˜ao:

W =

γ

F

q

d~r =

1

− 1

F (γ(t))

q

′

(t)dt =

0

− 1

F (γ(t))

q

′

(t)dt +

1

0

F (γ(t))

q

′

(t)dt =

0

− 1

(t, |t|) q^ (1, −1)dt +

1

0

(t, |t|) q^ (1, 1)dt =

0

− 1

2 t dt +

1

0

2 t dt = −1 + 1 = 0

Uma pergunta que se coloca aqui: A integral

γ

F q^ d~r depende da parametriza¸c˜ao de γ?

Veremos a seguir que s´o depende do sentido de percurso.

Teorema 3. Sejam γ : [a, b] → R

3 uma curva suave e h : [c, d] → [a, b] uma mudan¸ca de parˆametros

(isto ´e h

′

0 ou h

′ < 0 ). Seja ainda λ = γ ◦ h uma reparametriza¸c˜ao de γ. Ent˜ao:

γ

F

q d~r =

λ

F

q d~r , se h

′

(τ ) > 0

ou

∫

γ

F q^ d~r =

λ

F q^ d~r , se h

′ (τ ) < 0

Prova:

x y

z γ

λ = γ ◦ h

a t b

h

d

c τ

j

3

q

q

j

º

6

Suponhamos h

′ (τ ) < 0. Neste caso, h(c) = b e h(d) = a.

Pela Regra da Cadeia, λ

′ (τ ) = γ

′ (h(τ )). h

′ (τ ).

Fazendo a mudan¸ca t = h(τ ) obtemos

γ

F q^ d~r =

b

a

F (γ(t)) q^ γ

′ (t)dt =

c

d

F (γ(h(τ ))) q^ γ

′ (h(τ )). h

′ (τ )dτ =

d

c

F (λ(τ )) q^ λ

′ (τ )dτ = −

λ

F q^ d~r

O caso h

′ (τ ) > 0 ´e semelhante.

Observa¸c˜ao: Relembre a defini¸c˜ao de

γ

f (x, y)ds. Fica claro que este tipo de integral independe

tamb´em do sentido de γ. Prove isto com o mesmo tipo de argumento usado na demonstra¸c˜ao do

teorema anterior.

Exerc´ıcios resolvidos

1. Calcular

γ

F

q d~r onde

F (x, y) = (x

2 y , x

2 y) quando:

(a) γ 1 ´e o segmento de reta que liga (0, 0) a (1, 1).

(b) γ 2 ´e a par´abola y = x

2 , 0 ≤ x ≤ 1.

(c) γ 3

´e o segmento de reta que liga (1, 1) a (0, 0).

Resolu¸c˜ao:

(a) uma parametriza¸c˜ao da curva pode ser γ 1 (t) = (t, t), 0 ≤ t ≤ 1.

z = x

2

∫

(1, 1 ,0)

(0, 2 ,0)

R

x y

z

q

q

q

)

6

z

Resolu¸c˜ao:

Sejam z = f (x, y) = x

2 e γ(t) = (t , 2 − t), t ∈ [0, 1].

Area de R =

γ

f (x, y)ds =

1

0

t

2

.

2 dt =

u.a.

3. Calcule

γ

2 xdx + dy + dz, onde γ ´e a intersec¸c˜ao do cilindro y = x

2 com o

parabol´oide z = 2 − x

2 − y

2 , contida no octante x, y, z ≥ 0. O caminho ´e percorrido de

(1, 1 , 0) a (0, 0 , 2).

Resolu¸c˜ao: Uma visualiza¸c˜ao da curva:

6

q

z = 2−x

2 −y

2

º

y = x

2

1

y

x

γ

z

6

q

Uma parametriza¸c˜ao de γ pode ser dada por

γ(t) = ( 1 − t, (1 − t)

2

, 2 − (1 − t)

2

− (1 − t)

4

), 0 ≤ t ≤ 1.

Temos

∫

γ

2 xdx + dy + dz =

1

0

[−2(1 − t) − 2(1 − t) + 2(1 − t) + 4(1 − t)

3 ]dt =

1

0

[2(t − 1) + 4(1 − t)

3

]dt = [(t − 1)

2

− (1 − t)

4

]

1

0

Exerc´ıcios propostos 1.

1. Calcular

γ

x

2

y dx + xy

2

dy, onde γ ´e a curva indicada a seguir.

x (2, 0)

y

6

q - -

6

q

2. Considere o campo vetorial sobre R

2 , definido por

F (x, y) = −y~i + x~j. Encontre uma curva

γ come¸cando no ponto (1, 2) de comprimento 1 tal que

γ

F

q d~r = 0.

3. Calcule a ´area da regi˜ao R representada a seguir

z = xy

x

x

2

• y

2 = 4, z = 0

R

y

z

j

z

1

q

6

4. Calcule

γ

F

q d~r onde

F (x, y) = (2x + y

3 )

i + 3xy

j e γ ´e a curva indicada na figura a seguir

5 x

2

y

6

6

?

Observa¸c˜ao: Volte a fazer este exerc´ıcio ap´os a leitura da sec¸c˜ao a seguir.

1.2 Campos Conservativos e Integrais de Linha

Teorema 4 (Teorema Fundamental para Integrais de Linha). Sejam Ω ⊂ R

n um aberto e

f : Ω → R de classe C

1

. Seja γ : [a, b] → Ω ⊂ R

n dada por γ(t) = (γ 1 (t),... , γn(t)) uma curva

Exerc´ıcios resolvidos

1. Calcular

γ

x dx + y dy em cada um dos casos abaixo:

x

y

6

r - -

6

r

6

i) γ ´e o segmento de (0, 0) a (1, 1)

ii) γ ´e a par´abola y = x

2 , 0 ≤ x ≤ 1

iii) γ ´e a curva indicada ao lado.

iv) γ ´e a circunferˆencia (cos t , sen t), 0 ≤ t ≤ 2 π

Resolu¸c˜ao:

x

y

6

r -

r

6

μ

μ

γ

x dx + y dy =

γ

(x, y) · d~r.

Seja f (x, y) =

x

2

• y

2

Ent˜ao ∇f (x, y) = (x, y).

Logo,

γ

x dx + y dy =

γ

∇f · d~r.

Respostas para (i), (ii), (iii): f (1, 1) − f (0, 0) = 1

Respostas para (iv): 0 , pois A = B.

2. Calcular

γ

y dx + x dy onde γ ´e uma curva suave unindo (0, 1) a (2, 3).

Resolu¸c˜ao:

γ

y dx + x dy =

γ

(y, x)

q d~r.

Seja g(x, y) = xy. Ent˜ao ∇g(x, y) = (y, x).

Logo,

γ

y dx + x dy = g(2, 3) − g(0, 1) = 6.

Observa¸c˜ao: O teorema anterior afirma que, sob certas condi¸c˜oes, a integral de linha independe

do caminho de integra¸c˜ao, mas somente dos pontos extremos. Conforme j´a visto anteriormente,

nem todas as integrais de linha tem esta propriedade. Veremos uma rec´ıproca do Teorema anterior.

Defini¸c˜ao 7. Ω ⊂ R

n ´e dito conexo se quaisquer dois pontos em Ω podem ser ligados por uma

curva suave por partes, inteiramente contida em Ω. Uma regi˜ao ´e um conjunto aberto e conexo.

Exemplos:

Nos casos abaixo Ω 1 ´e conexo e Ω 2 n˜ao ´e conexo.

1

(x, y) ∈ R

2 ; x > 1

2

(x, y) ∈ R

2 ; |x| > 1

Teorema 8. Sejam Ω ⊂ R

n uma regi˜ao e

F : Ω ⊂ R

n → R

n um campo vetorial cont´ınuo. Se a

integral de linha

γ

F

q d~r ´e independente da curva suave por partes γ ligando A a X em Ω , onde

A ´e fixado e X ´e arbitr´ario, ent˜ao a fun¸c˜ao real definida por

f (X) =

X

A

F q^ d~r

´e de classe C

1 e satisfaz ∇f =

F em Ω.

Prova:

Para simplificar a nota¸c˜ao vamos fazer a prova para n = 2.

Inicialmente observemos que em virtude da independˆencia de caminho a f´ormula para f (x, y)

fornece uma fun¸c˜ao sem ambig¨uidade.

Precisamos mostrar que ∇f (x, y) =

F (x, y), ou seja

∂f

∂x

(x, y) ,

∂f

∂y

(x, y)

(F

1

(x, y) , F 2

(x, y)).

Escolhemos curva suave por partes ligando A a (x, y) contida em Ω (que existe pois Ω ´e conexo)

e a estendemos horizontalmente at´e o ponto (x + t , y), |t| < δ (isto ´e poss´ıvel pois Ω ´e aberto).

A

(x + t, y)

(x, y)

r

r r

∫

f (x + t , y) − f (x, y) =

(x+t , y)

A

F q^ d~r −

(x,y)

A

F q^ d~r =

(x+t , y)

(x,y)

F q^ d~r =

t

0

F (x + τ , y) q^ (1, 0)dτ =

t

0

F

1

(x + τ , y)dτ

Assim:

∂f

∂x

(x, y) = lim

t→ 0

f (x + t , y) − f (x, y)

t

= lim

t→ 0

t

t

0

F 1 (x + τ , y)dτ =

d

dt

t

0

F 1 (x + τ , y)dτ

t = 0

= F 1 (x, y)

Trabalho = W = varia¸c˜ao da energia cin´etica.

Suponhamos agora que

F = ∇f.

Sabemos da Proposi¸c˜ao ?? que W = f (B) − f (A).

Comparando com a f´ormula acima, temos:

f (B) − f (A) = K(b) − K(a)

ou seja,

K(b) − f (B) = K(a) − f (A).

A quantidade −f (P ) ´e chamada energia potencial da part´ıcula em P.

Portanto, a soma da energia potencial com a energia cin´etica permanece constante quando a

part´ıcula se move ao longo de um campo gradiente. Esta ´e a raz˜ao de chamarmos este tipo de

campo como “Campo Conservativo”.

Exerc´ıcio

Encontrar o trabalho realizado pelo campo

F (x, y, z) =

K

x

2

• y

2

• z

2

(x~i + y~j + z

k) ao longo da

curva γ : [0, 2 π] → R

3 , dada por γ(t) = (cos t , sen t , t)

Resolu¸c˜ao:

Poder´ıamos resolver usando a defini¸c˜ao.

Tentaremos resolver aplicando a Proposi¸c˜ao ??.

Procuramos f tal que

z

y

x

A = (1, 0 , 0)

B = (1, 0 , 2 π)

6

º

6

j ™

r

r

Y

:

f x

(x, y, z) =

Kx

x

2

• y

2

• z

2

f y

(x, y, z) =

Ky

x

2

• y

2

• z

2

fz (x, y, z) =

Kz

x

2

• y

2

• z

2

Integrando (1) em rela¸c˜ao a x obtemos

f (x, y, z) =

Kx

x

2

• y

2

• z

2

dx + φ(y, z) =

K

ln(x

2

• y

2

• z

2

) + φ(y, z) (4)

Assim,

f y

(x, y, z) =

Ky

x

2

• y

2

• z

2

• φ y

(y, z).

Comparando com (2) temos φ y

(y, z) = 0 e assim φ = φ(z), isto ´e φ n˜ao depende de y.

Logo (4) pode ser escrita como

f (x, y, z) =

K

ln(x

2

• y

2

• z

2

) + φ(z)

Diferenciando com respeito a z e comparando com (3) obtemos φ

′ (z) = 0 e assim φ ≡ C.

Tomemos φ ≡ 0.

Portanto f (x, y, z) =

K

ln(x

2

• y

2

• z

2

).

Assim W =

γ

F q^ d~r =

γ

∇f q^ d~r = f (1, 0 , 2 π) − f (1, 0 , 0) =

K

ln(1 + 4π

2

).

Problema: Dado

F , como saber se ∃f tal que ∇f =

F?

Teorema 10. Seja

F (x, y) = A(x, y)

i + B(x, y)

j , onde A(x, y) e B(x, y) s˜ao de classe C

1 num

retˆangulo < = [a, b] × [c, d].

A

y

= B

x

em < ⇐⇒ ∃ f tal que ∇f =

F em <.

Prova:

Se ∇f =

F ent˜ao A =

∂f

∂x

e B =

∂f

∂y

. Logo

∂A

∂y

2 f

∂y ∂x

Teo. Schwarz

=======

2 f

∂x ∂y

∂B

∂x

Desenvolveremos argumento semelhante ao feito na prova do Teorema anterior.

Fixemos (x 0

, y 0