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IBAMA
Técnico Ambiental
1 Álgebra linear 1.1 Conjunto numérico: operações com números inteiros, fracionários e decimais. ................................................................................................................................. 1 2 Proporções e divisão proporcional. ................................................................................ 31 3 Regras de três simples e composta. .............................................................................. 46 4 Porcentagem. ................................................................................................................ 59 5 Juros simples e compostos; capitalização e descontos. ................................................. 67 6 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. ............. 76
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SISTEMAS LINEARES
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é possível resolver tudo de uma só vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares.
Definição Toda equação do tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +...anxn = b, onde a 1 , a 2 , a 3 ,.., an e b são números reais e x 1 , x 2 , x 3 ,.., xn são as incógnitas. Os números reais a 1 , a 2 , a 3 ..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente.
Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.
Solução de uma equação linear Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, pois ao substituirmos esses valores na equação obtemos uma igualdade.
- 3 – 10 → 12 – 10 = 2
Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2
Sistema Linear Um conjunto de m equações lineares na variáveis x 1 ,x 2 , ..., xn é dito sistema linear de m equações e n variáveis.
Dessa forma temos: 𝑎) {
𝑥 + 𝑦 = 4 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠
−3𝑥 + 4𝑦 = 1 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑐){𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒 4 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠
Matrizes associadas a um sistema Podemos associar a um sistema linear 2 matrizes (completas e incompletas) cujos elementos são os coeficientes das equações que formam o sistema.
Exemplo: 𝑎) {
Temos que: 𝐴 = (^4 2 −
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = (^4 2 −
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎.
Solução de um sistema Dizemos que a 1 ,a 2 ,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo: A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema:
1 Álgebra linear 1.1 Conjunto numérico: operações com números inteiros, fracionários e decimais.
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1º) Número de equações igual ao número de variáveis
Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x. Assim temos:
- 2z = 8 → z = - y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2 3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = - 3 + 6 →3x = 3 → x = 1
Logo a solução para o sistema é (1,2,-4). O sistema tem uma única solução logo é SPD.
2º) Número de equações menor que o número de variáveis.
Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas “informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será chamada de variável livre do sistema. Vamos ao passo a passo:
1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z.
2º passo → transpomos a variável livre z para o 2º membro em cada equação e obtemos:
3º passo → para obtermos x como função de z, substituímos y = 2 – z, na equação: x - (2 – z) = 5 – 3z → x = 7 – 4z
Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema.
Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI.
Sistemas equivalentes e escalonamento Dizemos que dois sistemas lineares, S 1 e S 2 , são equivalentes quando a solução de S 1 também é solução de S 2. Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transforma-lo em outro equivalente, pois como vimos é fácil resolver um sistema de forma escalonada. Para isso, vamos aprender duas propriedades que nos permitirá construir sistemas equivalentes.
1ª Propriedade: quando multiplicamos por k, k ϵ R*, os membros de uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo sistema S’ equivalente a S. 𝑆 {
2 𝑥 + 3 𝑦 = 3 ,^ 𝑐𝑢𝑗𝑎^ 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜^ é^ (^3 ,^ −^1 )
Multiplicando-se a 1ª equação de S por 3, por exemplo, obtemos:
4
6 𝑥 + 9 𝑦 = 9 ,^ 𝑎^ 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜^ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎^ 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜^ (^3 ,^ −^1 )
2ª Propriedade: quando substituímos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro a membro, dele com outra, obtemos um novo sistema S’, equivalente a S. 𝑆 {
2 𝑥 − 3 𝑦 = 1 ,^ 𝑐𝑢𝑗𝑎^ 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜^ é^ (^5 ,^3 )
Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª:
(2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.) ←
O par (5,3) é também solução de S’, pois a segunda também é verificada: x – 2y = 5 – 2. 3 = 5 – 6 = -
Escalonamento de um sistema e o Método de Gauss-Jordan Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo:
1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em geral, mais simples. 2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e
3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes. 4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações, até o sistema ficar escalonado.
Vejamos um exemplo:
Escalone e resolva o sistema:
{
Primeiramente precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equação:
Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo para a 2ª e a 3ª equação. Convém, entretanto, dividir os coeficientes da 2ª equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento:
{
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Sistemas homogêneos Observe as equações lineares seguintes:
x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0
O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equações homogêneas. Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de solução nula, trivial ou imprópria. Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema é sempre possível , pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações.
Exemplo:
Escalonando o sistema {
Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e, portanto poderá ser retirada do sistema.
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada {
𝑦 + 3𝑧 = 0 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼.
Resolvendo-o teremos y = -3z e x = 4z. Se z = α, α ϵ R, segue a solução geral (4α,-3α, α). Vamos ver algumas de suas soluções:
- α = 0 → (0,0,0): solução nula ou trivial.
- α = 1 → (4,-3,1)
- α = - 2 → (-8,6,-2)
As soluções onde α = 1 e – 2 são próprias ou diferentes da trivial.
Regra de Cramer Consideramos o sistema {
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓. Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta
desse sistema é 𝑀 = (𝑎^ 𝑏 𝑐 𝑑
), cujo determinante é indicado por D = ad – bc.
Escalonando o sistema, obtemos: {
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes,
obteremos (
𝑐 𝑓), cujo determinante é indicado por Dy = af^ –^ ce. Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 = 𝐷𝑦𝐷.
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Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz (
𝑓 𝑑), cujo determinante
é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 = 𝐷𝑥𝐷 , D ≠ 0.
Resumindo:
Um sistema {
é possível e determinado quando 𝐷 = |𝑎^ 𝑏 𝑐 𝑑
| ≠ 0, e a solução desse sistema
é dada por:
Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal.
Exemplo:
Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {
De início temos que |
| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD.
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das equações do sistema. Assim, S = {(-2,3-1)}.
Discussão de um sistema
Consideremos novamente o sistema {
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 , cuja forma escalonada é:
𝐷
em que 𝐷 = |𝑎^ 𝑏 𝑐 𝑑
| é o determinante da matriz incompleta do sistema.
Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da Regra de Cramer. Se D = 0, o 1º membro de () se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (), temos SPI ou SI. Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos:
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04. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado.
x y mz
x y z
x y z
05. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado (𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução. 07. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 2x - my = 10 3x + 5y = 8, seja impossível. 08. Se os sistemas: S 1 : {
x + y = 1 x – 2y = −5 e^ S^2 :^ {
ax – by = 5 ay – bx = − São equivalentes, então o valor de a^2 + b^2 é igual a: (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 9 (E) 10
09. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
{
x + 3y − 2z = 3 2x − y + z = 12 4x + 3y − 5z = 6
10. Resolver o sistema
x y
x y
11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de equações lineares
Assinale a alternativa correta. (A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. (B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1). (C) O sistema possui infinitas soluções. (D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. (E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares.
12. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Sabendo-se que 2 a + 3 b + 4 c = 17 e que 4 a + b - 2 c = 9, o valor de a + b + c é: (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7.
Comentários
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01. Resposta: E. Calculemos inicialmente D, Dx e Dy:
12 12 0 3 6
2 4 D
Dx
18 18 0 3 9
2 6 Dy
Como D = Dx = Dy = 0, o sistema é possível e indeterminado, logo possui mais de uma solução.
02. Resposta:
2
3 m R /^ m.
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que:
2 3 1
2 3 m m
D
Assim: 2 m - 3 ≠ 0 → m ≠ 2
Então, os valores reais de m , para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos elementos do conjunto:
2
3 m R / m
03. Resposta: S = {(1, 2, 4)}. Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz
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Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 3(10+my) + 10y = 16 30 + 3my + 10y = 16 (3m + 10)y = - y = -14 / (3m + 10)
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que, como sabemos, não existe divisão por zero. Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.
08. Resposta: E. Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: S 1 : x + y = 1 x - 2y = - Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S 2. Logo, substituindo em S 2 os valores de x e y encontrados para o sistema S 1 , vem:
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica: -2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica: -3b = 9 \ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos: 2 a + (-3) = -1 \ a = 1. Portanto, a^2 + b^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10.
09. Resposta: S = {(5, 2, 4)}. Teremos:
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Portanto, pela regra de Cramer, teremos: x 1 = D x 1 / D = 120 / 24 = 5 x 2 = D x 2 / D = 48 / 24 = 2 x 3 = D x 3 / D = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}.
10. Resposta: S 3 , 1 11. Resposta: C.
O sistema pode ser SI (sistema impossível) ou SPI (sistema possível indeterminado)
Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx 0
Dx 0, portanto o sistema tem infinitas soluções.
12. Reposta: D. (I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2) (II) 4a + b – 2c = 9 Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a: (I) 2a + 3b + 4c = 17 (II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5) Então: (I) 2a + 3b + 4c = 17 (II) b +2c = 5 Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega). Substituímos c em (II): b + 2α = 5 b = 5 - 2α substituímos b e c em (I): 2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17 2a + 15 - 6α + 4α = 17 2a = 17 – 15 + 6α - 4α 2a = 2 + 2α : (2) a = 1 + α Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então: a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6
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Operações entre Números Inteiros Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder.
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = ( + 8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = ( - 7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = ( + 3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = ( - 3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 4 + 5 = 9 4 – 5 = -
Considere as seguintes situações:
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = + (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = – 3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = – 3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Fique Atento : todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. Ex.: 10 – (10+5) = 10 – (+15) = 10 – 15 =
Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x , isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = – 60
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Na multiplicação o produto dos números a e b , pode ser indicado por a x b , a****. b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Divisão de Números Inteiros
- Divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (– 20) : (+ 5) = q (+ 5). q = (– 20) q = (– 4) Logo (– 20) : (+ 5) = - 4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Exemplo: (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z , pois o resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z , a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. - Não existe divisão por zero.
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplo: 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão → Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. → Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo.
Potenciação de Números Inteiros A potência xn^ do número inteiro a , é definida como um produto de n fatores iguais. O número x é denominado a base e o número n é o expoente. xn^ = x. x. x. x ... x, x é multiplicado por x, n vezes.
Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)^5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = - (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)^2 = (+3). (+3) = + 9
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (–8)^2 = (–8). (–8) = + 64
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)^3 = (–5). (–5). (–5) = – 125 - Propriedades da Potenciação:
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)^3. (–7)^6 = (–7)3+6^ = (–7)^9
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- Comutativa da multiplicação: a.b = b.a
- Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
- Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b + c) = ab + ac
- Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a.(b – c) = ab – ac
Atenção: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um número natural.
Questões
01. (Fundação Casa – Agente Educacional – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá- los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos atribuídos foi (A) 50. (B) 45. (C) 42. (D) 36. (E) 32. 02. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM ) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562, DVD: R$ 399, Micro-ondas: R$ 429, Geladeira: R$ 1.213,
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco recebido será de: (A) R$ 84, (B) R$ 74, (C) R$ 36, (D) R$ 26, (E) R$ 16,
03. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será (A) - 72 (B) - 63 (C) - 56 (D) - 49 (E) – 42 04. (Polícia Militar/MG - Assistente Administrativo - FCC) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados:
Ao término dessas quatro partidas, (A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. (B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. (C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos.
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(D) Carla e Mateus empataram.
05. (Pref. de Palmas/TO – Técnico Administrativo Educacional – COPESE/UFT) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: (A) 19 carros (B) 25 carros (C) 38 carros (D) 50 carros 06. (Casa da Moeda) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em cada cidade.
O número de passageiros que chegou a Belém foi: (A) 362 (B) 280 (C) 240 (D) 190 (E) 135
07. (Pref.de Niterói/RJ) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, em ºC será de: (A) 10 (B) 35 (C) 45 (D) 50 (E) 55 08. (Pref.de Niterói/RJ) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele levará para adquirir a televisão será: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 09. (Pref.de Niterói/RJ) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura de 3cm, o número de livros na pilha é: (A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 22 10. (FINEP – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. A quantos degraus do topo da escada ele parou?
