Movimento Vibracional de Osciladores Harmônicos Lineares: Aplicações e Modelos, Notas de aula de Energia

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Aula 15

Movimento Vibracional

(Oscilador Harmónico Linear)

Movimento Vibracional

(Oscilador Harmónico Linear)

Aplicação: As moléculas executam movimentos de vibração interna. Estes compreendem a extensão e contração de ligações, a variação de ângulos entre duas ligações adjacentes e a torção de ângulos diedro O seu estudo é importante, por exemplo, para:

• Identificar compostos usando espectroscopia vibracional
  • Calcular propriedades termodinâmicas com base nas frequências de vibração características de uma dada molécula

Energia Potencial Para formular a equação de Schrödinger é necessário conhecer o modo como a energia potencial do oscilador depende do deslocamento x. 0

x

V x − V = − F x dx



f 0

x

= − − k x dx

 lei de Hooke 2 f f 0

x

= k xdx = k x

 Uma vez que a energia potencial do oscilador é minima quando x = 0, é costume admitir que V (0) = 0. Desse modo: 2 f

V x = k x^ (15.3)

Esta função corresponde a uma parabola pelo que: V ( x ) →  Extensão muito elevada x → + Compressão muito elevada x → −

Equação de Schrödinger (15.4) (15.5) 2 2 2 f

k x E

m x

V ( x ) O facto de V ( x ) →  quando a estensão ou a compressão aumentam impõe

restrições às soluções aceitáveis de , pois a partícula não pode ser encontrada

onde V ( x ) = 

Embora neste caso a resolução da equação de Schrödinger esteja fora do âmbito do curso, as soluções são bastante simples:

E v h 

( v = 0, 1, 2…) (15.6)

1 f

k

m

 

onde:

• v (letra vê) = número quântico vibracional
•  (letra grega nu) = frequência de vibração
• m = massa da partícula. Energia Energia^ total (cinética+potencial)

Funções de Onda A Tabela 15. 1 contém as expressões das quatro primeiras funções de onda para o oscilador harmónico linear. A Figura 15. 1 mostra as respetivas formas e densidades de probabilidade. 1/2^2 2 1/ 1 y e   ^ −       0 1/2^2 2 1/ 2 y ye   ^ −     ( ) 1/2^2 (^2 ) 1/ 1 2 1 2 y y e    −   −   ( ) 1/2^2 (^2 ) 1/ 1 2 3 3 y y ye    −   −   x y  = 2 1/ mk f    =     1 2 3 Tabela 15. Conclusões:

• A  de menor energia ( v = 0 ) não tem nodos. A partícula tem uma maior probabilidade de se encontrar a x = 0 (deslocamento nulo) mas pode ser encontrada a deslocamentos maiores com probabilidade decrescente.
• Para v = 1 existe 1 nodo a x = 0 , ladeado por um pico positivo e outro negativo. Neste estado a partícula encontra-se com maior probabilidade em posições x correspondentes a um deslocamento idêntico de estensão ou compressão.
• Todas as funções de onda se estendem para lá dos limites de um oscilador clássico. Isto significa que a partícula pode atingir regiões proibidas pela mecânica clássica, por meio de efeito de túnel.
• À medida que a energia aumenta, aumenta a probabilidade de encontrar a partícula nas extremidades do deslocamento. O comportamento aproxima-se de um oscilador clássico (e.g. um pêndulo que se move com maior lentidão na zona de amplitude limite da sua oscilação. Esta conclusão constitui mais um exemplo do princípio da correspodência, isto é, o comportamento clássico emerge para números quânticos elevados. Figura 15. 1 (a) funções de onda  e (b) densidade de probabilidade, ^2

 ^2

1. A energia de vibração da partícula está quantificada Ideias e Equações Chave f

h k

E h

m

E v h 

( v = 0, 1, 2…)

1 f

k

m

 

3. A diferença de energia entre níveis consecutivos é tal que:

• Os níveis estão todos igualmente espaçados
• Espaçamentos e frequências maiores quanto mais rígidas as ligações ou ângulos (maior k f)
• Espaçamentos e a frequências menores quanto maior a massa ( m ) da partícula. o

E = h 

2. Uma vez que valor v = 0 é permitido, a partícula possui energia do ponto zero