Estimativa de Taxa Mínima de Retorno de Portfólios: Definições e Abordagens, Notas de aula de Probabilidade

Baixe Estimativa de Taxa Mínima de Retorno de Portfólios: Definições e Abordagens e outras Notas de aula em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

LAURA GRANZIERA

MODELOS DE OTIMIZAÇÃO PARA ALOCAÇÃO DE RECURSOS EM

HORIZONTES DE LONGO PRAZO

São Paulo – SP 2018

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

LAURA GRANZIERA

MODELOS DE OTIMIZAÇÃO PARA ALOCAÇÃO DE RECURSOS EM

HORIZONTES DE LONGO PRAZO

Trabalho de Formatura apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do diploma em Engenharia de Produção Orientadora: Prof. Dr. Celma de Oliveira Ribeiro São Paulo – SP 2018

AGRADECIMENTOS

À minha família, meus companheiros e a todos com os quais compartilho a caminhada. À orientação, paciência e aconselhamento da Professora Doutora Celma de Oliveira Ribeiro. À compreensão, experiência e conhecimento dos profissionais da empresa onde realizei o programa de estágio, principalmente Ivo e Luciana. À toda a experiência, vivência e crescimento proporcionados pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo através de seus professores, alunos e funcionários.

ABSTRACT

There is an important correlation between decisions on long-term resource allocation and economic efficiency. By selecting projects to be financed, it’s possible to encourage or not certain initiative. Resources can come from families, pension funds, souverain funds and endowments from non-profit institutions. This study aims to compare methods to build an optimum portfolio among different asset classes. Different models were used to approach the problem, including Markowitz model, Michaud model, a model using robust optimization, Rockafellar e Uryasev model and a model to maximize return. Each one of them was studied, adapted and implemented using computer simulation software (Scilab). The results were evaluated in terms of risk-return relation and similarity to real financial institution portfolios. It was found that Michaud model had the most robust results given the uncertainty asset classes long-term return. Keywords: portfolio optimization, portfolio theory, asset classes, robust optimization, stochastic processes.

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 Base de investidores de fundos nos EUA. ................................................................ 22 Gráfico 2 Curvas de distribuição de probabilidade assimétricas .............................................. 29 Gráfico 3 Representação do valor em risco .............................................................................. 30 Gráfico 4 Correlação entre ações (S&P500) e crédito (S&P500 HY Corp Bond) ................... 33 Gráfico 5 Sensibilidade a variação de taxa de juros. Foram considerados pagamentos constantes e equidistantes com devolução do principal ao final do período de investimento.. 37 Gráfico 6 Índice Shape de algumas classes de ativos ............................................................... 40 Gráfico 7 Plano de representação dos portfólios e da fronteira eficiente. Em classes de ativos individuais são mostrados os portfólios 100% alocados em apenas uma classe de ativos. ...... 41 Gráfico 8 Delimitações da Fronteira Eficiente ......................................................................... 42 Gráfico 9 Seleção de portfólio baseado em nível máximo de risco ......................................... 43 Gráfico 10 Seleção de portfólio com base em perfil de risco ................................................... 44 Gráfico 11 Exemplo de função utilidade .................................................................................. 45 Gráfico 12 Desempenho de portfólios considerados ótimos pelo modelo de Markowitz clássico para pequenas variações nos parâmetros de entrada. Os portfólios considerados representam portfólios eficientes de Markowitz para pequenas diferenças nos parâmetros de entrada ...................................................................................................................................... 49 Gráfico 13 Perfil de risco do investidor.................................................................................... 54 Gráfico 14 Agrupamento por nível de risco. Note que o ponto de máximo retorno da fronteira é utilizado no agrupamento com nível máximo de risco uut. .................................................. 55 Gráfico 15 Índice Sharpe para as classes de ativos consideradas............................................. 73 Gráfico 16 Taxa de retorno e desvio-padrão das classes de ativos consideradas contra fronteira eficiente clássica de Markowitz................................................................................................ 74 Gráfico 17 Papel de probabilidade normal aplicado aos elementos da amostra de cada classe de ativos .................................................................................................................................... 75 Gráfico 18 Variância como métrica de risco considerando o intervalo mínimo como um mês e o intervalo de otimização de alocação de 10 anos .................................................................... 76 Gráfico 19 Fronteira eficiente das soluções de Markowitz clássicas ....................................... 78 Gráfico 20 Fronteiras eficientes a partir de diferentes modelos ............................................... 79 Gráfico 21 Fronteiras eficientes para as soluções de Markowitz ............................................. 81 Gráfico 22 Comparativo entre fronteiras eficientes ................................................................. 82

Gráfico 23 Fronteira eficiente para maximização do retorno e minimização da volatilidade. 83 Gráfico 24 Retorno e volatilidade em função de k .................................................................. 83 Gráfico 25 Desempenho de instituições de alocação de capital em intervalo de 10 anos contra a fronteira eficiente de Markowitz utilizada neste texto. Crédito é modelado pelo índice Bloomberg Barclay US Agg Bond e Ações é modelado pelo índice S&P500. ....................... 85 Gráfico 26 Alocação histórica entre classes de ativos do endowment de Yale ....................... 86 Gráfico 27 Portfólios ótimos para diferentes limites de risco obtidos através da resolução clássica de Markowitz .............................................................................................................. 88 Gráfico 28 Alocações entre as classes de ativos para diferentes níveis de risco com o modelo de maximização da taxa de retorno .......................................................................................... 89 Gráfico 29 Alocação entre classes de ativos obtida através da abordagem de otimização robusta ...................................................................................................................................... 91 Gráfico 30 Portfólios médios para diferentes níveis máximos de risco considerando a abordagem estocástica.............................................................................................................. 91 Gráfico 31 Alocação entre as classes de ativos dos portfólios ótimos para modelo de minimização de Cvar ............................................................................................................... 92 Gráfico 33 Alocações entre classes de ativos dos 5 maiores endowments dos EUA ............ 111

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Fluxo de entrada e saída de valores monetários no tempo ......................................... 37 Figura 2 Algoritmo de simulação estocástica ........................................................................... 53 Figura 3 Hipóteses adotadas na resolução dos modelos ........................................................... 62

SUMÁRIO

• 1 INTRODUÇÃO
  • 1.1 Objetivo
  • 1.2 Estrutura do trabalho
• 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
  • 2.1 Revisão bibliográfica
  • 2.2 Conceitos básicos de composição de portfólio
    • 2.2.1 Taxa de retorno de um investimento
    • 2.2.2 Métricas de risco de um investimento
    • 2.2.3 Modelos de composição dos portfólios de investimento
    • 2.2.4 Métricas de risco e retorno para um portfólio
  • 2.3 As decisões de investimento
    • 2.3.1 Liquidez de um ativo
    • 2.3.2 Duração de um ativo
    • 2.3.3 Classes de ativos.......................................................................................................
    • 2.3.4 Índice sharpe para ativos de um portfólio
    • 2.3.5 Fronteira eficiente de alocação
    • 2.3.6 Risco de alocação do investidor
    • 2.3.7 Ajustes na alocação dos portfólios
  • 2.4 Modelos de composição de portfólio
    • 2.4.1 Minimização da variância
    • 2.4.2 Minimização do Valor Condicional em Risco
    • 2.4.3 Maximização da taxa de retorno
    • 2.4.4 Incerteza nos parâmetros
• 3 OS MODELOS DE INTERESSE
  • 3.1 O modelo de Markowitz
  • 3.2 O modelo de Michaud.....................................................................................................
  • 3.3 Modelo de otimização robusta
  • 3.4 O modelo de Rockafellar e Uryasev
  • 3.5 Modelo de maximização de retorno
  • 3.6 A abordagem utilizada
    • 3.6.1 A abordagem em relação ao retorno
    • 3.6.2 A abordagem em relação à métrica de risco
    • 3.6.3 A abordagem em relação à correlação entre as classes de ativos
• 4 RESULTADOS OBTIDOS
  • 4.1 A determinação dos parâmetros
    • 4.1.1 A delimitação das classes de ativos consideradas
    • 4.1.2 O cálculo dos parâmetros.........................................................................................
    • 4.1.3 As restrições lineares
  • 4.2 Os dados utilizados.........................................................................................................
  • 4.3 Hipóteses adotadas
    • 4.3.1 Normalidade das taxas de retorno............................................................................
    • 4.3.2 Dispersão de variância
    • 4.3.3 A estrutura da correlação
  • 4.4 Comparação dos modelos
    • 4.4.1 Aplicação de técnicas de verificação das simulações
    • 4.4.2 Análise das fronteiras de eficiência
    • 4.4.3 Análise comparativa com alocações reais
• 5 CONCLUSÃO
• 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• APÊNDICE A
  • A.1 Solução de sistema de equações Lineares
  • A.2 Solução de Programação Quadrática
  • A.3 Solução de Programação Cvar.....................................................................................
  • A.4 Solução de Programação Quadrática Estocástica
  • A.5 Tratamento Estatístico Programação Quadrática Estocástica
  • A.6 Solução programação robusta LMI
• APÊNDICE B
  • B.1 Estimador coerente
  • B.2 Convexidade da função objetivo
  • B.3 Condições de KKT
  • B.4 Geração de valores aleatórios para distribuição normal multivariada
  • B.5 Linearização utilizando o complemento de Schur
  • um caso particular B.6 Aplicação de multiplicadores de Lagrange para a solução do modelo de Markowitz para
  • abordadas no texto B.7 Breve descrição das classes de ativos consideradas pelo endowment de Yale e não